Cálculo Numérico: Métodos e Erros

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CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Fernanda Fonseca 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Iniciaremos nosso estudo compreendendo como se desenvolveu o que 
constituem os métodos numéricos aplicados e o raciocínio envolvido na 
resolução de um problema, no qual utilizaremos os métodos numéricos para 
modelamento e tratamento dos dados. 
A facilidade de acesso e uso de recursos computacionais proporcionou 
que os métodos numéricos aplicados na solução de problemas da engenharia 
tenham crescido muito nas últimas décadas, possibilitando que sejam resolvidos 
de forma mais eficiente e cada vez mais rápida. O estudo dos métodos 
numéricos permite trabalhar com grandes sistemas de equações que seriam 
impossíveis de resolver analiticamente, bem como com grandes conjuntos de 
dados. 
O estudo dos métodos numéricos também permite o desenvolvimento de 
programas de computador que viabilizam o desenvolvimento de processos que 
continuam impulsionando a evolução tecnológica, que permeia o cotidiano da 
sociedade como um todo nos dias atuais (Chapra; Canale, 2002). 
TEMA 1 – O QUE É O CÁLCULO NUMÉRICO? 
O que denominamos como cálculo numérico, ou métodos numéricos, é 
um conjunto de técnicas que permitem encontrar soluções para problemas cujos 
métodos analíticos da matemática básica, do cálculo diferencial e integral e da 
álgebra linear, por exemplo, não são viáveis devido à extensão do cálculo com 
número de dígitos muito grande, ou que não apresentam técnicas para resolução 
do caso em específico (Chapra; Canale, 2002; Jarletti, 2018). 
Dessa forma, o cálculo numérico permite a resolução dos problemas 
juntamente com ferramentas computacionais. 
1.1 Etapas para resolução de um problema 
A resolução de problemas utilizando os recursos oferecidos pelos 
métodos numéricos ocorre em seis etapas: caracterização do problema real; 
levantamento de dados; modelamento matemático; escolha do método numérico 
adequado; implementação computacional do modelo matemático; obtenção e 
análise dos resultados. 
 
 
3 
Figura 1 – Etapas da resolução de problemas 
 
A caracterização do problema real consiste em conhecer os fatores 
(grandezas físicas ou matemáticas) envolvidos na situação-problema e 
identificar as variáveis relevantes, assim como as condições e as limitações 
representativas. Esse processo é importante para o planejamento de 
levantamento de dados, o qual pode exigir a medição e acompanhamento da 
variação das grandezas relevantes de forma simultânea. Com base nos dados, 
é preciso encontrar um modelo matemático, ou seja, obter uma equação, ou um 
Caracterização 
do problema real
Levantamento de 
dados
Modelamento 
matemático
Escolha do 
método 
numérico
Implementação 
computacional
Obtenção e 
análise dos 
resultados
 
 
4 
conjunto de equações, que descreve o fenômeno em estudo e que relacione as 
grandezas envolvidas. 
É com base no modelo matemático e nas condições/limitações impostas 
pela própria situação-problema que o método numérico é selecionado e 
implementado utilizando recursos computacionais que viabilizem a 
implementação do método. Ao adquirir os resultados dessa implementação, eles 
devem ser avaliados para verificar se atendem às demandas do problema real, 
propiciando uma interpretação que direciona para a solução do problema. 
TEMA 2 – APROXIMAÇÕES E ERROS DE PRECISÃO 
Essa disciplina lida principalmente com aproximações. Por isso, os 
resultados por aproximação podem carregar desvios de precisão de diversas 
origens. 
2.1 Erros inerentes 
São imprecisões em valores decorrentes da coleta de dados. Esses erros 
podem ter origem na calibração do equipamento, na precisão do próprio 
equipamento de medição, na leitura de medições em equipamentos analógicos, 
no conjunto de respostas a questionários e censos não verdadeiras (nos quais 
algumas pessoas mentem ao responder às perguntas do questionário), entre 
outras fontes de imprecisão. 
Veja o exemplo da Figura 2, em que o diâmetro do círculo é de 
aproximadamente 52 mm. Esse valor não é preciso, pois o diâmetro é um pouco 
menor do que isso, mas próximo desse valor. A adoção do valor de 52 mm 
acarreta uma imprecisão na medida, ou seja, há um erro de medição que se 
propagará por todo o cálculo. 
 
 
 
5 
Figura 2 – Erros de precisão de medição 
 
Erros decorrentes de proveniente de transformação entre bases 
numéricas de dados em máquinas também podem resultar em desvios devido à 
conversão dos dados para bases diferentes (como números da base decimal 
que utilizamos para base binária dos computadores). A base binária utilizada por 
algumas máquinas não permite a representação de todos os valores numéricos 
representados na base decimal. Essa conversão para armazenamento de dados 
pode causar uma aproximação e um desvio de medidas nos dados. 
2.2 Erros de arredondamento, de truncamento e de discretização 
Ao trabalharmos com valores com um número infinito de dígitos (como o 
número π, por exemplo) ou com um número muito grande de dígitos, que 
inviabiliza o uso de todos eles nos cálculos, esses valores são arredondados ou 
truncados. 
O arredondamento de valores numéricos leva a uma aproximação de 
valores maiores ou menores próximos. Por exemplo, para utilizarmos o número 
π com 6 casas decimais, esse valor deverá ser arredondado: 
𝜋𝜋 = 3,1415926535898 … ⇒ 𝜋𝜋 = 3,141593 
 
 
6 
Veja que o valor de π foi arredondado para um valor maior do que o que 
ele realmente representa, mas que se mostra mais próximo com o número de 
casas decimais solicitado. 
No caso a seguir, veja que o valor fracionário representado no formato 
decimal exige o uso de muitos dígitos. Ao limitarmos a quatro casas decimais, é 
realizado um arredondamento para um valor menor do que o valor real: 
237
152
= 1,559210526 … ⇒ 
237
152
= 1,5592 
O processo de truncamento ou de cancelamento consiste no corte do 
valor com o número de dígitos desejado, sem buscar a melhor aproximação. 
Veja, por exemplo, o caso do número π ao ser truncado com seis casas decimais: 
𝜋𝜋 = 3,1415926535898 … ⇒ 𝜋𝜋 = 3,141592 
Veja que agora o número π foi truncado em um número menor do que o 
que ele realmente representa, sem levar em consideração o valor de melhor 
aproximação. Nesse processo de truncamento, os dígitos excedentes são 
desprezados. 
O processo de discretização consiste em transformar um processo finito 
em um processo discreto. Dessa forma, um fenômeno contínuo pode ser 
representado com uma soma de pequenos efeitos, constituindo uma série 
infinita. Nessa série, pode-se selecionar apenas os valores mais representativos, 
desprezando aqueles que não contribuem de forma relevante para a soma. 
Veremos melhor essa situação futuramente, ao discutirmos sobre sequências e 
séries numéricas (Jarletti, 2018). 
TEMA 3 – ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO 
Os erros surgem do uso de aproximações de representações exatas de 
operações e valores matemáticos, como discutimos anteriormente. Em todos os 
casos, a relação entre o valor aproximado �̅�𝑥 e o valor exato 𝑥𝑥 pode ser definida 
pelo módulo da diferença entre esses valores (Equação 1). 
𝜀𝜀𝑎𝑎 = |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| (1) 
Essa diferença é denominada erro absoluto. 
 
