Calculo1_Modulo2_VersaoImpressao_1

Prévia do material em texto

C�alculo Diferencial e Integral 1 - Derivadas
Prof. Dr. Emerson Lima
Escola Polit�ecnica da Universidade de Pernambuco
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 1 / 30
Sum�ario
1
De�ni�c~ao da Derivada
2
Derivada de Fun�c~oes Polinomiais e Racionais. Propriedades das
Derivadas
3
Regra da Cadeia. Derivadas de Ordem Superior. Nota�c~ao de Leibniz
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 2 / 30
Conceito Intuitivo de Derivada
Exemplo 1
Qual a velocidade do m�ovel P
em MRU exatamente no
instante t = 1?
Tabela : Dista^ncia percorrida
(metros) versus Tempo (segundos)
S t
0 0
0,2 1,5
0,4 3,0
0,6 4,5
0,8 6,0
1,0 7,5
1,2 9,0
1,4 10,5
1,6 12,0
1,8 13,5
2,0 15,0
Resposta
vm =
∆S
∆t
. Como o movimento �e de velocidade constante - pois o m�ovel est�a em
Movimento Retil��neo Uniforme (MRU) segue que v(1) = vm =
15
2
= 7, 5m/s
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 3 / 30
Conceito Intuitivo de Derivada
Exemplo 1
Qual a velocidade do m�ovel P
em MRUV exatamente no
instante t = 1?
Tabela : Dista^ncia percorrida
(metros) versus Tempo (segundos)
S t
0 0
0,2 3,01
0,4 6,04
0,6 9,09
0,8 12,16
1,0 15,25
1,2 18,36
1,4 21,49
1,6 24,64
1,8 27,81
2,0 31,0
Resposta
vm =
∆S
∆t
. Como o movimento �e de acelera�c~ao constante - pois o m�ovel est�a em Movimento Retil��neo
Uniformemente Variado (MRUV), pode-se, com base nos dados, calcular que vo = 15m/s e que
a = 0, 5m/s
2
. Segue ent~ao que v(1) = 15 + 0, 5× 1 = 15, 5m/s
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 4 / 30
Conceito Intuitivo de Derivada
Exemplo 1
O que fazer quando o m�ovel
n~ao estiver nem em MRU nem
em MRUV? H�a algum
procedimento padr~ao nestes
casos?
Tabela : Calculando a velocidade
m�edia em cada subintervalo
S t vm
0 0
0,2 3,01
3,01−0
0,2−0
= 15, 05
0,4 6,04
6,04−3,01
0,4−0,2
= 15, 1515, 05
0,6 9,09 15,25
0,8 12,16 15,35
1,0 15,25 15,45
1,2 18,36 15,55
1,4 21,49 15,65
1,6 24,64 15,75
1,8 27,81 15,85
2,0 31,0 15,55
Resposta
Como a velocidade m�edia n~ao varia de forma abrupta, �e razo�avel supor
- neste caso - que a velocidade no instante t = 1 est�a entre 15, 35m/s e
15, 55m/s
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 5 / 30
Conceito Intuitivo de Derivada
Conclus~oes
No exemplo anterior, foi razo�avel supor que a velocidade instantaˆnea em
t = 1 era pr�oxima a velocidade me´dia em torno daquele instante. De fato,
nossa intui�c~ao diz que, exceto para varia�c~oes abruptas de velocidade, a
aproxima�c~ao da velocidade instanta^nea pela velocidade m�edia se tornar�a
tanto melhor quanto menor for ∆t em torno daquele ponto.
Em linguagem matem�atica, estamos estabelecendo que
vm =
∆S
∆t
=⇒ v = lim
∆t→0
∆S
∆t
def≡ dS
dt
Escrevendo S como uma fun�c~ao do tempo, i.e., S = S(t), o limite anterior
pode ser reescrito como
dS
dt
= lim
∆t→0
S(t+ ∆t) − S(t)
(�At+ ∆t) − �At
= lim
∆t→0
S(t+ ∆t) − S(t)
∆t
de forma a explicitar o papel de t na de�ni�c~ao da velocidade instanta^nea.
Note que podemos supor, inclusive, o caso no qual ∆t < 0.
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 6 / 30
De�ni�c~ao Formal da Derivada
Derivada
Seja f : (α,β) ⊆ IR→ IR fun�c~ao de�nida em um aberto (α,β) de IR.
