p1_gab__2012_1_mat

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Gabarito da 1a Prova de Ca´lculo III - Matema´tica - Monica
09/04/2012
1a Questa˜o: (2 pontos) Considere a superf´ıcie definida pela equac¸a˜o
x3y2 + 3xez − 2y(z2 + 1) = 3 .
1. Mostre que a equac¸a˜o anterior define z como func¸a˜o de x e y, pro´ximo do ponto
P = (1, 2, 0).
2. Calcule zx(1, 2) e zy(1, 2).
Soluc¸a˜o
Seja
F (x, y, z) = x3y2 + 3xez − 2y(z2 + 1)− 3 .
1. Temos que F (x, y, z) e´ de classe C1 em IR3, F (1, 2, 0) = 0 e Fz(1, 2, 0) = 3 6= 0 . Logo,
pelo Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita, e´ poss´ıvel definir z como func¸a˜o de x e y, pro´ximo
do ponto P = (1, 2, 0).
2. Temos zx(1, 2) = −Fx(1, 2, 0)
Fz(1, 2, 0)
= −15
3
e zy(1, 2) = −Fy(1, 2, 0)
Fz(1, 2, 0)
= −2
3
.
2a Questa˜o: (3 pontos) Considere a integral∫ ∫
D
f(x, y) dydx =
∫ 1
0
∫ 4x
x2
f(x, y) dydx .
1. Esboce a regia˜o D.
2. Expresse a integral da direita, com a ordem de integrac¸a˜o trocada.
3. Calcule a integral quando f(x, y) = y
√
x.
Soluc¸a˜o
1. A regia˜o D e´ limitada pela para´bola y = x2, e pelas retas y = 4x, x = 0 e x = 1.
2. Temos
∫ ∫
D
f(x, y) dydx =
∫ 1
0
∫ √y
y/4
f(x, y) dxdy +
∫ 4
1
∫ 1
y/4
f(x, y) dxdy.
3. O resultado e´ 169/77.
3a Questa˜o: (3 pontos) Considere a figura plana limitada pela curva
(x2 + y2)2 = 2xy .
1. Escreva a equac¸a˜o da curva em coordenadas polares.
2. Esboce a curva usando sua equac¸a˜o em coordenadas polares.
3. Calcule a a´rea da figura plana limitada pela curva.
Soluc¸a˜o
1. r2 = sen (2θ) .
2. A curva e´ uma rosa´cea de duas pe´talas (uma pe´tala no primeiro quadrante e a outra
identica no terceiro quadrante).
3. A a´rea e´ igual a 2
∫ pi/2
0
∫ √ sen (2θ)
0
r drdθ = 1.
4a Questa˜o: (2 pontos) Calcule o volume do so´lido limitado pelas superf´ıcies z = 1− y2,
z + x = 2 e x = 2, para z ≥ 0.
Soluc¸a˜o
O volume e´ igual a
∫ 1
−1
∫ 1−y2
0
(2− 2 + z) dzdy = 8
15
2
∫ 2
1
∫ 1
2−x
(1− z)1/2 dzdx = 8
15
.
2