Para determinar qual das alternativas apresenta um campo conservativo, precisamos verificar se o campo vetorial é irrotacional, ou seja, se a condição \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\) é satisfeita, onde \(F(x,y) = P(x,y) \hat{i} + Q(x,y) \hat{j}\). Vamos analisar cada alternativa: A) \(F(x,y) = 2xy \hat{i} + (x^3 + 1) \hat{j}\) - \(P = 2xy\) e \(Q = x^3 + 1\) - \(\frac{\partial Q}{\partial x} = 3x^2\) - \(\frac{\partial P}{\partial y} = 2x\) - \(3x^2 \neq 2x\) (não é conservativo) B) \(F(x,y) = 2y \hat{i} + (y + x^3) \hat{j}\) - \(P = 2y\) e \(Q = y + x^3\) - \(\frac{\partial Q}{\partial x} = 3x^2\) - \(\frac{\partial P}{\partial y} = 2\) - \(3x^2 \neq 2\) (não é conservativo) C) \(F(x,y) = 2xy \hat{i} + (x^2 + 1) \hat{j}\) - \(P = 2xy\) e \(Q = x^2 + 1\) - \(\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x\) - \(\frac{\partial P}{\partial y} = 2x\) - \(2x = 2x\) (é conservativo) D) \(F(x,y) = 2x \hat{i} + (x^3 + 1) \hat{j}\) - \(P = 2x\) e \(Q = x^3 + 1\) - \(\frac{\partial Q}{\partial x} = 3x^2\) - \(\frac{\partial P}{\partial y} = 0\) - \(3x^2 \neq 0\) (não é conservativo) Portanto, a alternativa que apresenta um campo conservativo é a **C**.