 
7 
De forma semelhante, podemos mensurar a magnitude dessa 
discrepância em relação ao valor real por meio da normalização do erro absoluto, 
como mostra a Equação 2, a seguir. 
𝜀𝜀𝑟𝑟 =
𝜀𝜀𝑎𝑎
|𝑥𝑥| ⇒ 𝜀𝜀𝑟𝑟 =
|𝑥𝑥 − �̅�𝑥|
|𝑥𝑥| (2) 
Esse desvio recebe o nome de erro relativo. É sempre representado em 
percentual, por isso podemos multiplicar o resultado da equação apresentada 
por 100% para encontrarmos esse valor em formato percentual. 
Exemplo 1 
Um engenheiro civil faz a medição de uma ponte e registra o valor de 
299,98 m, quando o valor real é de 300 m. Veja que, nesse caso, o erro absoluto 
entre as medidas dado pela Equação 1 é: 
𝜀𝜀𝑎𝑎 = |300 − 299,98|𝜀𝜀𝑎𝑎 = 0,02 𝑚𝑚 
Veja que o erro relativo dado pela Equação 2 nesse caso é: 
𝜀𝜀𝑟𝑟 =
0,02
300
 
𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,000067
×100
���� 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,0067% 
Exemplo 2 
Um físico, em seu laboratório, detecta uma partícula subatômica que 
descreve uma trajetória circular cujo raio aferido tem 2,56 cm. Entretanto, o valor 
real previsto para o raio da trajetória dessa partícula é de 2,47 cm. 
Nesse caso, o erro absoluto entre o valor medido e o valor real previsto 
determinado pela Equação 1 é: 
𝜀𝜀𝑎𝑎 = |2,47 − 2,56| 
𝜀𝜀𝑎𝑎 = |−0,09| 
𝜀𝜀𝑎𝑎 = 0,09 𝑐𝑐𝑚𝑚 
Veja que o erro relativo dado pela Equação 2 nesse caso é: 
 
 
8 
𝜀𝜀𝑟𝑟 =
0,09
2,47
 
𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,036437
×100
���� 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 3,6437% 
Normalmente, o erro relativo é medido em relação ao valor real, 
entretanto, há situações em que não possuímos esse valor real. Nesses casos, 
da mesma forma como o erro absoluto é determinado em relação à aproximação 
prévia, o processo de normalização para determinarmos o erro relativo também 
será sobre a aproximação prévia. Essa é uma situação comum na aplicação de 
métodos numéricos. Em situações como essas, é definido um critério que 
estipula qual a tolerância de precisão da medida, isto é, define-se a precisão da 
aproximação (Chapra; Canale, 2002). 
Exemplo 3 
Algumas funções matemáticas podem ser representadas pela soma de 
infinitos termos, o que caracteriza uma série. Falaremos mais sobre isso 
futuramente. Esse é o caso desta função exponencial: 
𝑒𝑒𝑥𝑥 = 1 + 𝑥𝑥 +
𝑥𝑥²
2
+
𝑥𝑥³
3!
+ ⋯+
𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑛𝑛!
 
Ao abreviarmos inicialmente a função para 𝑒𝑒𝑥𝑥 = 1 + 𝑥𝑥, podemos estimar 
o valor aproximado de 𝑒𝑒𝑥𝑥 para determinado valor de 𝑥𝑥. Por exemplo, se 
adotarmos 𝑥𝑥 = 0,4, o valor estimado será: 
𝑒𝑒0,4 = 1 + 0,4 
𝑒𝑒0,4 = 1,4 
Se abreviarmos a função para 𝑒𝑒𝑥𝑥 = 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥²
2
, podemos estimar o valor 
aproximado de 𝑒𝑒𝑥𝑥 para determinado valor de 𝑥𝑥. Por exemplo, se adotarmos 𝑥𝑥 =
0,4, o valor estimado será: 
𝑒𝑒0,4 = 1 + 0,4 +
0,4²
2
 
𝑒𝑒0,4 = 1,48 
 
 
9 
Veja que em relação ao valor inicial estimado para 𝑒𝑒0,4, o erro absoluto é: 
𝜀𝜀𝑎𝑎 = |1,48 − 1,4| 
𝜀𝜀𝑎𝑎 = 0,08 
Veja que o erro relativo pode ser determinado em relação ao último valor 
adotado. Nesse caso, é: 
𝜀𝜀𝑟𝑟 =
0,08
1,48
 
𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,054054
×100
���� 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 5,4054% 
Para casos práticos, não tem como mensurar o erro exato associado ao 
método numérico aplicado. Conhecemos os erros reais quando as equações 
matemáticas são resolvidas de forma analítica, o que torna desnecessária a 
implementação dos métodos numéricos. No entanto, para a maioria dos casos 
de aplicações na engenharia, devemos definir um erro estimado como critério 
para nossos cálculos (Chapra; Canale, 2002). Mas há forma de estimar esses 
erros de forma a reduzir a incerteza que carregam na solução. 
TEMA 4 – RAÍZES REAIS DE FUNÇÕES REAIS 
Desde cedo, aprendemos que para determinar as raízes de uma função 
quadrática, podemos utilizar a Equação 3: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 ⇒ 𝑥𝑥 =
−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 + 4𝑎𝑎𝑐𝑐
2𝑎𝑎
 (3) 
As raízes de uma função (ou zeros da função) são os valores de x para 
os quais a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. São os valores de x para os quais a função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
cruza ou toca o eixo x. Veja na Figura 3, a função representada no gráfico é a 
função real 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 8. Essa função tem os pontos (2; 0) e (4; 0) como 
pontos para os quais 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0, ou seja, os valores 𝑥𝑥 = 2 e 𝑥𝑥 = 4 são as 
raízes dessa função. 
 
