sintenticas 125

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31. **Problema:** Resolva \(\frac{d^2y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4y = 0\). 
 **Resposta:** \(y = (C_1 + C_2 x)e^{2x}\). 
 **Explicação:** Encontre a solução geral da equação diferencial com raízes duplas. 
 
32. **Problema:** Calcule a transformada de Fourier de \(f(x) = e^{-|x|}\). 
 **Resposta:** \(\frac{2}{1 + \omega^2}\). 
 **Explicação:** Use a fórmula da transformada de Fourier para a função exponencial. 
 
33. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_0^1 \frac{dx}{(1 - x^2)^{3/2}}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \sin \theta\) para resolver a integral. 
 
34. **Problema:** Determine a integral \(\int e^{x^2 - 2x} \, dx\). 
 **Resposta:** Não pode ser expressa em termos de funções elementares. 
 **Explicação:** A integral é complicada devido ao quadrado no expoente. 
 
35. **Problema:** Resolva a equação \(x^2 + 2x + 5 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = -1 \pm 2i\). 
 **Explicação:** Use a fórmula quadrática para encontrar as raízes complexas. 
 
36. **Problema:** Calcule o volume da região entre \(z = x^2 + y^2\) e \(z = 1\). 
 **Resposta:** \(\frac{5\pi}{12}\). 
 **Explicação:** Converta para coordenadas cilíndricas e integre. 
 
37. **Problema:** Encontre os autovalores da matriz \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 
\end{pmatrix}\). 
 **Resposta:** 3 e 1. 
 **Explicação:** Resolva o polinômio característico \((2 - \lambda)^2 - 1 = 0\). 
 
38. **Problema:** Resolva \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\ln |\ln(x)| + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
39. **Problema:** Encontre o valor de \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}\). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Use a decomposição em frações parciais para a série telescópica. 
 
40. **Problema:** Determine o valor de \(\int_0^\infty e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\sqrt{\pi} / 2\). 
 **Explicação:** Esta é uma integral conhecida que pode ser resolvida usando coordenadas 
polares. 
 
41. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \). 
 **Resposta:** \(y = C_1 \cos x + C_2 \sin x\). 
 **Explicação:** Encontre a solução da equação diferencial com autovalores imaginários 
puros. 
 
42. **Problema:** Calcule o valor de \(\int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Esta integral é uma conhecida integral de arco tangente. 
 
43. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}\). 
 **Resposta:** \(\frac{x}{2(x^2 + 1)} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição e a fórmula de integração. 
 
44. **Problema:** Determine os valores de \(a\) para os quais a série \(\sum_{n=1}^\infty 
\frac{a^n}{n^p}\) converge. 
 **Resposta:** Converge se \(|a| < 1\) e \(p > 1\). 
 **Explicação:** A série converge dependendo do comportamento da série de termos \( 
\frac{a^n}{n^p} \). 
 
45. **Problema:** Calcule a integral \(\int x \sin(x^2) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{2} \cos(x^2) + C\).