Equaçao diferenciais de primeira ordem

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Equações diferenciais de primeira
ordem
Você vai estudar a aplicação do conceito de equações diferenciais.
Prof. Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
1. Itens iniciais
Propósito
Definir as equações diferenciais e resolver as equações diferenciais de primeira ordem.
Preparação
Antes de iniciar este estudo, tenha em mãos papel, caneta, uma calculadora científica ou a calculadora de seu
smartphone ou computador.
Objetivos
Descrever os conceitos iniciais de uma equação diferencial.
 
Classificar as equações diferenciais.
 
Calcular equações diferenciais de primeira ordem.
 
Reconhecer situações possíveis de serem modeladas por equações diferenciais de primeira ordem.
Introdução
Olá! Neste conteúdo, você vai descobrir como as equações diferenciais ajudam a modelar e resolver
problemas em ciência e engenharia. Elas explicam fenômenos como movimento de partículas, transferência de
calor e crescimento populacional. Assista ao vídeo e confira sua importância na prática!
Conteúdo interativo
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1. Conceitos de uma equação diferencial 
Equações diferenciais: tipologia
 
Aprenda neste vídeo sobre as classificações das equações diferenciais, como lineares, não lineares,
homogêneas, não homogêneas, separáveis e não separáveis, além das diferenças entre equações ordinárias e
parciais. De forma prática e clara, verá como essas classificações ajudam a resolver problemas em várias
áreas.
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Alguns problemas em diversas áreas da ciência e da engenharia podem ser modelados por uma equação que
envolve uma variável e suas taxas de variação representadas por suas derivadas. Essas equações são
denominadas equações diferenciais e têm uma função matemática como solução. As equações diferenciais
representam um ramo importantíssimo da matemática e tem diversas aplicações práticas. Aqui serão
apresentados os conceitos iniciais da equação diferencial.
Conceitos iniciais
A busca pela solução de um problema, no ramo da engenharia ou da ciência, pode ser feita por meio da
modelagem de uma equação matemática. Em outras palavras, busca-se obter a solução do problema por meio
da resolução de uma equação. Você já solucionou diversas vezes equações algébricas que envolviam
variáveis e suas funções. No entanto, grande variedade desses problemas serão modelados por uma equação
que representa o relacionamento entre a variável estudada e as suas taxas de variação.
Equação algébrica X Equação diferencial
As equações que relacionam uma variável e suas derivadas são denominadas equações diferenciais —
expressão utilizada desde 1676, quando foi criada pelo matemático Leibniz.
 
A diferença entre uma equação algébrica e uma equação diferencial é que esta última envolve a(s) derivada(s)
ou a(s) derivadas parciais de determinada variável.
 
A variável para a qual se busca a solução recebe o nome de variável dependente ou incógnita da
equação.
 
As derivadas são obtidas pela taxa de variação da variável dependente em relação a uma ou mais variáveis
independentes da equação. Lembre-se de que:
Variável independente 
Entrada da equação.
Variável dependente 
Saída da equação, isto é, a solução
desejada a ser obtida.
A solução de uma equação diferencial, caso exista, será uma função matemática que representa de que modo
a variável estudada — dependente — irá depender de uma ou mais variáveis independentes.
Variável independente
Na cinemática, os problemas frequentemente envolvem determinar a posição de um objeto — representada
pela variável s — em relação a uma variável independente, o tempo (t). Desse modo, é preciso obter a função 
s(t), que descreve matematicamente o comportamento do modelo estudado. Em outras palavras, s(t)
representa como a posição varia em função do tempo.
 
Relacionamos, para isso, a posição do objeto com as suas taxas de variação com o tempo (t), que são a
velocidade (v) — primeira derivada de s em função de t — e a aceleração (a) — segunda derivada de s em
função de t. Portanto, modelamos o problema por uma equação diferencial.
Exemplo 1
Poderia ser uma equação do tipo:
Sendo m, n e p números reais.
 
No entanto:
De forma que:
Sendo m, n e p números reais.
 
Repare que a equação envolve a variável independente s e suas derivadas s’ e s’’, constituindo uma equação
diferencial.
 