 
 
10 
Figura 3 – Gráfico de uma função real 𝒇𝒇(𝒙𝒙) 
 
Mas nem todas as funções permite a determinação de suas raízes de 
forma simples como uma função quadrática, ou linear (𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏). Há 
problemas cuja equação modeladora é muito complexa, exigindo métodos de 
determinação das raízes também complicados, ou mesmo desconhecidos. 
Essas funções são denominadas transcendentes ou transcendentais, e exigem 
métodos numéricos para determinação dos zeros da função. 
Contudo, os métodos numéricos apresentam valores aproximados, cuja 
precisão é definida previamente, buscando atender às necessidades do contexto 
do problema em questão (Jarletti, 2018). Esses métodos consistem em 
processos repetitivos (iterativos) para os quais há um aumento da precisão à 
medida que se aumenta o número de interações. 
4.1 Determinação do domínio da função 
É sempre importante conhecer o domínio da função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para que 
possamos identificar o intervalo que contém a raiz da função no conjunto dos 
números reais, ]−∞; +∞[, excluindo os valores das possíveis restrições 
características de cada função real. “A determinação do domínio da função 
permitirá a construção de uma tabela de valores de forma ordenada (crescente 
ou decrescente) para a variável independente (𝑥𝑥) e o cálculo dos 
correspondentes valores de 𝑦𝑦 ou 𝑓𝑓(𝑥𝑥)” (Jarletti, 2018, p. 33). Com base nessa 
tabela, poderemos identificar em qual intervalo está a raiz da função que atende 
 
 
11 
aos critérios definidos pelo contexto do problema que gerou a função modeladora 
em questão. 
A raiz (ou as raízes) da função encontra-se no intervalo entre os valores 
de x para os quais há uma mudança de sinal dos valores de y. Esses valores de 
x formam os extremos do intervalo que contém a raiz da função [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. 
Exemplo 4 
Para determinar o domínio da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2
𝑥𝑥−2
− 3, consideramos as 
seguintes condições: 
• É preciso que o denominador seja um valor diferente de zero: 
𝑥𝑥 − 2 ≠ 0 
𝑥𝑥 ≠ 2 
• A raiz quadrada deve ser aplicada em um valor positivo ou nulo: 
𝑥𝑥 − 2 ≥ 0 
𝑥𝑥 ≥ 2 
Veja que como a primeira condição exige que 𝑥𝑥 seja deferente de 2, esse 
valor deve ser excluído do domínio da função. Dessa forma, a partir da segunda 
condição, adotamos como domínio da função apenas os valores reais de 𝑥𝑥 
maiores do que 2. 
𝐷𝐷 = {𝑥𝑥 ∈ ℜ|𝑥𝑥 > 2} 
Exemplo 5 
Vamos fazer a mesma análise para a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1). Para 
determinar o domínio dessa função, consideramos as seguintes condições: 
• A função logarítmica pode ser aplicada apenas em valores positivos e não 
nulos, ou seja: 
3𝑥𝑥 − 1 > 0 
𝑥𝑥 >
1
3
⇒ 𝑥𝑥 > 0,333334 
 
 
12 
Dessa forma, adotamos como domínio da função apenas os valores reais 
de 𝑥𝑥 maiores do que 0,333334: 
𝐷𝐷 = {𝑥𝑥 ∈ ℜ|𝑥𝑥 > 0,333334} 
Conhecendo o intervalo que contém a raiz real da função, essa raiz pode 
ser determinada por diferentes métodos numéricos, de acordo com a precisão 
desejada. Nesta disciplina, adotaremos seis casas decimais para os valores 
numéricos, de forma que alguns valores sofrerão arredondamentos decorrentes 
da limitação do número de casas decimais. 
A precisão desejada é que definirá o número de iterações realizadas pelos 
métodos numéricos. O critério de parada pode estar relacionado a |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 𝜀𝜀 ou 
ao erro absoluto |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 𝜀𝜀, ou a ambos. Quando a condição do critério de 
parada é atendida, as iterações são finalizadas. 
4.2 Métodos de quebra do intervalo 
Os métodos de quebra de intervalo consistem em métodos que causam 
uma redução do intervalo que contém a raiz, de forma que esse intervalo se 
aproxima cada vez mais do valor da raiz da função, a cada iteração realizada. 
4.2.1 Método da Bissecção ou Método do Meio Intervalo (MMI) 
Para um intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz de uma função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) real, 
a valor de 𝑓𝑓(𝑎𝑎) e 𝑓𝑓(𝑏𝑏) possuirá sinais diferentes (um será positivo e o outro 
negativo). Assim, o produto entre eles será sempre um valor negativo devido à 
diferença de sinal (Equação 4). 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) ∙ 𝑓𝑓(𝑏𝑏) < 0 (4) 
Esse método consiste em quebrar o intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] ao meio, tomando o 
ponto médio do intervalo como raiz da função (Equação 5). 
�̅�𝑥 =
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
2
 (5) 
Essa quebra de intervalo gera dois novosintervalos [𝑎𝑎; �̅�𝑥] e [�̅�𝑥; 𝑏𝑏]. É 
importante selecionar os limites do novo intervalo de forma que atendam à 
condição dada na Equação 4. A repetição desse processo de quebra de 
 
 
13 
intervalos permite que haja uma convergência do valor de �̅�𝑥 ao valor da raiz da 
função até que o critério de parada seja atendido. 
Figura 4 – Gráficos representando a convergência do Método da Bissecção 
 
Veja que a Figura 4 (a) apresenta o intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz da 
função 𝑓𝑓(𝑥𝑥), e o valor médio 𝑥𝑥1 que está à direita do valor real da raiz. Por esse 
motivo, adota-se um novo intervalo menor [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] = [𝑎𝑎; 𝑥𝑥1] na Figura 4 (b). O valor 
médio 𝑥𝑥2 desse intervalo encontra-se a esquerda do valor da raiz da função, por 
isso adota-se um novo intervalo menor [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] = [𝑥𝑥2; 𝑥𝑥1] na Figura 4 (c), o que 
permite determinar um valor médio 𝑥𝑥3 ainda mais próximo do valor real da raiz 
da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Dessa forma, percebe-se graficamente que a quebra de intervalo 
permite uma convergência para o valor desejado do zero da função. 
Exemplo 6 
Vamos utilizar o Método da Bissecção para determinar a raiz real da 
função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2
𝑥𝑥−2
− 3, para a qual já conhecemos o domínio no Exemplo 4. A 
partir do domínio, podemos identificar o intervalo que contém a raiz da função, 
determinando a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para valores de 𝑥𝑥 > 2. 
 
x 2,001 2,010 2,500 3,000 
f(x) 28,622777 7 -1,585786 -2 
 
Observe que f(x) troca de sinal entre os valores 2,010 e 2,500 para 𝑥𝑥. Isso 
significa que a função cruza o eixo x entre esses valores, por isso podemos 
definir que a raiz da função está contida no intervalo [2,010; 2,500]. 
Sendo 𝑎𝑎 = 2,010 e 𝑏𝑏 = 2,500, temos que 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 7 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 
𝑓𝑓(𝑏𝑏) = −1,585786 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0 
 