Ao limite lim
h→0 f(x+ h) − f(x)h , quando existe, chamamos de Derivada
da func¸a˜o f no ponto x o que denotamos por
f ′(x) =
df
dx
= lim
h→0 f(x+ h) − f(x)h
Observa�c~oes
1
Quanto a vari�avel de deriva�c~ao (no caso x) �e o tempo, �e comum escrever _f ao inv�es de f
′
.
2
O quociente
f(x + h) − f(x)
h
�e chamado de quociente de Newton.
3
Assim com a continuidade, a diferenciabilidade, ou seja, a existe^ncia da derivada �e uma
propriedade pontual, i.e., a diferenciabilidade em um ponto x1 n~ao garante a diferenciabilidade em
outro ponto distinto x2. Analogamente ao conceito de continuidade em um intervalo, se a fun�c~ao
for diferenci�avel em todos os pontos de um intervalo, diremos que ela �e diferenci�avel no intervalo.
De�ni�c~ao semelhante vale para diferenciabilidade por partes.
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 7 / 30
Propriedades Iniciais da Derivada
Teorema
A derivada de uma fun�c~ao f no ponto x, quando existe, �e �unica
Demonstra�c~ao:
Teorema
Se a derivada de uma fun�c~ao f no ponto x existe, ent~ao a fun�c~ao �e,
necessariamente, cont��nua naquele ponto.
Demonstra�c~ao:
A rec��proca do teorema anterior n~ao �e, necessariamente, verdadeira,
ou seja, �e poss��vel encontrar fun�c~oes cont��nuas em um ponto que n~ao
sejam diferenci�aveis naquele ponto. Exemplo:
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 8 / 30
Interpreta�c~ao Geom�etrica da Derivada
∆x = h
∆y = f(x + h) − f(x)
(x, f(x))
(x + h, f(x + h))
x
y
Figura : Reta secante aos pontos (x, f(x) e (x, f(x+ h))
A inclina�c~ao da reta secante indicada �e m =
∆y
∆x
=
f(x+ h) − f(x)
h
que
�e, numericamente, o quociente de Newton, portanto...
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 9 / 30
Interpreta�c~ao Geom�etrica da Derivada
(x, f(x))
...a derivada, quando existe, �e a inclina�c~ao da reta tangente obtida pelo
limite das inclina�c~oes das retas secantes que passam pelo ponto x
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 10 / 30
Exemplos
Estude a continuidade e diferenciabilidade das seguintes fun�c~oes.
Forne�ca a express~ao da derivada ponto a ponto.
Exemplo 1 : Fun�c~ao Constante
f(x) = α
f ′(x) = 0, ∀x ∈ IR
Exemplo 2 : Fun�c~ao Identidade
f(x) = x
f ′(x) = 1, ∀x ∈ IR
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 11 / 30
Exemplos
(Continua�c~ao)
Exemplo 3 : Fun�c~ao M�odulo
f(x) = |x|
f ′(x) =
{
−1, se x < 0
1, se x > 0
No ponto x = 0 a fun�c~ao NA˜O �e diferenci�avel, i.e., n~ao existe derivada no
ponto x = 0. Note que a fun�c~ao �e cont��nua em IR.
Exemplo 4
f(x) =
{
x2 − x se x ≤ 2
2x− 2 se x > 2
Cont��nua em IR mas n~ao �e diferenci�avel em x = 2
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 12 / 30
Exemplos
(Continua�c~ao)
Exemplo 5
f(x) =
 x
(
sen
1
x
)
se x 6= 0
0 se x = 0
Exemplo 6
g(x) =
 x2
(
sen
1
x
)
se x 6= 0
0 se x = 0
f(x) �e Cont��nua em IR mas na˜o �e diferenci�avel em x = 0.
g(x) Cont��nua E diferenci�avel em todo IR.
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 13 / 30
Sum�ario
1
De�ni�c~ao da Derivada
2
Derivada de Fun�c~oes Polinomiais e Racionais. Propriedades das
Derivadas
3
Regra da Cadeia. Derivadas de Ordem Superior. Nota�c~ao de Leibniz
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 14 / 30
Propriedades da Derivada
Derivada da Fun�c~ao Constante
Seja f : IR→ IR fun�c~ao constante, ou seja, f(x) = α com α ∈ IR para
todo x ∈ IR. Ent~ao f �e diferenci�avel em todo IR e f ′(x) = (α) ′ = 0.
Demonstra�c~ao:
Derivada da Fun�c~ao Pote^ncia
Seja f : IR→ IR de�nida por f(x) = xn com n ∈ IN, ou seja,
n = 1, 2, 3, · · · . Ent~ao f �e diferenci�avel em todo IR e
f ′(x) = (xn) ′ = nxn−1.