Exemplo 2
Nesse caso, um problema poderia ser modelado por:
Na equação apresentada, os coeficientes m, n e p são constantes reais. No entanto, os coeficientes de uma
equação diferencial também podem ser uma função matemática que dependa da variável independente. Por
exemplo:
Vimos, até aqui, que a equação diferencial envolve a variável e suas derivadas, e apresenta os seguintes
elementos:
Uma variável dependente.
Uma ou mais variáveis independentes.
E seus coeficientes.
Tipos de equações diferenciais
Existem dois tipos de equações diferenciais — as equações diferenciais ordinárias (EDO) e as equações
diferenciais parciais (EDP). Vamos conhecê-las!
Equações diferenciais ordinárias (EDO) 
As equações diferenciais podem envolver uma variável dependente que dependa apenas de uma
variável independente, por exemplo .
Observe que f é a variável dependente ou incógnita, x é a variável independente e os coeficientes
dessa equação serão o 1, 2 e 4x. A variável dependente é normalmente representada por um símbolo,
e não por uma função. Vejamos:
Na qual y = f(x).
Tal equação terá como solução uma função f(x) que depende apenas da variável x. Esse tipo de
equação diferencial é denominado de equação diferencial ordinária ou (EDO).
Vejamos outro exemplo de EDO já estudada em física.
Lembre-se da mecânica e das Leis de Newton. Você estudou que a aceleração de um objeto, de
massa m, dependia da força aplicada nele. Vamos imaginar uma força h conhecida que depende do
tempo(t) aplicado a esse objeto. Com isso, teremos:
como 
Conhecendo-se a função h(t), pode-se obter a função s(t), que representa a posição do objeto de
massa m em relação ao tempo. Dessa forma, resolve-se a equação diferencial dada, por exemplo:
Repare que, na equação, aparece derivada de segunda ordem da variável s, constituindo uma
equação diferencial. Além disso, existe apenas uma variável independente — a variável t —, de modo
que se trata de uma EDO.
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Equações diferenciais parciais (EDP)
Outro tipo de equação diferencial é quando a variável dependente depende de mais de uma variável
independente. Nesse caso, na equação, aparecerão derivadas parciais de diversas ordens. A solução
da equação será uma função escalar que dependerá das variáveis envolvidas.
A equação, a seguir, muito utilizada no eletromagnetismo, exemplifica esse tipo de equação:
Repare que a variável f depende das variáveis x,y e z. A solução, então, será uma função f(x,y,z), que
apresenta a dependência de f com as variáveis independentes. Trata-se do tipo de equação
denominada equação diferencial parcial ou EDP.
Exemplo 3
Classifique as equações diferenciais a seguir em algébrica, EDP ou EDO:
a) 
b) 
c) 
d) 
Solução
A equação da letra A é uma equação diferencial ordinária (EDO), pois apresenta a variável y relacionada com
as suas derivadas e com a variável x. Por isso, y é a variável dependente que depende apenas de uma variável
independente x.
 
A equação da letra B é uma equação algébrica, pois não apresenta nenhuma derivada. Nessa equação,
definimos y dependendo de x, ou x dependendo de y. Depende de qual das duas é conhecida no problema.
 
A equação da letra C é uma equação diferencial, pois envolve derivadas em seus termos. Como as derivadas
que aparecem são derivadas parciais, será uma equação diferencial parcial (EDP). Nesse caso, z será a
variável dependente, e x e y serão as variáveis independentes.
 