 
14 
Pelo Método da Bissecção, o valor estimado da raiz da função será dado 
pela Equação 5. 
�̅�𝑥 =
2,010 + 2,500
2
 
�̅�𝑥 = 2,255 
A função para esse valor é de: 
𝑓𝑓(2,255) =
�2,255 − 2
2,255 − 2
− 3 
𝑓𝑓(2,255) = −1,0197 
Observe que o valor de 𝑓𝑓(�̅�𝑥) é negativo da mesma forma que 𝑓𝑓(𝑏𝑏). Nesse 
caso, 𝑏𝑏 assume o valor de �̅�𝑥. 
𝑏𝑏 = 2,255 
O intervalo adotado para a próxima iteração passa a ser [2,010; 2,255]. 
Vamos continuar o processo iterativo até atingir o critério de parada dado 
por |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 10−2. 
 
k a f(a) b f(b) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) 
1 2,01 7 2,5 -1,58579 2,255 -1,0197 
2 2,01 7 2,255 -1,0197 2,1325 -0,25279 
3 2,01 7 2,1325 -0,25279 2,07125 0,746343 
4 2,07125 0,746343 2,1325 -0,25279 2,101875 0,133042 
5 2,101875 0,133042 2,1325 -0,25279 2,117188 -0,07881 
6 2,101875 0,133042 2,117188 -0,07881 2,109531 0,021558 
7 2,109531 0,021558 2,117188 -0,07881 2,113359 -0,0299 
8 2,109531 0,021558 2,113359 -0,0299 2,111445 -0,0045 
 
Na oitava iteração, estimamos que a raiz da função é �̅�𝑥 = 2,111445, valor 
para o qual a função atende ao critério de parada imposto, uma vez que: 
|𝑓𝑓(�̅�𝑥)| = |−0,0045| 
|𝑓𝑓(�̅�𝑥)| = 0,0045 < 10−2 
 
 
15 
Por isso, adotamos o valor 2,111445 como a raiz da função. 
Exemplo 7 
Na maioria dos enunciados dos problemas, o critério de parada e o 
intervalo que contém a raiz da função já são definidos. Por exemplo, para 
determinar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1) pelo Método da Bissecção, 
adotaremos o intervalo [0,333334; 1]. Utilizaremos como critério de parada 
|𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 10−2. 
Nesse caso, teremos 𝑎𝑎 = 0,333334 e 𝑏𝑏 = 1, sendo: 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = −13,122363 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0 
𝑓𝑓(𝑏𝑏) = 0,693147 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 
 Pelo Método da Bissecção, o valor estimado da raiz da função será dado 
pela Equação 5. 
�̅�𝑥 =
0,333334 + 1
2
 
�̅�𝑥 = 0,666667 
A função para esse valor é de: 
𝑓𝑓(0,666667) = 𝑙𝑙𝑛𝑛 (3(0,666667) − 1) 
𝑓𝑓(0,666667) = 0,000001 
Observe que o valor de 𝑓𝑓(�̅�𝑥) é positivo da mesma forma que 𝑓𝑓(𝑏𝑏). Nesse 
caso, 𝑏𝑏 assume o valor de �̅�𝑥. 
𝑏𝑏 = 0,666667 
O intervalo adotado para a próxima iteração passa a ser 
[0,333334; 0,666667]. Nesse contexto, vamos continuar o processo iterativo até 
atingir o critério de parada definido. 
 
 
 
 
16 
k a f(a) b f(b) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) 
1 0,333334 -13,122363 1,000000 0,693147 0,666667 0,000001 
2 0,333334 -13,122363 0,666667 0,000001 0,500001 -0,693144 
3 0,500001 -0,693144 0,666667 0,000001 0,583334 -0,287680 
4 0,583334 -0,287680 0,666667 0,000001 0,625000 -0,133530 
5 0,625000 -0,133530 0,666667 0,000001 0,645834 -0,064537 
6 0,645834 -0,064537 0,666667 0,000001 0,656250 -0,031748 
7 0,656250 -0,031748 0,666667 0,000001 0,661459 -0,015747 
8 0,661459 -0,015747 0,666667 0,000001 0,664063 -0,007842 
Na oitava iteração, estimamos que a raiz da função é �̅�𝑥 = 0,664063, valor 
para o qual a função atende ao critério de parada imposto, uma vez que: 
|𝑓𝑓(�̅�𝑥)| = |−0,007842| 
|𝑓𝑓(�̅�𝑥)| = 0,007842 < 10−2 
Por isso, adotamos o valor 0,664063 como a raiz da função. 
4.2.2 Método da Posição Falsa 
De forma semelhante ao Método da Bissecção, um intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que 
contém a raiz de uma função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) real é quebrado, gerando dois novos 
intervalos [𝑎𝑎; �̅�𝑥] e [�̅�𝑥; 𝑏𝑏]. A diferença entre esses dois métodos é que o Método 
da Posição Falsa não adota o valor médio do intervalo como raiz da função, mas 
adota �̅�𝑥 como uma média ponderada dada pela Equação 6. 
𝒙𝒙� =
𝑎𝑎 ∙ 𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑏𝑏 ∙ 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
 (6) 
Os limites do novo intervalo devem atender à condição dada na Equação 
4. A repetição desse processo de quebra de intervalos permite que haja uma 
convergência do valor de �̅�𝑥 ao valor da raiz da função até que o critério de parada 
seja atendido. 
Exemplo 8 
Vamos utilizar o Método da Posição Falsa para determinar a raiz real da 
função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2
𝑥𝑥−2
− 3. Adotaremos que a raiz está contida no intervalo 
[2,010; 2,500]. Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os 
valores das estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. 
 
