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Equações diferenciais de 1 ordem:
(1) Equações lineares𝑑𝑦𝑑𝑡⎯⎯⎯+ 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡) 
Onde p e g são funções dadas da variável independente t.
A equação acima pode ser resolvida pelo método de integração, se conseguirmos separar 
as variáveis, ou pelo método do fator integrante.
Método da integração
Exemplo: Resolva a equação diferencial a seguir 𝑑𝑦𝑑𝑡⎯⎯⎯+ 12⎯⎯𝑦 = 32⎯⎯
e determine como as soluções se comportam para grandes valores de t. Determine a 
solução cuja curva passa pelo ponto (0,2).
Solução:𝑑𝑦𝑑𝑡⎯⎯⎯+ 12⎯⎯𝑦 = 32⎯⎯
EDO de Primeira Ordem
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Esboço do gráfico de soluções:
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Exemplo: Determine a solução geral para a EDO 𝑦 = −2𝑦.
Solução:
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Infelizmente o método direto de resolver uma ED não pode ser usado para encontrar 
solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem mais gerais. Para isso, 
usamos o método do fator integrante, que consiste em multiplicar a ED por uma certa 
função desconhecida μ(𝑡)(𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒) de modo que a equação resultante é 
imediatamente integrável.
Método dos fatores integrantes
Seja a equação diferencial de primeira ordem linear:𝑦 + 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡) (1)
Para conseguirmos separar as variáveis, vamos multiplicar a EDO linear (1) pelo fator 
integrante:𝜇(𝑡) = 𝑒∫ ( )   
Vejamos no exemplo a seguir como o fator integrante nos ajuda na resolução.
Exemplo: Determine a solução do PVI:(𝑎) 𝑦 − 𝑦2⎯⎯= 𝑒𝑦(0) = −1
Solução:
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lim→ − 23⎯⎯𝑒 − 13⎯⎯𝑒⎯⎯=
(𝑏) 𝑡𝑦 + 2𝑦 = 4𝑡𝑦(1) = 2
Solução: Primeiro devemos deixar essa EDO linear de primeira ordem na forma padrão, 
que é deixar y' sozinho:𝑦 + ⎯𝑦 = 4𝑡, 𝑡 ≠ 0 para existir solução.
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Exemplo: Determine a solução geral da ED dada:(𝑎)𝑦 + 3𝑦 = 𝑡 + 𝑒𝑦 = − + 𝑒 + 𝑐𝑒
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Resposta: 𝑦 = ⎯ − ⎯ + 𝑒 + 𝑐𝑒
Gráfico das soluções
lim→ 𝑡3⎯⎯− 19⎯⎯+ 𝑒 + 𝑐𝑒 é assintótico a t3⎯⎯− 19⎯⎯ que é a reta no gráfico abaixo:
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(𝑏)𝑦 − 2𝑦 = 𝑡 𝑒
Resposta: 𝑦 = ⎯⎯⎯⎯+ 𝑐𝑒
Gráfico das soluções
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lim→ 𝑡 𝑒3⎯⎯⎯⎯⎯+ 𝑐𝑒 = ∞
(2) Equações separáveis
Considere a EDO de primeira ordem:𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 𝑓(𝑥, 𝑦) (1)
Se a equação (1) não for linear, não existe um método universal para resolvê-la. Vamos 
considerar primeiramente as equações que podem ser resolvidas por um processo de 
integração direta.
Podemos escrever a equação (1) na forma:
𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 0 (2)
Onde 𝑀(𝑥, 𝑦) = −𝑓(𝑥, 𝑦) e 𝑁(𝑥, 𝑦) = 1
Se M depende apenas de x e N depende apenas de y, a equação (2) fica:
𝑀(𝑥) + 𝑁(𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 0 (3)
Essa equação (3) é dita separável, pois, se for escrita na forma:𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 0
Então, suas parcelas envolvendo cada variável podem ser separadas pelo sinal de "=".
Uma equação separável pode ser resolvida integrando as funções M e N.
Exemplo: Mostre que a equação ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯é separável. Em seguida, encontre uma 
equação para as suas curvas integrais.
Solução: 