A equação da letra D, por fim, também é uma EDO, pois relaciona as derivadas da variável dependente m com
a variável independente t.
Solução de uma equação diferencial
Não existe um método únicoMarque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de grau dois:
	Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear homogênea:
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	Qual é a ordem e o grau da equação diferencial?
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Marque a alternativa que apresenta uma equação de ordem três e grau dois.
	Questão 2
	Seja a equação diferencial:
	Marque a alternativa que apresenta uma classificação verdadeira em relação a essa equação.
	3. Equações diferenciais de primeira ordem
	Solução das equações diferenciais de primeira ordem
	Conteúdo interativo
	Problema de valor inicial
	Chamaremos de solução geral a família de funções que satisfaz a equação, e de solução particular uma função que faz parte dessa solução geral e atende às condições iniciais fornecidas. Esse tipo de problema será denominado problema de valor inicial.
	Método direto
	Exemplo 1
	Solução
	Exemplo 2
	Solução
	Solução particular
	Antes de analisarmos tais métodos, precisamos nos perguntar: como garantir que uma EDO de primeira ordem tenha sempre uma solução particular para o problema e, quando essa solução existir, que ela seja única?
	EDO separáveis de primeira ordem
	Exemplo 1
	Uma população de bactéria p, medida em milhões, cresce em relação ao tempo t, medido em horas, por meio do seguinte modelo:
	Solução
	Conteúdo interativo
	Exemplo 2
	Solução
	Atenção
	Exemplo 3
	Determine a função u, que é solução da equação:
	E que para v = 0 tenha u = 1.
	Solução
	EDO exatas de primeira ordem
	Exemplo de verificação de equação exata
	Solução
	Exemplo
	Solução
	EDO linear de primeira ordem
	Cálculo de P(X)
	Etapas
	Etapa A
	Etapa B
	Etapa C
	Etapa D
	A solução particular será obtida achando-se o valor de k real por meio da condição inicial.
	Exemplo 1
	Solução
	Exemplo 2
	Solução
	Mão na massa
	Questão 2
	Seja a equação:
	Marque a alternativa falsa relacionada a essa equação diferencial.
	Questão 4
	Determine a solução particular para a equação diferencial:
	E que atenda à condição inicial de y = 1 para x = 1.
	Conteúdo interativo
	Questão 5
	Obtenha a solução geral da equação diferencial:
	Questão 6
	Obtenha a solução da equação diferencial:
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Marque a alternativa que apresenta a solução geral para a equação diferencial:
	Questão 2
	Marque a alternativa que apresenta a solução particular para a equação diferencial:
	Sabendo que y(0) = 1.
	4. Modelagem por equações diferenciais de primeira ordem
	Modelagem por meio da equações diferenciais de primeira ordem
	Conteúdo interativo
	Queda livre de um objeto sujeito à resistência do ar
	Exemplo
	Um objeto com massa de 1 kg está em queda livre em um ambiente no qual a constante de proporcionalidade da resistência do ar é de 0,8 Ns²/m. O objeto sai do repouso. Determine a velocidade máxima obtida pelo objeto, considerando a aceleração da gravidade como 10 m/s².
	Solução
	Taxa de crescimento populacional exponencial
	Atenção
	Decaimento exponencial
	Exemplo
	Solução
	Mistura de soluções
	Exemplo
	Solução
	Veja que podemos obter a quantidade de sal para qualquer instante t. Além disso, podemos determinar a máxima quantidade de sal no recipiente. Conforme t tende para infinito, a exponencial tende a zero, de forma que smax = 250kg.
	Circuitos elétricos RL ou RC
	Exemplo
	Solução
	Juros compostos continuamente
	Composição anual
	Composição semestral
	Composição mensal
	Exemplo
	Solução
	Trajetórias ortogonais a uma família de curvas
	Exemplo
	Solução
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-se que, para t = 0, a população é de 1.000 espécies e, para t = 2 anos, é de 1000e4 espécies. Determine a população para um instante de tempo de 5 anos:
	Um capital A0 foi investido em t = 0 com uma taxa anual de 10% anuais. Esse investimento teve composição de juros de forma contínua. Determine o valor de A0 sabendo que, dois anos após o início do investimento, o capital era de 2.000e0,2
	Seja um recipiente com, inicialmente, 10.000 L de água e 50 kg de sal. Insere-se, no recipiente, uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,1 kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50 L/min. A solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 50 L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente.
	Um objeto cai em queda livre a partir do repouso a uma altura de 100 m do solo. O objeto tem uma massa de 5 kg. Considere a constante de resistência do ar de 1 Ns²/m e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s². Determine a que distância do solo, aproximadamente, o objeto estará para um instante de 4 s após o início da queda.
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-se que, para t = 5 anos, a população é de 8.000 espécies e, para t = 0 anos, é de 1.000 espécies. Determine o modelo do crescimento populacional com o tempo. Aproxime ln8=2, caso necessite.
	Seja um recipiente com, inicialmente, 1.000 L de água e 50 kg de sal. Insere-se, no recipiente, uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,5 kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 20 L/min. Essa solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 20 L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente.
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Referências
	Explore+para resolver todos os tipos de equações diferenciais. Há, no entanto, alguns
métodos de grande abrangência, isto é, que resolvem grande número de equações.
 
Lembre-se de que a solução de uma equação diferencial, se existir, será uma função que atende a
equação apresentada.
 