 
17 
Sendo 𝑎𝑎 = 2,010 e 𝑏𝑏 = 2,500, temos que: 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 7 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 
𝑓𝑓(𝑏𝑏) = −1,585786 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0 
Pelo Método da Posição Falsa, o valor estimado da raiz da função será 
dado pela Equação 6. 
�̅�𝑥 =
(2,010) ∙ (−1,585786) − (2,500) ∙ (7)
(−1,585786) − (7) 
�̅�𝑥 = 2,409497 
A função para esse valor é de: 
𝑓𝑓(2,409497) = √2,409497 − 2
2,409497 − 2
− 3 
𝑓𝑓(2,409497) = −1,437304 
Observe que o valor de 𝑓𝑓(�̅�𝑥) é negativo da mesma forma que 𝑓𝑓(𝑏𝑏). Nesse 
caso, 𝑏𝑏 assume o valor de �̅�𝑥. 
𝑏𝑏 = 2,409497 
O intervalo adotado para a próxima iteração passa a ser 
[2,010; 2,409497]. 
Vamos continuar o processo iterativo até atingir o critério de parada 
definido. 
k a f(a) b f(b) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) |𝒙𝒙 − 𝒙𝒙�| 
1 2,010 7 2,500 -1,585786 2,409497 -1,437304 - 
2 2,010 7 2,409497 -1,437304 2,341443 -1,288641 0,068055 
3 2,010 7 2,341443 -1,288641 2,289913 -1,142768 0,051530 
4 2,010 7 2,289913 -1,142768 2,250630 -1,002514 0,039283 
5 2,010 7 2,250630 -1,002514 2,220485 -0,870338 0,030145 
6 2,010 7 2,220485 -0,870338 2,197208 -0,748161 0,023276 
7 2,010 7 2,197208 -0,748161 2,179132 -0,637271 0,018077 
8 2,010 7 2,179132 -0,637271 2,165019 -0,538311 0,014113 
9 2,010 7 2,165019 -0,538311 2,153949 -0,451342 0,011070 
 
 
18 
10 2,010 7 2,153949 -0,451342 2,145230 -0,375949 0,008719 
Na décima iteração, estimamos que a raiz da função é �̅�𝑥 = 2,145230, valor 
para o qual a função atende ao critério de parada imposto, uma vez que: 
|𝑥𝑥 − �̅�𝑥| = |2,145230 − 2,153949| 
|𝑥𝑥 − �̅�𝑥| = 0,008719 < 10−2 
Por isso, adotamos o valor 2,145230 como a raiz da função. 
Exemplo 9 
Para determinar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1) pelo Método da 
Posição Falsa, adotaremos que a raiz está contida no intervalo [0,333334; 1]. 
Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os valores das 
estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. 
Nesse caso, teremos 𝑎𝑎 = 0,333334e 𝑏𝑏 = 1, sendo: 
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = −13,122363 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0 
𝑓𝑓(𝑏𝑏) = 0,693147 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 
 Pelo Método da Posição Falsa, o valor estimado da raiz da função será 
dado pela Equação 6. 
�̅�𝑥 =
(0,333334) ∙ (0,693147) − (1) ∙ (−13,122363)
(0,6931471) − (−13,122363) 
�̅�𝑥 = 0,966552 
A função para esse valor é de: 
𝑓𝑓(0,966552) = 𝑙𝑙𝑛𝑛 (3(0,966552) − 1) 
𝑓𝑓(0,966552) = 0,641673 
Observe que o valor de 𝑓𝑓(�̅�𝑥) é positivo da mesma forma que 𝑓𝑓(𝑏𝑏). Nesse 
caso, 𝑏𝑏 assume o valor de �̅�𝑥. 
𝑏𝑏 = 0,966552 
 
 
19 
O intervalo adotado para a próxima iteração passa a ser 
[0,333334; 0,966552]. 
Vamos continuar o processo iterativo até atingir o critério de parada 
definido. 
 
 
k a f(a) b f(b) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) |𝒙𝒙 − 𝒙𝒙�| 
1 0,333334 -13,122363 1 0,693147 0,966552 0,641673 - 
2 0,333334 -13,122363 0,966552 0,641673 0,937032 0,593932 0,029520 
3 0,333334 -13,122363 0,937032 0,593932 0,910891 0,549665 0,026141 
4 0,333334 -13,122363 0,910891 0,549665 0,887671 0,508631 0,023220 
5 0,333334 -13,122363 0,887671 0,508631 0,866986 0,470603 0,020685 
6 0,333334 -13,122363 0,866986 0,470603 0,848511 0,435369 0,018476 
7 0,333334 -13,122363 0,848511 0,435369 0,831967 0,402729 0,016543 
8 0,333334 -13,122363 0,831967 0,402729 0,817120 0,372501 0,014848 
9 0,333334 -13,122363 0,817120 0,372501 0,803766 0,344509 0,013354 
10 0,333334 -13,122363 0,803766 0,344509 0,791731 0,318595 0,012035 
11 0,333334 -13,122363 0,791731 0,318595 0,780866 0,294606 0,010866 
12 0,333334 -13,122363 0,780866 0,294606 0,771039 0,272404 0,009827 
Na décima segunda iteração, estimamos que a raiz da função é �̅�𝑥 =
0,771039, valor para o qual a função atende ao critério de parada imposto, uma 
vez que: 
|𝑥𝑥 − �̅�𝑥| = |0,771039 − 0,780866| 
|𝑥𝑥 − �̅�𝑥| = 0,009827 < 10−2 
Por isso, adotamos o valor 0,771039 como a raiz da função. 
4.3 Métodos de Ponto Fixo 
Os Métodos de Ponto Fixo consistem em procedimentos iterativos que 
buscam a raiz de uma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) quando essa é reescrita como 𝑥𝑥 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥) a 
partir da definição de que a raiz atende ao critério 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. 
Esse tipo de solução dever atender a duas condições: 
I. 𝜑𝜑(𝑥𝑥) deve ser contínua no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz da função. 
II. Deve existir 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] de forma que 𝑥𝑥 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥), de maneira que haja pelo 
menos um ponto fixo no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. 
 
 
20 
4.3.1 Método Iterativo Linear (MIL) 
Esse método consiste em reescrever 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 como uma equação 
equivalente 𝑥𝑥 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥). A partir de um valor inicial 𝑥𝑥0 que pode ser conhecido, ou 
pode ser adotado o valor médio do intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz da função, 
determinamos o valor de 𝑥𝑥 pela Equação 7, repetindo o processo até que o 
critério de parada seja atendido. 
𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥𝑘𝑘−1) (7) 
Uma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) pode permitir a definição de várias funções de iteração 
𝜑𝜑(𝑥𝑥), que podem gerar valores de 𝑥𝑥 que convergem ou divergem no intervalo 
[𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Assim, se os valores de 𝑥𝑥 determinados pela Equação 7 estão no intervalo 
[𝑎𝑎; 𝑏𝑏], a função de iteração é convergente; se os valores de 𝑥𝑥 determinados pela 
Equação 7 estão fora do intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], a função de iteração é divergente. 
Exemplo 10 
Vamos utilizar o Método Iterativo Linear para determinar a raiz real da 
função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2
𝑥𝑥−2
− 3. Adotaremos que a raiz da função está contida no 
intervalo [2,010; 2,500]. Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto 
entre os valores das estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. 
Nesse método, definimos inicialmente as possibilidades de funções que 
derivam de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 ⇒ 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥𝑘𝑘−1). 
• Primeira possibilidade: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
√𝑥𝑥 − 2
𝑥𝑥 − 2
− 3 = 0 
√𝑥𝑥 − 2
𝑥𝑥 − 2
= 3 
√𝑥𝑥 − 2 = 3(𝑥𝑥 − 2) 
√𝑥𝑥 − 2
3
= (𝑥𝑥 − 2) 
√𝑥𝑥 − 2
3
+ 2 = 𝑥𝑥 
 