Demonstra�c~ao:
De fato, mostraremos adiante que vale a mesma "f�ormula"acima para qualquer
pote^ncia real de x, ou seja (xα)
′
= αxα−1. Exemplos:
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 15 / 30
Propriedades da Derivada
Derivada do Produto por Constante
Sejam f(x) fun�c~ao de�nida em um aberto (α,β) de IR diferenci�avel em
x ∈ (α,β). Ent~ao a fun�c~ao (kf)(x), onde k ∈ IR �e qualquer constante real, �e
diferenci�avel em x e temos
(kf(x)) ′ = kf ′(x)
Demonstra�c~ao:
Derivada da Soma
Sejam f(x) e g(x) fun�c~oes ambas de�nidas em um aberto (α,β) de IR e ambas
diferenci�aveis em x ∈ (α,β). Ent~ao a fun�c~ao soma (f+ g)(x) �e diferenci�avel
em x e temos
(f(x) + g(x)) ′ = f ′(x) + g ′(x)
Demonstra�c~ao:
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 16 / 30
Propriedades da Derivada
A derivada pode ser vista como um operador que toma uma fun�c~ao
f(x) e retorna outra fun�c~ao f ′(x). O que os resultados acima implicam
�e que, este operador, �e um operador linear. Operadores lineares
gerais s~ao estudados na disciplina de
�
Algebra Linear sendo de
fundamental importa^ncia nas engenharias e cie^ncias em geral.
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 17 / 30
Exemplos
Calcule a derivada dasseguintes fun�c~oes:
Exemplo 1
(x8 + 12x5 − 4x4 + 10x3 − 6x +
5) ′ =8x7 + 60x4 − 16x3 + 30x2 − 6
Exemplo 2(
5
x7
) ′
= −
35
x8
Exemplo 3: Derivada da
Fun�c~ao Raiz Quadrada(√
x
) ′
=
1
2
√
x
Exemplo 4
(
(x + 5)3
) ′
= 3 x2+30 x+75 = 3(x+5)2
Exemplo 5
(
(2x2 + 5)2
) ′
= 16x3+40x = 8x(2x2+5)
Exemplo 6(
(x + 5)10
) ′
= 10(x + 5)9
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 18 / 30
Propriedades da Derivada
Derivada do Produto de Fun�c~oes
Sejam f(x) e g(x) fun�c~oes ambas de�nidas em um aberto (α,β) de IR e
ambas diferenci�aveis em x ∈ (α,β). Ent~ao a fun�c~ao produto (f · g)(x) �e
diferenci�avel em x e temos
(f(x)g(x)) ′ = f ′(x)g(x) + f(x)g ′(x)
Demonstra�c~ao:
A regra de deriva�c~ao do produto �e chamada de Regra de Leibniz e
pode ser generalizada para o produto de qualquer quantidade de
termos.
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 19 / 30
Propriedades da Derivada
Derivada do Quociente de Fun�c~oes(1)
Seja g(x) fun�c~ao de�nida em um aberto (α, β) de IR e diferenci�avel em x ∈ (α, β).
Mais ainda g(x) 6= 0. Ent~ao a fun�c~ao quociente 1
g(x)
�e diferenci�avel em x e temos(
1
g(x)
) ′
= −
g ′(x)
(g(x))2
Demonstra�c~ao:
Derivada do Quociente de Fun�c~oes(2)
Sejam f(x) e g(x) fun�c~oes ambas de�nidas em um aberto (α, β) de IR e ambas
diferenci�aveis em x ∈ (α, β). Mais ainda g(x) 6= 0. Ent~ao a fun�c~ao quociente f(x)
g(x)
�e
diferenci�avel em x e temos(
f(x)
g(x)
) ′
=
f ′(x)g(x) − f(x)g ′(x)
(g(x))2
Demonstra�c~ao:
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 20 / 30
Exemplos
Calcule a derivada das seguintes fun�c~oes:
Exemplo 1 (
(4x+ 3)(x2 − 12x+ 4)
) ′
= 12x2 − 90x− 20
Exemplo 2 (
5x3 − 7x+ 8
12x+ 3
) ′
=
40 x3 + 15 x2 − 39
(12 x+ 3)
2
Obs: x 6= −1
4
Exemplo 3
(
(8x− 9)(12x2 − 5) − (4x+ 3)
x2 + x+ 1
) ′
=
96 x4 + 192 x3 + 224 x2 − 300 x− 86
x4 + 2 x3 + 3 x2 + 2 x+ 1
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 21 / 30
Exemplos
Encontre os valores de x para os quais f ′(x) = 0. Qual o signi�cado
geom�etrico desses pontos?
