Para resolver a integral de linha do campo escalar \( f(x,y) = e^{x+y} \) sobre os lados do quadrado centrado na origem com lado 2, precisamos calcular a integral ao longo de cada lado do quadrado e somar os resultados. Os vértices do quadrado são: \((-1, -1)\), \((1, -1)\), \((1, 1)\) e \((-1, 1)\). Vamos considerar cada lado: 1. Lado inferior: de \((-1, -1)\) a \((1, -1)\) - Aqui, \(y = -1\) e \(x\) varia de \(-1\) a \(1\). - A integral é: \[ \int_{-1}^{1} f(x, -1) \, dx = \int_{-1}^{1} e^{x-1} \, dx = e^{-1} \int_{-1}^{1} e^{x} \, dx = e^{-1} [e^{x}]_{-1}^{1} = e^{-1} (e - e^{-1}) = e^{-1} e - e^{-2} = 1 - e^{-2} \] 2. Lado direito: de \((1, -1)\) a \((1, 1)\) - Aqui, \(x = 1\) e \(y\) varia de \(-1\) a \(1\). - A integral é: \[ \int_{-1}^{1} f(1, y) \, dy = \int_{-1}^{1} e^{1+y} \, dy = e \int_{-1}^{1} e^{y} \, dy = e [e^{y}]_{-1}^{1} = e (e - e^{-1}) = e^2 - 1 \] 3. Lado superior: de \((1, 1)\) a \((-1, 1)\) - Aqui, \(y = 1\) e \(x\) varia de \(1\) a \(-1\). - A integral é: \[ \int_{1}^{-1} f(x, 1) \, dx = \int_{1}^{-1} e^{x+1} \, dx = e \int_{1}^{-1} e^{x} \, dx = e [e^{x}]_{1}^{-1} = e (e^{-1} - e) = 1 - e^2 \] 4. Lado esquerdo: de \((-1, 1)\) a \((-1, -1)\) - Aqui, \(x = -1\) e \(y\) varia de \(1\) a \(-1\). - A integral é: \[ \int_{1}^{-1} f(-1, y) \, dy = \int_{1}^{-1} e^{-1+y} \, dy = e^{-1} \int_{1}^{-1} e^{y} \, dy = e^{-1} [e^{y}]_{1}^{-1} = e^{-1} (e^{-1} - e) = e^{-2} - 1 \] Agora, somamos todas as integrais: \[ (1 - e^{-2}) + (e^2 - 1) + (1 - e^2) + (e^{-2} - 1) = 2(e^2 - e^{-2}) \] Portanto, a resposta correta é: A) \(2(e^2 - e^{-2} + 1)\).