 
21 
𝑥𝑥𝑘𝑘 =
�𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 2
3
+ 2 = 𝜑𝜑1 
• Segunda possibilidade: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
√𝑥𝑥 − 2
𝑥𝑥 − 2
− 3 = 0 
√𝑥𝑥 − 2
𝑥𝑥 − 2
= 3 
√𝑥𝑥 − 2 = 3(𝑥𝑥 − 2) 
√𝑥𝑥 − 2
2
= (3𝑥𝑥 − 6)2 
𝑥𝑥 − 2 = (3𝑥𝑥 − 6)2 
𝑥𝑥 = (3𝑥𝑥 − 6)2 + 2 
𝑥𝑥𝑘𝑘 = (3𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 6)2 + 2 = 𝜑𝜑2 
Para aplicação do Método Iterativo Linear, adota-se como o primeiro valor 
estimado 𝑥𝑥0 o valor médio do intervalo. 
𝑥𝑥0 =
2,010 + 2,500
2
 
𝑥𝑥0 = 2,255 
Vamos analisar a primeira possibilidade de função de iteração 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝜑𝜑1. 
Na primeira iteração (𝑘𝑘 = 1), 
𝑥𝑥1 =
�𝑥𝑥0 − 2
3
+ 2 
𝑥𝑥1 =
�2,255 − 2
3
+ 2 
𝑥𝑥1 = 2,168325 
Veja que o erro absoluto entre o novo valor estimado 𝑥𝑥1 e o valor estimado 
prévio 𝑥𝑥0 não atendem ao critério de parada definido |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0| ≤ 10−2. 
 
 
22 
|2,168325 − 2,255| > 10−2 
0,086675 > 10−2 
Por esse motivo, novas iterações devem ser realizadas até que o critério 
de parada seja atendido. 
Segunda iteração (𝑘𝑘 = 2): 
𝑥𝑥2 =
�𝑥𝑥1 − 2
3
+ 2 
𝑥𝑥2 =
�2,168325 − 2
3
+ 2 
𝑥𝑥2 = 2,136758 
O erro absoluto nesse caso é: 
|𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1| = |2,136758 − 2,168325| > 10−2 
0,031567 > 10−2 
Continuando o processo iterativo: 
k 𝒙𝒙𝒌𝒌 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒌𝒌) |𝒙𝒙𝒌𝒌 − 𝒙𝒙𝒌𝒌−𝟏𝟏| 
0 2,255 -1,019705 - 
1 2,168325 -0,562607 0,086675 
2 2,136758 -0,295896 0,031567 
3 2,123269 -0,151788 0,013489 
4 2,117032 -0,076879 0,006237 
Na quarta iteração, estimamos que a raiz da função é 𝑥𝑥 = 2,117031, valor 
para que atende ao critério de parada imposto, uma vez que: 
|𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥3| = |2,117031 − 2,123269| 
0,006237 < 10−2 
Por isso, adotamos o valor 2,117031 como a raiz da função. 
 
 
23 
Caso o uso da primeira possibilidade de função não possibilite a 
convergência para o valor da raiz, deve-se repetir o processo iterativo com a 
segunda possibilidade de função. 
Exemplo 11 
Agora, vamos buscar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1) pelo Método 
Iterativo Linear. Adotaremos que a raiz está contida no intervalo [0,333334; 1]. 
Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os valores das 
estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. 
Para determinar a única possibilidade de função de iteração, nesse caso: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(3𝑥𝑥 − 1) = 0 
𝑒𝑒ln(3𝑥𝑥−1) = 𝑒𝑒0 
3𝑥𝑥 − 1 = 1 
3𝑥𝑥 = 1 + 1 
𝑥𝑥 =
2
3
⇒ 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 0,666667 
Observe que a função é constante, o que não permite a implementação 
de uma série de iterações. Caso o valor de 𝑥𝑥 esteja contido no intervalo que 
contém a raiz da função, pode-se adotar esse valor de 𝑥𝑥 como a raiz da função. 
Por esse motivo, adotaremos 0,666667 como a raiz da função. 
4.3.2 Método de Newton-Raphson ou Método das Tangentes 
Esse método trabalha com uma projeção da tangente da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no 
valor de 𝑥𝑥 no eixo x, de forma a assumir valores de x cada vez mais próximos da 
raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Veja na Figura 5 que a reta tangente da função no ponto 𝑥𝑥0, 
projetada sobre o eixo x, gera um novo valor de 𝑥𝑥1 mais próximo do valor real da 
raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥), dentro do intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. 
 
 
 
 
 
 
24 
Figura 5 – Método de Newton-Raphson ou Método das Tangentes 
 
A partir de um valor inicial 𝑥𝑥0 que pode ser conhecido, ou pode ser adotado 
o valor médio do intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz da função, determinamos o 
valor de 𝑥𝑥 pela Equação 8, repetindo o processo até que o critério de parada seja 
atendido. 
𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 −
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘−1)
𝑓𝑓′(𝑥𝑥𝑘𝑘−1)
 (8) 
Segundo Jarletti (2018), a dificuldade de utilizar esse método está no 
cálculo da derivada da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para determinação da equação que descreve 
o método (Equação 8). 
Exemplo 12 
Vamos utilizar o Método de Newton-Raphson para determinar a raiz real 
da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2
𝑥𝑥−2
− 3. Adotaremos que a raiz da função está contida no 
intervalo [2,010; 2,500]. Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto 
entre os valores das estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. 
Para aplicação desse método, precisamosdeterminar também a derivada 
da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
√𝑥𝑥 − 2
𝑥𝑥 − 2
− 3 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −
1
2�(𝑥𝑥 − 2)3
 
 
 
 
25 
Reescrevendo a Equação 8 que caracteriza o Método de Newton-
Raphson: 
𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 −
��
𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 2
𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 2 − 3�
�− 1
2�(𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 2)3
�
 
Para aplicação do Método de Newton-Raphson, adota-se como o primeiro 
valor estimado 𝑥𝑥0 o valor médio do intervalo. 
𝑥𝑥0 =
2,010 + 2,500
2
 
𝑥𝑥0 = 2,255 
Aplicando no método na primeira iteração (𝑘𝑘 = 1), 
𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 −
��
𝑥𝑥0 − 2
𝑥𝑥0 − 2 − 3�
�− 1
2�(𝑥𝑥0 − 2)3
�
 
𝑥𝑥1 = 2,255 −
��2,255 − 2
2,255 − 2 − 3�
�− 1
2�(2,255 − 2)3
�
 
𝑥𝑥1 = 2,255 −
[−1,019705]
[−3,882932] 
𝑥𝑥1 = 1,992388 
Veja que o valor encontrado para 𝑥𝑥1 = 1,992388 está fora do intervalo 
[2,010; 2,500] que contém a raiz da função. Nesse caso, diz-se que esse método 
não converge para a raiz e orienta-se a busca por outro método numérico para 
determiná-la, uma vez que este não se mostra adequado para tal fim. 
Exemplo 13 
Agora, vamos buscar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1) pelo Método de 
Newton-Raphson. Adotaremos que a raiz está contida no intervalo [0,333334; 1]. 
 