Exemplo 1
f(x) = x3 + 3x2 − 24x + 3
{−4, 2}
Exemplo 2
x2 − 4
x2 + 4
{0}
Obs: x 6= −1
4
Exemplo 3
x
√
(3 − 2x2)
{−
√
3
2
,
√
3
2
}
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 22 / 30
Exemplos
Encontre a equa�c~ao da reta tangente:
Exemplo 1
�
A curva y = x2 − 8x+ 3 passando pelo ponto x = −3
y = −14x− 6
Exemplo 2
�
A curva y = x3 − 7x+ 4 que �e tamb�em paralela a reta y = 2x
y = 2 x− 2
√
3− 4;y = 2x+ 2
√
3− 4
Exemplo 3
�
A curva y =
x+ 1
x− 1
na qual x 6= 1 que �e tamb�em perpendicular a reta
y = x+ 4
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 23 / 30
Sum�ario
1
De�ni�c~ao da Derivada
2
Derivada de Fun�c~oes Polinomiais e Racionais. Propriedades das
Derivadas
3
Regra da Cadeia. Derivadas de Ordem Superior. Nota�c~ao de Leibniz
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 24 / 30
Propriedades da Derivada
Derivada de Fun�c~oes Compostas. Regra da Cadeia
Seja g(x) fun�c~ao de�nida em um intervalo aberto (α,β) e diferenci�avel
em x ∈ (α,β). Seja ainda f(x) de�nida em um intervalo aberto
contendo y = g(x) e diferenci�avel em y. Ent~ao, a fun�c~ao composta f ◦ g
�e diferenci�avel em x e vale a regra de deriva�c~ao conhecida como regra
da cadeia:
((f ◦ g)(x)) ′ = (f(g(x)) ′ = f ′(g(x))g ′(x)
Demonstra�c~ao:
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 25 / 30
Exemplos
Calcule a derivada das seguintes fun�c~oes:
Exemplo 1(
(x + 5)3
) ′
= 3(x + 5)2
Exemplo 2(
(2x2 + 5)2
) ′
= 8x(2x2 + 5)
Exemplo 3(
(x + 5)10
) ′
= 10(x + 5)9
Exemplo 4(
(4x + 3)3√
3x − 1
) ′
Exemplo 5(
3
√
x2 − 3
(3x2 + 1)2
) ′
Exemplo 6(√
x +
√
x +
√
x
) ′
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 26 / 30
Exemplos
Exemplo 1: Calcule f ′(x) e f ′′(x)
f(x) = (x2 + 1)3(x3 − x+ 1)2
Exemplo 2: Calcule as derivadas de todas as ordens
f(x) = (2x2 + 1)3
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 27 / 30
Nota�c~ao de Leibniz
Nota�c~ao de Newton-Lagrange Nota�c~ao de Leibniz
Primeira Derivada f ′(x) df(x)
dx
Segunda Derivada f ′′(x) d
2f(x)
dx2
Terceira Derivada f ′′′(x) d
3f(x)
dx3
k-�Esima Derivada f(k)(x) d
kf(x)
dxk
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 28 / 30
Nota�c~ao de Leibniz
Nota�c~ao de Newton-Lagrange Nota�c~ao de Leibniz
Escalamento (kf(x)) ′ = kf ′(x) dkf(x)
dx
= kdf(x)
dx
Soma (f(x) + g(x)) ′ = f ′(x) + g ′(x) df+g
dx
= df
dx
+ dg
dx
Produto (f(x)g(x)) ′ = f ′(x)g(x) + f(x)g ′(x) d(fg)
dx
= fdg
dx
+ g df
dx
Quociente
(
f(x)
g(x)
) ′
= f
′(x)g(x)−f(x)g ′(x)
(g(x))2
d(f/g)
dx
=
g df
dx
−f dg
dx
g2
Regra da Cadeia (f(g(x)) ′ = f ′(g(x))g ′(x) df(g(x))
dx
= df(u)
du
du
dx
, u = g(x)
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 29 / 30
Fim do M�odulo 2
Pr�oximo M�odulo
Estudo das Fun�c~oes Elementares e suas Derivadas:
1
Fun�c~oes Trigonom�etricas
2
Fun�c~oes Exponencial e Logar��tmica
3
Fun�c~oes Hiperb�olicas
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 1 30 / 30
	Definição da Derivada
	Derivada de Funções Polinomiais e Racionais. Propriedades das Derivadas
	Regra da Cadeia. Derivadas de Ordem Superior. Notação de Leibniz