A solução será uma ou mais famílias de funções. A família de funções que atende a equação diferencial é
denominada solução geral da equação diferencial. Para determinar uma função específica, isto é, uma solução
particular, são necessárias algumas informações adicionais, que denominaremos condições iniciais ou 
condições de contorno. A descoberta de uma solução particular, às vezes, é denominada problema de valor
inicial.
Exemplo 4
Dada a equação diferencial:
Mostre que:
a) , sendo um número real arbitrário, é uma possível solução.
b) não é uma solução da equação diferencial.
Solução
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
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Exemplo 5
Verifique se a função , com k real, é uma solução da equação diferencial 
.
Solução
Usando as regras de derivação, temos: se , então:
Substituindo, temos:
Comprovando que é solução geral para equação diferencial dada.
Exemplo 6
Determine a solução particular que atende a equação diferencial e a condição inicial
de para .
Solução
No exemplo anterior, vimos que a solução geral da equação será , com k real. Quando
Porém, para x = 0 temos y = – 1, portanto – 1 = – k, de modo que k = 1.
 
Assim, a solução particular será .
Exemplo 7
Verifique se a função escalar é uma solução particular da equação diferencial 
.
Solução
Precisamos testar se a função u(x,t) dada satisfaz a equação. Repare que, agora, temos uma EDP.
 
Precisamos lembrar de como fazer derivadas parciais. Derivamos em função da variável mantendo todas as
demais como constantes.
Agora, obteremos a derivada parcial de segunda ordem 
Substituindo, temos:
Assim, satisfaz a equação, provando que é uma solução da equação diferencial.
Mão na massa
Questão 1
Marque a alternativa que representa uma equação diferencial:
A y + ln(x) = 5
 
B dy/dx = 3x²
C u + v = cos(x)
D a² + b² = c²
E x² + y² = r²
A alternativa B está correta.
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida e suas derivadas. Vamos
analisar cada alternativa.
y + ln(x) = 5: esta equação não envolve derivadas, então não é uma equação diferencial.
dy/dx = 3x²: esta equação envolve uma derivada de y em relação a x. É uma equação diferencial.
u + v = cos(x): esta equação não envolve derivadas, então não é uma equação diferencial.
a² + b² = c²: esta é a equação de Pitágoras, e não envolve derivadas. Portanto, não é uma equação
diferencial.
x² + y² = r²: esta é a equação de um círculo, que também não envolve derivadas, logo, não é uma
equação diferencial.
Resposta correta: dy/dx = 3x².
Questão 2
Marque a alternativa que apresenta uma EDP:
A
B
C
D
E
• 
• 
• 
• 
• 
A alternativa B está correta.
Como já estudamos, uma equação diferencial é aquela que envolve as derivadas da variável analisada. EDP
é a equação diferencial na qual a variável dependente depende de mais de uma variável independente.
Repara que apenas a equação da letra B apresenta uma variável y que depende de duas variáveis x e z.
Como aparecem, nessa equação, as derivadas parciais, trata-se de uma equação diferencial parcial, sendo
a resposta da questão.
As equações da letra A e da letra C são EDOs.
As equações da letra D e letra E são equações algébricas. Atenção, apesar da equação da letra D
apresentar uma variável que depende de outras duas, ela não tem nenhuma derivada entre seus termos,
não sendo uma equação diferencial.
Questão 3
Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem: dy/dx = 3x² - 2y.
Com base nessa equação, marque a alternativa correta.
A Trata-se de uma equação diferencial de segunda ordem.
B A solução geral desta equação é uma função do tipo y = e^x.
C A equação diferencial apresenta uma derivada de y em relação a x, sendo portanto, uma equação
diferencial de ordem 1.
D A equação diferencial é homogênea de grau 2.
E A variável independente é y.
A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 4
Sabendo que uma das soluções gerais da equação diferencial é a função 
, com k real, determine a solução particular dessa família de solução que atenda a
condição inicial s(0)=2.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Inicialmente, como exercício, você pode testar e confirmar que a solução geral satisfaz a equação
diferencial dada. Vejamos:
Desse modo:
Para que a solução particular seja parte da família da solução geral, ela deve ser obtida por meio de um
valor da constante k.
Observe que as equações das letras e E não podem ser obtidas da solução geral .
Isto é, para nenhum valor de k é possível partir da equação geral e obter essas equações.
Agora, vamos analisar qual a solução particular da família em que se tem 
quando .
Desse modo, 
Logo, a solução particular será
Que está na letra B.
Questão 5
Marque a alternativa que apresenta uma solução geral para a equação diferencial :
A , com k real
B , com k real
C , com k real
D , com k real
E
A alternativa C está correta.
É preciso testar todas as alternativas e verificar se satisfazem ou não a equação apresentada no enunciado.
Usando as regras de derivação, temos:
Letra A
Se
Assim,
Não é a solução
Letra B
Se
Assim,
Não é a solução
Letra C
Se
Então
Assim,
Desse modo, é uma solução geral da equação dada, sendo a resposta da questão.
Letra D
Se
Então
Assim,
Não é a solução
Letra E
Se
Então
Assim,
Não é a solução
Questão 6
Sabe-se que a família de funções:
É uma solução geral para equação diferencial . Sabendo que , para quando , e
que , para quando , determine a alternativa que apresenta uma solução particular dessa
solução geral que atenda as condições de contorno dadas.
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
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Teoria na prática
Seja um objeto de massa m, medida em kg, presa na extremidade de uma mola com constante elástica k,
medida em N/m. Considere que o ponto de equilíbrio da mola se encontre na origem, isto é, x = 0.
 