 
26 
Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os valores das 
estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. 
Para aplicação desse método, precisamos determinar também a derivada 
da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑛𝑛(3𝑥𝑥 − 1) ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
3
3𝑥𝑥 − 1
 
Reescrevendo a Equação 8 que caracteriza o Método de Newton-
Raphson: 
𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 −
[𝑙𝑙𝑛𝑛(3𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 1)]
� 3
3𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 1�
 
Para aplicação do Método de Newton-Raphson, adota-se como o primeiro 
valor estimado 𝑥𝑥0 o valor médio do intervalo. 
𝑥𝑥0 =
0,333334 + 1
2
 
𝑥𝑥0 = 0,666667 
Aplicando no método na primeira iteração (𝑘𝑘 = 1): 
𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 −
[𝑙𝑙𝑛𝑛(3𝑥𝑥0 − 1)]
� 3
3𝑥𝑥0 − 1�
 
𝑥𝑥1 = 0,666667 −
[𝑙𝑙𝑛𝑛(3(0,666667) − 1)]
� 3
3(0,666667) − 1�
 
𝑥𝑥1 = 0,666667 −
[0,000001]
[2,999997] 
𝑥𝑥1 = 0,666667 
Veja que o valor estimado 𝑥𝑥1 = 0,666667 atende ao critério de parada 
imposto, uma vez que: 
|𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0| = |0,666667 − 0,666667| 
 
 
27 
0,000000 ≤ 10−2 
Por isso, adotamos o valor 0,666667 como a raiz da função. 
4.4 Método da Secante 
Esse método caracteriza-se pela necessidade de ter mais atribuições 
iniciais para estimar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Ele tem forma similar ao Método de 
Newton-Raphson, entretanto, substitui a derivada por uma aproximação. 
Por esse motivo, a partir das estimativas 𝑥𝑥0 e 𝑥𝑥1, estimam-se as novas 
raízes pela Equação 9. Veja que essas atribuições iniciais são diferentes entre 
si, podendo ser definidas livremente, desde que estejam contidas dentro do 
intervalo, que possui a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) (Jarletti, 2018; Chapra; Canale, 2002). 
𝑥𝑥𝑘𝑘+1 =
𝑥𝑥𝑘𝑘−1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘) − 𝑥𝑥𝑘𝑘 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘−1)
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘−1)
 (9) 
Exemplo 14 
Vamos utilizar o Método da Secante para determinar a raiz real da função 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2
𝑥𝑥−2
− 3, com valores atribuídos de 𝑥𝑥0 = 2,015 e 𝑥𝑥1 = 2,305, uma vez que 
a raiz da função está contida no intervalo [2,010; 2,500]. Utilizaremos como 
critério de parada |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 10−2. 
Para os valores atribuídos, podemos definir que: 
𝑥𝑥0 = 2,015 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = 5,164966 
𝑥𝑥1 = 2,305 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) = −1,189285 
Pela Equação 9 que caracteriza o Método da Secante, a primeira iteração 
(𝑘𝑘 = 1) será dada por: 
𝑥𝑥2 =
𝑥𝑥0 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑥𝑥1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)
𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 
𝑥𝑥2 =
(2,015) ∙ (−1,189285) − (2,305) ∙ (5,164966)
(−1,189285) − (5,164966) 
𝑥𝑥2 = 2,250723 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) = −1,002884 
 
 
28 
Como 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) não atende ao critério de parada, será necessário realizar 
uma segunda iteração (𝑘𝑘 = 2). 
|𝑓𝑓(𝑥𝑥2) | = 1,002884 > 10−2 
Para a segunda iteração, 
𝑥𝑥3 =
𝑥𝑥1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) − 𝑥𝑥2 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)
𝑓𝑓(𝑥𝑥2) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 
𝑥𝑥3 =
(2,305) ∙ (−1,002884) − (2,250723) ∙ (−1,189285)
(−1,002884) − (−1,189285) 
𝑥𝑥3 = 1,958697 
Veja que o valor encontrado para 𝑥𝑥3 = 1,958697 está fora do intervalo 
[2,010; 2,500] que contém a raiz da função. Nesse caso, diz-se que esse método 
não converge para a raiz e orienta-se a busca por outro método numérico para 
determiná-la, uma vez que este não se mostra adequado para tal fim. 
Exemplo 15 
Vamos buscar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1) pelo Método da 
Secante, com valores atribuídos de 𝑥𝑥0 = 0,35 e 𝑥𝑥1 = 0,8, uma vez que a raiz da 
função está contida no intervalo [0,333334; 1]. Utilizaremos como critério de 
parada |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 10−2. 
Para os valores atribuídos, podemos definir que: 
𝑥𝑥0 = 𝑐𝑐 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = −2,995732 
𝑥𝑥1 = 0,8 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) = 0,336472 
Pela Equação 9 que caracteriza o Método da Secante, a primeira iteração 
(𝑘𝑘 = 1) será dada por: 
𝑥𝑥2 =
𝑥𝑥0 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑥𝑥1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)
𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 
𝑥𝑥2 =
(0,35) ∙ (0,336472) − (0,8) ∙ (−2,995732)
(0,336472) − (−2,995732) 
𝑥𝑥2 = 0,754561 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) = 0,234030 
 
