Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Matema´tica - A´rea II 4a lista de exerc´ıcios A´lgebra Linear 2o semestre de 2004 27/11/2004 Questo˜es 1. ParaM2×2(R) (conjunto das matrizes reais 2× 2) considere os seguintes conjuntos de vetores: α = { M1 = [ 2 1 −1 2 ] ,M2 = [ 1 3 2 −3 ] ,M3 = [ −1 2 1 1 ] ,M4 = [ 2 −2 −1 4 ]} e β = { N1 = [ 10 −3 −3 10 ] , N2 = [ −3 23 10 −21 ] , N3 = [ −3 10 7 −13 ] , N4 = [ 10 −21 −13 30 ]} Pede-se: (a) Mostre que α e β sa˜o bases de M2×2(R). (b) Encontre uma matriz P tal que [M ]α = P [M ]β para toda matrizM ∈M2×2(R). (c) Encontre uma matriz P ′ tal que [M ]β = P ′[M ]α para toda matriz M ∈ M2×2(R). 2. Sejam v1 = (1, 0, 0)T , v2 = (0, 1, 0)T e v3 = (0, 0, 1)T vetores de R3. Considere uma transformac¸a˜o (ou, melhor a transformac¸a˜o) linear T de R3 em R3 satisfazendo: Tv1 = 12 3 Tv2 = −14 2 Tv1 = 06 4 Quem e´: T 56 −4 T 10−11 0 ? E se v1 = (1, 0, 1)T , v2 = (1,−1, 0)T e v3 = (−1, 2, 1)T ? 3. Seja T uma transformac¸a˜o linear entre R-espac¸os vetoriais V e W e seja w um vetor fixo em W . Mostre que toda soluc¸a˜o da equac¸a˜o Tv = w e´ da forma v1 + v2, onde v1 ∈ ker(T ) e v2 e´ uma soluc¸a˜o particular para Tv = w. 4. Seja T : R4 → R3 definida por: T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + 2x2 − x3, 2x1 − 5x2, 7x1 − 3x2). (a) Encontre a matriz de T em relac¸a˜o as bases canoˆnicas de R4 e R3. (b) Determine ker(T ) e Im(T ). (c) T e´ injetiva? E´ sobrejetiva? 1 5. Idem anterior, considerando as bases: α = {(1, 2, 0, 1)T , (−1, 1, 3, 1)T , (1, 0, 0, 0)T , (1, 0, 0,−1)T } ∈ R4, β = {(1, 1, 0)T , (0, 2,−1)T , (0,−1, 0)T } ∈ R3. 6. Seja T uma transformac¸a˜o linear de R3 em R5 definida por: T (x1, x2, x3) = (x1 + x2, 0, x2 + x3, 0, x1 + x3). Considere β{(1, 1, 1)T , (1,−1, 0)T , (0, 1, 1)T } base de R3 e C a base canoˆnica de R5. Encontre [T ]βC . 7. Seja T : R3 → R3 um operador linear, cuja representac¸a˜o matricial na base canoˆnica e´: [T ]CC = 7 −8 −89 −16 −18 −5 11 13 . Encontre [T ]αα, onde α = {(0,−1, 1), (1, 3,−2), (2, 0, 1)}. 8. Seja V um R-espac¸o vetorial e {v1, ..., vn} uma base de V . Construa f1 ∈ L(V,R) tal que fi(vi) = 1, i = 1, ..., n e fi(vj) = 0, i 6= j. Prove que {f1, ...fn} e´ base de L(V,R). 9. Considere o espac¸o vetorial V = M2×2(R) (como no item (1)), a matriz A =[ 1 2 −1 3 ] e W = {B ∈ V : AB = BA} (conjunto das matrizes que comutam com A). (a) Mostre que W e´ subespac¸o de V . (b) Determine a dimensa˜o de W e uma base para W . (c) Complete a base encontrada no item (b) para uma base de V . (d) Calcule as matrizes de mudanc¸a de base entre a base do item (c) e a base canoˆnica de V , a saber, C = {[ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] , [ 0 0 1 0 ] , [ 0 0 0 1 ]} . (e) Encontre as coordenadas de A A2 e C = [ 1 1 1 1 ] na base encontrada no item (c). (f) Olhando para as coordenadas das matrizes do item (e), qual das matrizes pertencem ou na˜o ao subespac¸o W? 10. Para P4(R) (conjunto dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 4), sa˜o dadas as seguintes bases (verifique!): C = {1, x, x2, x3, x4} e β = {1, x,−1 + x2,−3x+ 4x3, 1− 8x2 + 8x4}. Em P3(R) (conjunto dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 3) temos as seguintes bases: E = {1, x, x2, x3} e α = {1, x,−1 + x2,−3x+ 4x3}. 2 (a) SejaM = [D]βα e N = [S]αβ , onde D e´ a derivac¸a˜o sobre P4(R) e S a integrac¸a˜o sobre P3(R). Encontre as representac¸o˜es de (D◦S ◦D) e (S ◦D◦S) em termos de M e N . (b) Se p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3, defina a transformac¸a˜o de P3(R) em P4(R) por: Tp(x) = a0.1 + 0 · x+ 0 · x2 + 0 · x3 + 0 · x4 = a0, um polinoˆmio constante em P4(R). Encontre [T ]βα, [D ◦ T ]αα, [T ◦D]ββ . (c) Encontre [S]EC , [D] C E , [T ] E C . 11. FAC¸A MAIS EXERCI´CIOS!!! 3
Compartilhar