teste do dia e semana 1ex

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19. Calcule \(\frac{d^2}{dx^2} (3x^4 - 5x^3 + 2x).\) 
 A) \( 12x^2 - 30x + 2 \) 
 B) \( 12x^2 - 15x \) 
 C) \( 12x^2 - 12x + 2 \) 
 D) \( 6x^2 - 5x + 2 \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A primeira derivada \( f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 2 \). A segunda derivada \( f''(x) = 
36x^2 - 30x \). 
 
20. Calcule \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx\). 
 A) \( 1 \) 
 B) \( \ln(e) \) 
 C) \( 0 \) 
 D) \( 2 \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln|x| \). Avaliando de 1 a \( e \), obtemos \( 
\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \). 
 
21. Determinar a evolução da sequência \( a_n = \frac{2^n + 3^n}{5^n} \) como \( n \to 
\infty \). 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 2 \) 
 D) \( 3 \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Dividindo pelo maior termo, \( a_n = \left(\frac{2}{5}\right)^n + 
\left(\frac{3}{5}\right)^n \to 0 \) quando \( n \to \infty \). 
 
22. Encontre a primitiva da função \( f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 6 \). 
 A) \( x^5 - x^3 + 6x + C \) 
 B) \( 5x^5 - 3x^3 + 6x + C \) 
 C) \( x^5 - x^3 + C \) 
 D) \( 5x^5 - x^3 + 6Cx + C \) 
 Resposta: B 
 Explicação: Aplicamos a regra da potência, aumentando os expoentes e dividindo pelos 
novos valores: \( \frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 6x + C \). 
 
23. Encontre a matriz inversa da matriz \( A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \). 
 A) \( \begin{pmatrix} \frac{3}{10} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{10} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \) 
 B) \( \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \) 
 C) \( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \) 
 D) \( \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A inversa é dada por \( A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) \). Calculamos \( det(A) 
= 4*3 - 2*1 = 10 \) e o adjunto. 
 
24. Calcule a integral dupla \(\int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2) \, dy \, dx\). 
 A) \( \frac{1}{3} \) 
 B) \( \frac{1}{2} \) 
 C) \( \frac{2}{3} \) 
 D) \( \frac{1}{6} \) 
 Resposta: C 
 Explicação: Resolvendo primeiro em relação a \( y \), temos \( \int_0^1 (x^2 + 
\frac{y^3}{3}) \, dy\) e, então, passando a \( x \). 
 
25. Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1} x \)? 
 A) \( \frac{1}{1+x^2} \) 
 B) \( \frac{1}{x^2} \) 
 C) \( \frac{2x}{1+x^2} \) 
 D) \( 1 \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Utilizamos a derivada da função arco tangente, onde a função transforma-se 
em \( \tan^{-1} x \) usando as regras de diferenciação. 
 
26. Resolva a série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(n!)^2} \). 
 A) \( I_0(2\sqrt{x}) \) 
 B) \( e^{2\sqrt{x}} \) 
 C) \( \frac{1}{1-x} \) 
 D) \( \frac{1}{1+x} \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A série representa a função de Bessel \( I_0(2\sqrt{x}) = \sum_{n=0}^\infty 
\frac{(x/2)^n}{(n!)^2} \). 
 
27. Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 3x^2}{2x^3 - x + 1}\). 
 A) \( \frac{5}{2} \) 
 B) \( 0 \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( 2 \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Dividimos todos os termos por \( x^3 \) na função, o que nos leva a \( \frac{5 
+ \frac{3}{x}}{2 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} \) que converge para \( \frac{5}{2} \). 
 
28. Determine a transformada de Laplace de \( f(t) = t^n \). 
 A) \( \frac{n!}{s^{n+1}} \) 
 B) \( n! \frac{1}{s+n} \) 
 C) \( s^{-n} \) 
 D) \( \frac{1}{s^n} \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A transformada de Laplace para \( t^n \) é uma relação fixa resultante de 
suas propriedades. 
 
29. Find the Fourier series expansion of the function \( f(x) = x \) defined on \( [-\pi, \pi] \). 
 A) \( a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \) 
 B) \( \frac{x}{2} \) 
 C) \( \frac{1}{2} \) 
 D) \( x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin nx \)