Análise Numérica: Integração e Raízes

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UFMG.ICEx.DCC
Análise Numérica/ Cálculo Numérico
Lista de exercícios: integração numérica e raízes de equações
Para as quatro questões a seguir, considere os pontos de uma função f desconhecida
x 1 3 5 7 9 11 13
f(x) 1 0,577 0,447 0,378 0,333 0,302 0,277
Q.1) Quais as fórmulas de Newton-Cotes (simples e compostas) e quais as quadratu-
ras de Gauss-Legendre que permitem aproximar
∫ 13
1
f? Justifique. Qual das fórmulas
aplicáveis aproxima provavelmente melhor
∫ 13
1
f? Justifique.
Q.2) Usando três casas decimais, aproxime
∫ 13
1
f pela regra do 1/3 de Simpson com-
posta.
Q.3) f é, na verdade, x → 1√
x
. Calcule analiticamente o erro absoluto cometido na
questão anterior.
Q.4) Agora sabendo que queremos aproximar
∫ 13
1
1√
x
dx, calcule a partir da fórmula
do erro de integração o número mínimo de subintervalos que garante que a regra do
1/3 de Simpson cometerá em erro absoluto menor que 0,01.
Q.5) Usando quatro casas decimais, aproxime
∫ 2,1
0,1
xxdx pela quadratura de Gauss-
Legendre com quatro pontos.
Q.6) Usando quatro casas decimais, aproxime
∫ 2,1
0,1
xxdx por composição da quadra-
tura de Gauss-Legendre com dois pontos, subdividindo [0,1; 2,1] em [0,1; 1,1] e [1,1; 2,1].
Q.7) Um método de integração iterativa fornece a aproximação
∫ 2,1
0,1
xxdx ≈ 3, 1830.
Quais os erros absolutos cometidos nas duas questões anteriores? Esse exemplo
confirma a preferência, na quadratura de Gauss-Legendre, para o aumento do grau
do polinômio interpolador em vez da composição?
Q.8) Por que não se pode calcular
∫ 2,1
0,1
xxdx analiticamente?
Q.9) Calcular os limites e o número de raízes reais de P (x) = 2x3 − 3x2 − 6x + 5 = 0 e
f(x) = x4 − 2x3 + 2x− 1 = 0.
Q.10) Usando o método da bisseção com tolerância ε 6 10−3, calcular pelo menos uma
raiz da equação f(x) = e2x − 2x3 − 5 = 0, sabendo-se que ξ− ∈ [−2,−1] e ξ+ ∈ [0, 1].
Q.11) Use os métodos secante, regula falsi e pégaso para determinar pelo menos uma
raiz de f(x) = 2x3 + 5x2 − sen(x)− 30 = 0, ξ ∈ [1, 4], com tolerância ε 6 10−4. Compare o
número de iterações gasto por cada método.
Q.12) Encontre pelo menos uma raiz positiva pelos métodos de Newton e de Schröder
com tolerância ε 6 10−5 ou no máximo cinco iterações.
i) f(x) = x4 − 2x3 + 2x− 1 = 0, a partir de x0 = 3 e multiplicidade m = 3;
ii) f(x) = (x+ 1)(x− 1)(x− 3)5 = 0, a partir de x0 = 4 e multiplicidade m = 5.
Q.13) Seja o cálculo de p
√
a, a > 0 pelo método de Newton, a partir de x0 > 0. Qual a
expressão da aproximação x2 da raiz?