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Solução: 𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 𝑥1 − 𝑦⎯⎯⎯⎯⎯⎯− 𝐸𝐷𝑂 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑛ã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟
Exemplo: Resolva o problema de valor inicial (PVI):𝑑𝑦𝑑𝑥 = 3𝑥 + 4𝑥 + 22(𝑦 − 1)
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𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 3𝑥 + 4𝑥 + 22(𝑦 − 1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑦(0) = −1
E determine o intervalo no qual a solução é válida.
Solução: 
Gráfico da solução:
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(3) Equações homogêneas
Uma função 𝑓 é homogênea se:𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡 𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒ 𝑓 é uma função homogênea de grau 𝑛.
Exemplo: (𝑎)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 3𝑥𝑦 + 5𝑦
Temos que 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥) −3𝑡𝑥𝑡𝑦 + 5(𝑡𝑦) = 𝑡 𝑥 − 3𝑡 𝑥𝑦 + 5𝑡 𝑦 =𝑡 (𝑥 − 3𝑥𝑦 + 5𝑦 ) = 𝑡 𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒ 𝑓 é uma função homogênea de grau 2.(𝑏)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦⎯⎯⎯+ 4
Temos que 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = ⎯⎯⎯+ 4 = ⎯⎯+ 4 ⇒ 𝑓 é uma função homogênea de grau zero.(𝑐)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 1
Temos que 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥) +(𝑡𝑦) + 1 = 𝑡 𝑥 + 𝑡 𝑦 + 1 = 𝑡 (𝑥 + 𝑦 ) + 1 ⇒ 𝑓
não é uma função homogênea.
Uma EDO homogênea é não linear e é da forma:𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, em que M e N são funções homogêneas de mesmo grau.
Como se resolve uma EDO homogênea?
Com substituição algébrica:𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢
Ou𝑥 = 𝑣𝑦 
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𝑥 = 𝑣𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣
Exemplo: Calcule as EDOs a seguir(𝑎) 𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 3𝑦 − 𝑥2𝑥𝑦⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(𝑏) 𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 𝑥 + 𝑦𝑥𝑦⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(4) Equações Exatas e fatores integrantes
Considere a EDO:𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 0 (∗)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0é exata se:𝜕𝑀𝜕𝑦⎯⎯⎯ = 𝜕𝑁𝜕𝑥⎯⎯⎯
Existe uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) tal que:(1) 𝑀(𝑥, 𝑦) = ⎯⎯e (2) 𝑁(𝑥, 𝑦) = ⎯⎯
Encontrar essa solução é encontrar essa função f(x,y).
A EDO dada em (*) fica da seguinte forma:𝜕𝑓𝜕𝑥⎯⎯⎯+ 𝜕𝑓𝜕𝑦⎯⎯⎯. 𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 0 (𝑖)
Pela regra da cadeia, temos que:𝜕𝑓𝜕𝑥 + 𝜕𝑓𝜕𝑦 . 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑑𝑑𝑥 (𝑓 𝑥, 𝑦 𝑥 (𝑖𝑖)
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𝜕𝑓𝜕𝑥⎯⎯⎯+ 𝜕𝑓𝜕𝑦⎯⎯⎯. 𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 𝑑𝑑𝑥⎯⎯⎯(𝑓 𝑥, 𝑦(𝑥) (𝑖𝑖)
Ou seja, de (i) e (ii):⎯⎯(𝑓 𝑥, 𝑦(𝑥) = 0 (integrando em relação a x essa igualdade temos:𝑓 𝑥, 𝑦(𝑥) = 𝑐 (∗∗)
Como determinar a função 𝑓(𝑥, 𝑦)?
Integra (1) em relação a x:𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥   + ℎ(𝑦) (3), ℎ(𝑦) é uma constante que depende de y
Derivando a equação acima em relação a y:𝜕𝑓𝜕𝑦⎯⎯⎯= 𝜕𝜕𝑦⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 
  + 𝑑ℎ𝑑𝑦⎯⎯⎯
N(x, y) = 𝜕𝜕𝑦⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 
  + 𝑑ℎ𝑑𝑦⎯⎯⎯
⎯⎯ = 𝑁(𝑥, 𝑦) − ⎯⎯ ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥   (integrando em y)
ℎ(𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 − 𝜕𝜕𝑦⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 
 
