fazendo a matematica acontecer EIW

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<p>- B) \(\frac{1}{6}\)</p><p>- C) \(\frac{1}{4}\)</p><p>- D) \(\frac{1}{8}\)</p><p>**Resposta: B) \(\frac{1}{6}\)**</p><p>**Explicação:** Expandindo a integral:</p><p>\(\int_0^1 (x^2 - x^3) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{3} -</p><p>\frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}\).</p><p>24. **Qual é a solução da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = 4y\)?**</p><p>- A) \(y = Ce^{4x}\)</p><p>- B) \(y = Ce^{-4x}\)</p><p>- C) \(y = 4x + C\)</p><p>- D) \(y = 4e^{x}\)</p><p>**Resposta: A) \(y = Ce^{4x}\)**</p><p>**Explicação:** A equação é separável. Isolando \(y\) e integrando, obtemos:</p><p>\(y = Ce^{4x}\).</p><p>25. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{2x^2 - 5}\)?**</p><p>- A) \(\frac{3}{2}\)</p><p>- B) \(\frac{3}{5}\)</p><p>- C) \(\frac{2}{3}\)</p><p>- D) 1</p><p>**Resposta: A) \(\frac{3}{2}\)**</p><p>**Explicação:** Dividimos todos os termos por \(x^2\):</p><p>\(\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{2 - \frac{5}{x^2}} = \frac{3}{2}\).</p><p>26. **Qual é o valor de \(\int (2x + 1)^3 \, dx\)?**</p><p>- A) \(\frac{1}{2} (2x + 1)^4 + C\)</p><p>- B) \(\frac{1}{4} (2x + 1)^4 + C\)</p><p>- C) \((2x + 1)^4 + C\)</p><p>- D) \(\frac{1}{3} (2x + 1)^3 + C\)</p><p>**Resposta: B) \(\frac{1}{4} (2x + 1)^4 + C\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a substituição \(u = 2x + 1\), \(du = 2dx\), então</p><p>\(\int u^3 \frac{du}{2} = \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{4} (2x + 1)^4 + C\).</p><p>27. **Qual é a derivada da função \(f(x) = \tan^{-1}(x)\)?**</p><p>- A) \(\frac{1}{1 + x^2}\)</p><p>- B) \(\frac{1}{x^2 + 1}\)</p><p>- C) \(\frac{1}{x}\)</p><p>- D) \(\frac{1}{1 - x^2}\)</p><p>**Resposta: A) \(\frac{1}{1 + x^2}\)**</p><p>**Explicação:** A derivada da função arco tangente é dada por:</p><p>\(f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}\).</p><p>28. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (3x^2 + 2x) \, dx\)?**</p><p>- A) 1</p><p>- B) 2</p><p>- C) \(\frac{5}{3}\)</p><p>- D) \(\frac{2}{3}\)</p><p>**Resposta: C) \(\frac{5}{3}\)**</p><p>**Explicação:** A integral resulta em:</p><p>\(\int (3x^2 + 2x) \, dx = x^3 + x^2 + C\). Avaliando de 0 a 1:</p><p>\((1^3 + 1^2) - (0 + 0) = 1 + 1 = 2\).</p><p>29. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\)?**</p><p>- A) 0</p><p>- B) 1</p><p>- C) \(\infty\)</p><p>- D) -1</p><p>**Resposta: B) 1**</p><p>**Explicação:** Este é um limite clássico que pode ser demonstrado usando a regra de</p><p>L'Hôpital, resultando em 1.</p><p>30. **Qual é a derivada de \(f(x) = e^{-x^2}\)?**</p><p>- A) \(-2xe^{-x^2}\)</p><p>- B) \(2xe^{-x^2}\)</p><p>- C) \(-e^{-x^2}\)</p><p>- D) \(e^{-x^2}\)</p><p>**Resposta: A) \(-2xe^{-x^2}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia:</p><p>\(f'(x) = -2x e^{-x^2}\).</p><p>31. **Qual é o valor da integral \(\int_1^2 \frac{1}{x} \, dx\)?**</p><p>- A) 0</p><p>- B) \(\ln(2)\)</p><p>- C) \(\ln(1) - \ln(2)\)</p><p>- D) \(\ln(2) - \ln(1)\)</p><p>**Resposta: D) \(\ln(2) - \ln(1)\)**</p><p>**Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x| + C\). Avaliando de 1 a 2:</p><p>\(\ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\).</p><p>32. **Qual é a solução da equação \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\)?**</p><p>- A) \(x = 1, 2, 3\)</p><p>- B) \(x = 2, 3, 4\)</p><p>- C) \(x = 1, 3, 4\)</p><p>- D) \(x = 1, 2, 4\)</p><p>**Resposta: A) \(x = 1, 2, 3\)**</p><p>**Explicação:** Fatorando, obtemos \((x-1)(x-2)(x-3) = 0\), logo \(x = 1\), \(x = 2\), \(x = 3\).</p><p>33. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x + 1)^2 \, dx\)?**</p><p>- A) \(\frac{2}{3}\)</p><p>- B) \(\frac{5}{3}\)</p><p>- C) \(\frac{1}{3}\)</p><p>- D) \(\frac{1}{6}\)</p><p>**Resposta: B) \(\frac{5}{3}\)**</p><p>**Explicação:** Expandindo a integral:</p><p>\(\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 =</p><p>\frac{5}{3}\).</p><p>34. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{x}\)?**</p><p>- A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)</p><p>- B) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\)</p><p>- C) \(\frac{1}{x}\)</p><p>- D) \(\frac{1}{2x}\)</p><p>**Resposta: A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da potência:</p><p>\(f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).</p><p>35. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 e^x \, dx\)?**</p><p>- A) \(e - 1\)</p><p>- B) \(e^1 - e^0\)</p><p>- C) \(1\)</p><p>- D) \(e\)</p><p>**Resposta: A) \(e - 1\)**</p><p>**Explicação:** A integral de \(e^x\) é \(e^x + C\). Avaliando de 0 a 1:</p><p>\(e^1 - e^0 = e - 1\).</p><p>36. **Qual é a soma da série \(S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)?**</p><p>- A) \(\frac{\pi^3}{6}\)</p><p>- B) 1</p><p>- C) 2</p><p>- D) \(\frac{\pi}{3}\)</p><p>**Resposta: A) \(\frac{\pi^3}{6}\)**</p><p>**Explicação:** Essa é uma série conhecida, cujo valor foi determinado através de</p><p>métodos avançados.</p>