 
29 
Como 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) não atende ao critério de parada, será necessário realizar 
uma segunda iteração (𝑘𝑘 = 2). 
|𝑓𝑓(𝑥𝑥2) | = 0,234030 > 10−2 
Para a segunda iteração: 
𝑥𝑥3 =
𝑥𝑥1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) − 𝑥𝑥2 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)
𝑓𝑓(𝑥𝑥2) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 
𝑥𝑥3 =
(0,8) ∙ (0,234030) − (0,754561) ∙ (0,336472)
(0,234030) − (0,336472) 
𝑥𝑥3 = 0,650755 
Veremos que a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥3) também não tende ao critério de parada. 
Realizando iterações sucessivas: 
k 𝒙𝒙𝒌𝒌 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒌𝒌) 
0 0,35 -2,995732 
1 0,8 0,336472 
2 0,754561 0,234030 
3 0,650755 -0,048913 
4 0,668700 0,006081 
Veja que na quarta iteração 𝑥𝑥4 = 0,668700, a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥4) = 0,006081. 
Essa função atende ao critério de para em 𝑥𝑥4. 
|𝑓𝑓(𝑥𝑥4) | = 0,006081 < 10−2 
Sendo assim, adota-se 0,668700 como a raiz da função. 
4.5 Estudo da convergência dos métodos estudados 
Os métodos de quebra de intervalo estudados convergem quando 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é 
uma função contínua no intervalo [a; b]. Entretanto, processos como o Método 
Iterativo Linear, possibilitam a definição de funções 𝜑𝜑(𝑥𝑥) que não são 
obrigatoriamente convergentes. A função não é convergente quando a 
estimativa encontrada para a raiz da função está fora do intervalo [a; b] que 
 
 
30 
contém a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Nesse caso, busca-se outra possibilidade de 
função 𝜑𝜑(𝑥𝑥) para aplicação do método. 
O aumento do número de iterações e de casas decimais das estimativas 
auxiliam permitem que melhores resultados sejam encontrados. Contudo, esse 
aperfeiçoamento exige o uso de ferramentas computacionais. 
TEMA 5 – APLICAÇÕES DOS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA 
DETERMINAÇÃO DE RAÍZES REAIS 
Os métodos numéricos aplicados para determinação de raízes podem ser 
aplicados, por exemplo, na otimização de processos. Por exemplo, ao buscar o 
melhor aproveitamento de volume de uma caixa construída a partir de uma placa 
de papelão de 50 cm x 30 cm (Figura 6). 
Figura 6 – Dimensões de uma caixa 
 
Ao determinar o volume da caixa, observamos que o maior volume 
dependerá da altura da caixa x. 
𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ∙ (30 − 2𝑥𝑥) ∙ (50 − 2𝑥𝑥) 
𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 1500𝑥𝑥 − 160𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 (10) 
Nesse caso, o valor máximo do volume acontece quando a derivada da 
Equação 10 é nula (𝑉𝑉’(𝑥𝑥) = 0). 
𝑉𝑉′(𝑥𝑥) = 1500 − 320𝑥𝑥 + 12𝑥𝑥2 (11) 
 
 
31 
Veja que a função (Equação 11) dada pela derivada 𝑉𝑉’(𝑥𝑥) é uma equação 
de segundo grau que poderia ser resolvida por métodos matemáticos mais 
simples, mas também pode ser resolvida por métodos numéricos aplicados. 
Sabendo que a solução real para 𝑉𝑉’(𝑥𝑥) = 0 é 𝑥𝑥 = 6,068502 𝑐𝑐𝑚𝑚, podemos 
verificar a solução �̅�𝑥 encontrada pelo Método da Bissecção, adotando como 
intervalo [6; 7] com precisão de |𝑉𝑉′(𝑥𝑥)| ≤ 10−2. 
k a V'(a) b V'(b) x V'(x) 
1 5 200 7 -152 6 12 
2 6 12 7 -152 6,5 -733 6 12 6,5 -73 6,25 -31,25 
4 6 12 6,25 -31,25 6,125 -9,8125 
5 6 12 6,125 -9,8125 6,0625 1,046875 
6 6,0625 1,046875 6,125 -9,8125 6,09375 -4,39453 
7 6,0625 1,046875 6,09375 -4,39453 6,078125 -1,67676 
8 6,0625 1,046875 6,078125 -1,67676 6,070313 -0,31567 
9 6,0625 1,046875 6,070313 -0,31567 6,066406 0,365417 
10 6,066406 0,365417 6,070313 -0,31567 6,068359 0,024826 
11 6,068359 0,024826 6,070313 -0,31567 6,069336 -0,14544 
12 6,068359 0,024826 6,069336 -0,14544 6,068848 -0,06031 
13 6,068359 0,024826 6,068848 -0,06031 6,068604 -0,01774 
14 6,068359 0,024826 6,068604 -0,01774 6,068481 0,003542 
Veja que na 14ª iteração, a solução encontrada é �̅�𝑥 = 6,068481 𝑐𝑐𝑚𝑚. O erro 
relativo entre o valor real e o valor estimado é de 0,0000039%. 
Assim, para o valor estimado, o volume máximo da caixa será dado pela 
substituição do valor de �̅�𝑥 na Equação 10. 
𝑉𝑉(6,068481) = 1500(6,068481) − 160(6,068481)2 + 4(6,068481)3 
𝑉𝑉(6,068481) = 4104,410368 𝑐𝑐𝑚𝑚³ 
FINALIZANDO 
Nesta aula, compreendemos que a raiz de uma função f(x) que não pode 
ser determinada por meio dos recursos algébricos do cálculo diferencial e 
integral pode ser estimada por meio de métodos numéricos aplicados. No 
entanto, essas estimativas podem ser aprimoradas com uso de recursos 
computacionais que permitem um maior número de iterações. 
Existem diversos métodos numéricos para o cálculo da raiz de uma 
função, que podem ser selecionados de acordo com a convergência, por 
 
 
32 
exemplo. Alguns métodos permitem uma convergência mais rápida ao valor da 
raiz no intervalo determinado. 
 
 
 
33 
REFERÊNCIAS 
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Numerical methods for engineers: with 
softwares and programming applications. 4. ed. Nova York: The McGraw-Hill, 
2002. 
JARLETTI, C. Cálculo numérico. Curitiba: InterSaberes, 2018. 
	CONVERSA INICIAL
	TEMA 1 – O QUE É O CÁLCULO NUMÉRICO?
	1.1 Etapas para resolução de um problema
	TEMA 2 – APROXIMAÇÕES E ERROS DE PRECISÃO
	2.1 Erros inerentes
	2.2 Erros de arredondamento, de truncamento e de discretização
	TEMA 3 – ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO
	TEMA 4 – RAÍZES REAIS DE FUNÇÕES REAIS
	4.1 Determinação do domínio da função
	4.2 Métodos de quebra do intervalo
	4.2.1 Método da Bissecção ou Método do Meio Intervalo (MMI)
	4.2.2 Método da Posição Falsa
	4.3 Métodos de Ponto Fixo
	4.3.1 Método Iterativo Linear (MIL)
	4.3.2 Método de Newton-Raphson ou Método das Tangentes
	4.4 Método da Secante
	4.5 Estudo da convergência dos métodos estudados
	TEMA 5 – APLICAÇÕES DOS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA DETERMINAÇÃO DE RAÍZES REAIS
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS