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INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
LIÇÃO N° 14: NOÇÃO DE VECTOR 
 - Definição de vector; 
 - Igualdade entre vectores; 
 - Operações com vectores. 
 
Introdução a lição: 
 
Nesta lição vamos abordar sobre a noção do vectores, suas propriedades e as operações com vectores. 
 
Objectivos de aprendizagem 
 
No final desta lição, o aluno deve ser capaz de: 
• Conhecer a noção de vector; 
• Efectuar operações com vectores; 
 
Tempo de estudo 
 
Para melhor apreensão dos conteúdos desta lição você precisa de, no mínimo (quatro) horas de tempo. 
Estas 3 (três) horas devem ser divididas em leituras dos conteúdos da lição e da bibliografia 
recomendada, e 1 (uma) hora em resoluções da auto-avaliação 
4.1 Cálculo vectorial 
 
 
 
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Definição 4.1 (Vector): Um vector é uma grandeza física com 4 características: ponto de aplicação, 
direcção, sentido e comprimento. 
Designação: Os vectores são denotadas por letras minúsculas: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑎, 𝑏, … 
Um vector pode ser definido como sendo 
• um segmento de recta orientado; ou 
• um par ordenado de pontos, no plano ou no espaço que denotamos por AB, onde A é o ponto 
inicial (origem) e B é o ponto final (extremidade). 
Definição 4.2 (Módulo). O módulo dum vector é um número não negativo que indica o 
comprimento do vector. 
• Se ),( yxu = então 
22 yxu += . 
• Se ),,( zyxu = então 
222 zyxu ++= . 
Definição 4.3 (Vector unitário). Vector unitário é um vector cujo módulo é igual a 1. 
Definição 4.4 (Versor de um vector). O versor de um vector é um vector unitário que tem a direcção 
e sentido do vector dado e tal que 
Vers 𝑢 =
𝑢
|𝑢|
 
Definição 4.5 (Expressão cartesiana de um vector). Consideremos os dois casos: 
(i) No plano: Sejam 𝐢 = (1,0) e 𝐣 = (0,1) os vectores unitários dos eixos ortogonais 𝑂𝑋𝑌. A 
expressão cartesiana do vector 𝑢 = (𝑥, 𝑦) é dada por 
𝑢 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 
(ii) No espaço: Sejam 𝐢 = (1,0,0), 𝐣 = (0,1,0) e 𝐤 = (0,0,1) os vectores unitários dos eixos 
ortogonais 𝑂𝑋𝑌𝑍. A expressão cartesiana do vector 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dada por 
𝑢 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝐤 
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Definição 4.6 (Igualdade de vectores). Dois vectores são iguais se tiverem a mesma direcção, 
mesmo sentido e mesmo módulo. Seja 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, . 𝑧2), então 
𝑢 = 𝑣 ⟺ 𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 𝑒 𝑧1 = 𝑧2 
Exemplo 4.1: os vectores 𝑢 = (−1, 3, 5) e 𝑣 = (3, 5, −1) embora tenham os mesmos componentes 
eles são diferentes porque as entradas dos componentes são diferentes. 
Exemplo 4.2: Dados os vectores 𝑢 = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑧 − 1), 𝑣 = (1, 2, 3) e 𝑤 = (2, −5, 6). 
Encontre 𝑥, 𝑦, 𝑧 para que a) 𝑢 = 𝑣 b) 𝑢 = 𝑤 
Solução 
a) 𝑢 = 𝑣 ⟺ (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑧 − 1) = (1, 2, 3 ⟺ {
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑧 − 1 = 3
 . Temos então 
{
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑧 − 1 = 3
⟺ {
2𝑥 = 3
− − − −
𝑧 = 4
⟺ {
𝑥 =
3
2
𝑦 = 2 −
3
2
− − −
⟺ {
𝑥 =
3
2
𝑦 =
1
2
𝑧 = 4
 
Solução: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (
3
2
,
 1
2
, 4) 
b) Para 𝑤 = (2, −5, 6) formar o sistema {
𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 + 𝑦 = −5
𝑧 − 1 = 6
 e resolver 
 {
𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 + 𝑦 = −5 ⟺
𝑧 − 1 = 6
{
2𝑥 = −3
− − − −
𝑧 = 7
⟺{
𝑥 = −
3
2
− − −
− − − −
⟺{
− − −
𝑦 = −5 +
3
2
− − −
⟺ {
𝑥 = −
3
2
𝑦 −
7
2
𝑧 = 7
 
Solução: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−
3
2
, − 
7
2
, 7) 
4.1.1 Operações sobre vectores 
(i) Adição de vectores: Pode se obter a soma de dois ou mais vectores seguindo um dos seguintes 
métodos: 
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• Método Analítico: Sejam 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) ∈ ℝ2 e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) ∈ ℝ2, então 
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
De forma análoga podemos definir a soma de vectores no espaço. 
• Método do Paralelogramo: O vector soma é a diagonal do paralelogramo constituído das 
imagens geométricas de u e v, donde a origem do vector soma coincide com a origem dos 
vectores u e v. 
 
• Método Geométrico Geral: Consiste em colocar todos os vectores em sequência de modo 
que a extremidade de cada vector coincida com a origem do vector seguinte; o vector soma é 
o vector que fecha a poligonal, tendo por origem, a origem do primeiro vector e por 
extremidade, a extremidade do último vector. 
 
 (ii) Multiplicação por um escalar: seja 𝑢 um vector e 𝜆 um número real. O produto de 𝑢 por 𝜆 é 
um vector representado por 𝜆𝑢 tal que: 
• Se 𝜆 > 0, então 𝑢 e 𝜆𝑢 têm a mesma direcção, mesmo sentido e |𝜆𝑢| = 𝜆 ∙ |𝑢|; 
• Se 𝜆