aprendizado avanado CWGI7

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Resposta: a) ln(x) + C 
 
Explicação: Para encontrar a integral indefinida da função \(f(x) = \frac{1}{x}\), podemos 
usar a propriedade da integral de funções do tipo \(\frac{1}{x}\), que é ln|x| + C, onde C é 
uma constante arbitrária. Portanto, a resposta correta é ln(x) + C. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 + 4x - 2? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 6x - 4 
b) f'(x) = 3x + 4 
c) f'(x) = 6x + 4 
d) f'(x) = 2x + 4 
 
Resposta: a) f'(x) = 6x + 4 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), devemos aplicar a regra da potência, 
que diz que a derivada de x^n é n*x^(n-1). Portanto, para a função f(x) = 3x^2 + 4x - 2, 
derivando termo a termo, temos: f'(x) = 2*3x^(2-1) + 1*4x^(1-1) + 0 = 6x + 4. Logo, a 
alternativa correta é a letra a). 
 
Questão: Qual é a integral indefinida da função f(x) = 3x² + 4x - 6? 
 
Alternativas: 
a) ∫(3x³ + 4x² - 6x) dx 
b) ∫(3x³ + 4x² - 6x + C) dx 
c) 3x³ + 4x² - 6x + C 
d) 3x³ + 4x² - 6x 
 
Resposta: b) ∫(3x³ + 4x² - 6x + C) dx 
 
Explicação: Para encontrar a integral indefinida de uma função, é necessário integrar cada 
um dos termos da função em relação à variável x. Neste caso, a integral de 3x² é x³ 
(aumentando o expoente em 1 e dividindo pelo novo expoente), a integral de 4x é 2x² 
(aumentando o expoente em 1 e dividindo pelo novo expoente), e a integral de -6 é -6x. 
Como não sabemos o valor da constante de integração, é necessário incluir + C no resultado 
final, resultando em ∫(3x³ + 4x² - 6x + C) dx. Portanto, a alternativa correta é a letra b). 
 
Questão: Qual é o valor da integral definida de \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \)? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) 1 
c) \(\frac{\pi}{2}\) 
d) \(\frac{-\pi}{2}\) 
 
Resposta: c) \(\frac{\pi}{2}\) 
 
Explicação: Para encontrar o valor da integral definida, basta calcular a integral indefinida 
de \(\cos(x)\) e avaliá-la nos limites de integração: 
 
\[ 
\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C 
\] 
 
Agora, avaliando nos limites de integração \(0\) e \(\frac{\pi}{2}\), temos: 
 
\[ 
\left[ \sin(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 
\] 
 
Portanto, o valor da integral definida de \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \) é 
\(\frac{\pi}{2}\). 
 
Questão: Qual é a integral indefinida da função f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7? 
 
Alternativas: 
a) x^4 - 2x^3 + (5/2)x^2 - 7x + C 
b) (1/2)x^4 - x^3 + (5/2)x^2 - 7x + C 
c) (1/2)x^4 - (3/4)x^3 + (5/2)x^2 - 7x + C 
d) (1/2)x^4 - 2x^3 + (5/2)x^2 - 7x + C 
 
Resposta: b) (1/2)x^4 - x^3 + (5/2)x^2 - 7x + C 
 
Explicação: Para encontrar a integral indefinida da função f(x), devemos aplicar as regras de 
integração para cada termo da função. Dessa forma, a integral de 2x^3 será (1/2)x^4, a 
integral de -3x^2 será -x^3, a integral de 5x será (5/2)x^2, e a integral de -7 será -7x. Ao 
final, adicionamos a constante de integração C. Portanto, a resposta correta é a alternativa 
b), que corresponde ao resultado correto da integral da função dada.