Quando comprimimos ou esticamos a mola de x, medido em metros, o objeto ficará sujeito a uma força
elástica dada por . Pela Lei de Newton, essa força será igual à massa do objeto vezes a aceleração.
Com isso, teremos:
Assim, 
 
Verifique se a função , C real, é solução da equação diferencial que representa o
movimento de um objeto de 5 kg preso em uma mola de constante elástica .
 
Determine a solução particular sabendo que para t = 0 a posição do objeto vale x = 0.
Chave de resposta
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Marque a alternativa que apresenta uma equação que NÃO é uma equação diferencial:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Uma equação diferencial é aquela que envolve as derivadas da variável analisada.
Na equação da letra A, verifica-se que a variável dependente é x e a variável independente é y. Na
equação, aparece a derivada de primeira ordem de x em relação a y, sendo, então, uma EDO.
Na equação da letra B, verifica-se que a variável dependente é s e a variável independente é u. Na
equação, aparece a derivada de segunda ordem de s em relação a u, sendo também uma EDO.
Na equação da letra C, verifica-se que a variável dependente é v e as variáveis independentes são t e s. Na
equação, aparece a derivada parcial de v em relação a t, sendo, assim, uma EDP.
A equação da letra D não apresenta nenhuma derivada, de modo que a resposta da questãoé uma
equação algébrica.
Na equação da letra E, por fim, verifica-se que a variável dependente é x e as variáveis independentes são
u e v. A equação apresenta derivadas parciais de x em relação a u e v, sendo uma EDP. Portanto, a resposta
correta é a letra D.
Questão 2
Marque a alternativa que apresenta uma solução para equação diferencial .
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Para verificar qual a função é solução da equação, necessitamos verificar se a função satisfaz a equação.
Letra A
Substituindo, temos:
Trata-se, dessa forma, da solução da equação e a resposta da questão.
Letra B
Substituindo, temos:
Não é a solução da equação.
Letra C
Substituindo, temos:
Não é a solução da equação.
Letra D
Substituindo, temos:
Não é a solução da equação.
Letra E
Substituindo, temos:
Não é a solução da equação.
2. Equações diferenciais
Classificação das equações diferenciais
Neste vídeo, vamos explorar a classificação das equações diferenciais, abordando ordem, grau, linearidade e
homogeneidade. Você entenderá como essas características ajudam a categorizar as equações e escolher os
métodos de solução. Confira!
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Tipos de classificação das equações diferenciais
As equações diferenciais podem ser classificadas de diversas formas. Vamos conhecer algumas delas,
principalmente a classificação quanto à ordem e ao grau.
 
Você já sabe distinguir uma equação diferencial ordinária de uma equação diferencial parcial, certo?
Lembre-se de que a solução da EDO — caso exista — é uma função real, e solução da EDP — caso exista — é
uma função escalar.
 
As equações diferenciais podem ser classificadas de diversas formas. A seguir, veremos a classificação da
equação diferencial quanto à ordem, ao grau e à linearidade.
Ordem da equação diferencial
As derivadas ou derivadas parciais que aparecem na equação diferencial podem ser de diversas ordens.
Acompanhe!
Derivação de ordem superior
A derivada de uma função também é uma função. Dessa forma, a função derivada também pode possuir uma
derivada. Nesse sentido, a derivação de uma função derivada é denominada derivação de ordem superior. A
ordem de uma derivada corresponde ao número de vezes que derivamos a função.
 