 
 
 
  𝑑𝑦
Nossa equação (3) fica:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 − 
 
𝜕𝜕𝑦⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 
 
 
 
 
  𝑑𝑦
A solução geral em (**) fica:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 − 
 
𝜕𝜕𝑦⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 
 
 
 
 
  𝑑𝑦
Como 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐,
𝑐 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 −  𝜕 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥    𝑑𝑦
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𝑐 = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 − 
 
𝜕𝜕𝑦⎯⎯⎯ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 
 
 
 
 
  𝑑𝑦
Exemplo: Calcule a EDO a seguir:(𝑎) 2𝑦(1 + 𝑥 )1 + 2𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑦 − 2𝑥𝑦(1 + 2𝑥 )⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1
Solução:
Temos que:
𝑀(𝑥, 𝑦) = − 2𝑥𝑦(1 + 2𝑥 )⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − 1 = −2𝑥𝑦 − (1 + 2𝑥 )(1 + 2𝑥 )⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑁(𝑥, 𝑦) = 2𝑦(1 + 𝑥 )1 + 2𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= 2𝑦 + 2𝑥 𝑦1 + 2𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(𝑏) (𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥𝑦 )𝑑𝑥 + 𝑦(1 − 𝑥 )𝑑𝑦 = 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑦(0) = 2
Solução:
Temos que:𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥𝑦𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑦(1 − 𝑥 ) = 𝑦 − 𝑥 𝑦
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Fatores Integrantes
A equação 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (1)pode não ser exata, então vamos multiplicar ela por um 
fator integrante chamado 𝜇(𝑡):𝜇(𝑡)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝜇(𝑡)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
Para simplificar escreveremos:𝜇𝑀dx + μNdy = 0 é exata se, e somente se(𝜇𝑀) = (𝜇𝑁) ⟺ 𝜇 𝑀 + 𝜇𝑀 = 𝜇 𝑁 + 𝜇𝑁 ⟺ 𝜇 𝑀 + 𝜇𝑀 − 𝜇 𝑁 − 𝜇𝑁 = 0⟺ 𝜇 𝑀 − 𝜇 𝑁 + 𝜇 𝑀 − 𝑁 = 0 (2)
Se 𝜇 satisfazer a equação (2), então a EDO (1) será exata.
Se 𝝁 depender apenas de x temos:(𝜇𝑀) = (𝜇𝑁) ⟺ 𝜇𝑀 = 𝜇 𝑁 + 𝜇𝑁 ⟺ 𝜇 𝑁 = 𝜇𝑀 − 𝜇𝑁 ⟺ 𝜇 𝑁 = 𝜇(𝑀 −𝑁 )⟺ 𝜇 = 𝜇(𝑀 −𝑁 )𝑁⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⟺ 𝑑𝜇𝑑𝑥⎯⎯⎯= 𝜇(𝑀 −𝑁 )𝑁⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⟺ 𝑑𝜇𝜇⎯⎯⎯= (𝑀 −𝑁 )𝑑𝑥𝑁⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⟺ 𝑑𝜇𝜇⎯⎯⎯ 
  = (𝑀 −𝑁 )𝑁⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑑𝑥 ⟺ 𝑙𝑛  
  𝜇 = (𝑀 −𝑁 )𝑁⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑑𝑥 ⟺  
  𝝁 = 𝒆∫(𝑴𝒚 𝑵𝒙)𝑵⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝒅𝒙   
(𝑀 −𝑁 ) ≠ 0 pois a EDO não é exata.
Se 𝝁 depender apenas de y temos:(𝜇𝑀) = (𝜇𝑁) ⟺ 𝜇 𝑀 + 𝜇𝑀 = 𝜇𝑁 ⟺ 𝜇 𝑀 = 𝜇𝑁 − 𝜇𝑀 ⟺ 𝜇 𝑀 = 𝜇(𝑁 − 𝑀 )⟺ 𝜇 = 𝜇(𝑁 −𝑀 )𝑀⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⟺ 𝑑𝜇𝑑𝑦⎯⎯⎯= 𝜇(𝑁 −𝑀 )𝑀⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⟺ 𝑑𝜇𝜇⎯⎯⎯= (𝑁 −𝑀 )𝑑𝑦𝑀⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⟺ 𝑑𝜇𝜇⎯⎯⎯= (𝑁 −𝑀 )𝑀⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝑑𝑦 ⟺ 𝑙𝑛  
  𝜇 = (𝑁 −𝑀 )𝑀⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝑑𝑦 ⟺  
  𝝁 = 𝒆∫(𝑵𝒙 𝑴𝒚)𝑴⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝒅𝒚   
(𝑁 − 𝑀 ) ≠ 0 pois a EDO não é exata.
Exemplo: Calcule a EDO a seguir4𝑥 + 3 cos 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑦 = 0
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(4𝑥 + 3 cos(𝑦))𝑑𝑥 − 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑦) = 0
Exercício: Calcule a EDO a seguir2𝑦(1 + 𝑥 )𝑦 − 2𝑥𝑦1 + 2𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= 1 + 2𝑥
Observe que temos:2𝑦(1 + 𝑥 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 1 + 2𝑥 + 2𝑥𝑦1 + 2𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2𝑦(1 + 𝑥 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= (1 + 2𝑥 ) + 2𝑥𝑦1 + 2𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯2𝑦(1 + 𝑥 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥⎯⎯⎯= 1 + 4𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥𝑦1 + 2𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(2𝑦 + 2𝑥 𝑦)𝑑𝑦 = 1 + 4𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥𝑦1 + 2𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝑑𝑥
(2𝑦 + 2𝑥 𝑦)𝑑𝑦 − 1 + 4𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥𝑦1 + 2𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝑑𝑥 = 0
𝑀 = − 1 + 4𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥𝑦1 + 2𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑁 = 2𝑦 + 2𝑥 𝑦
e𝜕𝑀𝜕𝑦⎯⎯⎯ = − 4𝑥𝑦(1 + 2𝑥 )(1 + 2𝑥 )⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= − 4𝑥𝑦1 + 2𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝜕𝑁𝜕𝑥 = 4𝑥𝑦
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𝜕𝑁𝜕𝑥⎯⎯⎯= 4𝑥𝑦
Como ⎯⎯⎯≠ ⎯⎯ temos uma EDO de primeira ordem não linear e não exata. Mas podemos 
transformá-la em exata.
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