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d) \( \frac{e^{x^2}}{x} + C \) 
 
 **Resposta:** a) Não existe uma antiderivada elementar 
 
 **Explicação:** A integral de \( e^{x^2} \) não pode ser expressa em termos de funções 
elementares. 
 
7. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(\sin x) \)?** 
 a) \( \cot x \) 
 b) \( \frac{\cos x}{\sin x} \) 
 c) \( \frac{1}{\sin x} \) 
 d) \( \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x \) 
 
 **Resposta:** a) \( \cot x \) 
 
 **Explicação:** A derivada de \( \ln(\sin x) \) é \( \frac{\cos x}{\sin x} \), que é igual a \( \cot x 
\). 
 
8. **Qual é a integral de \( \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - 1}} \)?** 
 a) \( \text{arcsec}(x) + C \) 
 b) \( \text{arccos}(x) + C \) 
 c) \( \text{arctan}(x) + C \) 
 d) \( \text{arcsin}(x) + C \) 
 
 **Resposta:** a) \( \text{arcsec}(x) + C \) 
 
 **Explicação:** Usamos a substituição trigonométrica apropriada para resolver a integral, 
resultando na função arcsecante. 
 
9. **Qual é o valor da derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \) em \( x = 1 \)?** 
 a) 1 
 b) 0 
 c) -1 
 d) 2 
 
 **Resposta:** c) -1 
 
 **Explicação:** A derivada de \( f(x) \) é \( -\frac{1}{x} + \frac{1}{x} \), que em \( x = 1 \) 
resulta em 0. 
 
10. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \arctan \left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} \arctan(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{4} \arctan \left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 4) + C \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \arctan \left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = \frac{x}{2} \) e então a integral se transforma 
na forma padrão da integral da função arco-tangente. 
 
11. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \cdot \cos(x) \)?** 
 a) \( e^{x^2} \cdot (\cos(x) - 2x \sin(x)) \) 
 b) \( e^{x^2} \cdot (\cos(x) + 2x \sin(x)) \) 
 c) \( e^{x^2} \cdot (-\sin(x) - 2x \cos(x)) \) 
 d) \( e^{x^2} \cdot (-\sin(x) + 2x \cos(x)) \) 
 
 **Resposta:** a) \( e^{x^2} \cdot (\cos(x) - 2x \sin(x)) \) 
 
 **Explicação:** Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia, resultando na expressão 
correta. 
 
12. **Qual é o valor da integral de \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 b) \( \frac{e - 1}{4} \) 
 c) \( \frac{e}{2} - \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{e}{2} - \frac{1}{4} \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \) e obtemos \( \frac{e - 1}{2} \) após a 
integração. 
 
13. **Qual é a derivada de \( f(x 
 
) = \sqrt{1 + \ln(x)} \)?** 
 a) \( \frac{1}{2 \sqrt{1 + \ln(x)}} \cdot \frac{1}{x} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{1 + \ln(x)}} \cdot \frac{1}{x} \) 
 c) \( \frac{1}{2x \sqrt{1 + \ln(x)}} \) 
 d) \( \frac{1}{2x \sqrt{1 + \ln(x)}} \cdot \ln(x) \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2 \sqrt{1 + \ln(x)}} \cdot \frac{1}{x} \) 
 
 **Explicação:** Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sqrt{u} \) é \( \frac{1}{2 
\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} \), onde \( u = 1 + \ln(x) \). 
 
14. **Qual é a integral de \( \int \frac{x \, dx}{x^2 + 1} \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \) 
 b) \( \ln(x^2 + 1) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) - \frac{1}{2} \ln(2) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \) 
 
 **Resposta:** d) \( \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \) 
 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 + 1 \), resultando na integral que leva a \( 
\frac{1}{2} \ln|u| \).