Suponha a função 
A primeira derivada de , ou derivada de primeira ordem, será .
Equação ordinária 
A incógnita depende apenas de uma variável
independente, e aparecem, na equação, as
derivadas dessa incógnita em relação à
variável independente, em suas diversas
ordens.
Equação parcial 
A incógnita a ser descoberta depende
de duas ou mais variáveis
independentes e, na equação,
aparecem derivadas parciais dessa
incógnita em relação às variáveis
independentes.
A segunda derivada de y, ou derivada de segunda ordem, será a derivada da primeira derivada, de modo que: 
, e assim sucessivamente.
 
A derivada de ordem n, portanto, será a derivada da derivada de ordem n – 1 da função. Representamos a
derivada de ordem superior n – n inteiro positivo – por f(n)(x) ou D(n)f(x).
 
Utilizando a notação de Leibniz, representaremos a derivada de ordem n por:
As derivadas parciais de ordem superior seguem raciocínio semelhante.
Derivação parcial de ordem superior
A derivada parcial de uma função escalar também é uma função escalar. Por serem funções escalares,
também podemos determinar as suas derivadas parciais em relação às variáveis independentes.
 
A derivada parcial de uma função que já é derivada parcial de uma função é denominada derivada parcial de
segunda ordem. Se repetirmos o processo, teremos as derivadas parciais de terceira, quarta, quinta, até a
enésima ordem. Essas derivadas parciais são conhecidas como derivadas parciais de ordem superior.
 
Por exemplo, seja , então:
Vamos, agora, determinar as derivadas parciais de segunda ordem, isto é, a derivada parcial da função escalar
.
Relembre a notação:
As funções e são denominadas derivadas parciais de primeira ordem da função .
Já as funções e são as derivadas de segunda ordem da função 
. Podemos repetir esse processo sucessivamente.
 
A ordem de uma equação diferencial será a ordem da mais alta derivada ou da derivada parcial da função
incógnita que aparece na equação.
 
Para entender o conceito na prática, vamos estudar os seguintes exemplos:
Exemplo
Determine a ordem das seguintes equações diferenciais:
a) 
b) 
c) 
 
d) 
Solução
a) 
 
Temos, aqui, uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita s - ou variável dependente - está
relacionada apenas com uma variável dependente . Analisando a equação, observa-se que a derivada de
mais alta ordem é a primeira derivada, de forma que a ordem dessa EDO é 1.
b) 
 
Nesse caso, temos uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y está relacionada apenas
com uma variável dependente z. A equação apresenta mais de uma derivada, mas a derivada de mais alta
ordem é a terceira derivada de y em função de z. Com isso, a ordem dessa EDO é 3.
 
c) 
 
Aqui temos uma equação diferencial parcial, na qual a variável dependente depende das variáveis e 
. Observe que a equação e a derivada parcial de mais alta ordem é uma derivada parcial de terceira ordem.
Desse modo, essa EDP apresenta ordem 3.
d) 
 
A equação da letra D é novamente uma equação diferencial parcial em que a variável u depende das variáveis
vew. Nessa equação, temos uma derivada parcial de primeira ordem e uma derivada parcial de ordem 2. Desse
modo, a EDP terá ordem 2.
Forma padrão
Toda vez que o coeficiente que multiplica a derivada de mais alta ordem da equação diferencial for um,
dizemos que a equação diferencial está na sua forma padrão.
 
No exemplo anterior, as equações diferenciais da letra A e da letra C estão na forma padrão. Já as equações
da letra B e D não estão, mas podem ser colocadas. Vejamos:
, multiplicando-se todos os
coeficientes por ( -1 ).
, dividindo-se todos os coeficientes por 3.
As EDOs sempre podem ser colocadas na sua forma padrão.
Grau de uma equação diferencial
Uma equação diferencial também é classificada quanto ao seu grau. Nesse caso, o grau será o expoente da
derivada mais alta que existe na equação diferencial.
Atenção
É preciso observar a derivada de mais alta ordem para definir a ordem da equação diferencial. Para isso,
basta analisar essa derivada e ver o expoente a que ela está submetida. Dessa forma, iremos definir seu
grau. 
Se olharmos o exemplo anterior, veremos que todas as equações diferenciais apresentadas têm grau 1, já que
as derivadas de maior ordem estão sempre elevadas ao expoente um. Para entender melhor, vamos estudar
mais algumas situações.
Exemplo
Determine a ordem e o grau das equações diferenciais apresentadas:
a) 
b) 
c) 
Solução
• 
• 
a) 
 
A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y depende
da variável dependente x .
Analisando a equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a de segunda derivada, de modo que
a ordem dessa EDO é 2. A derivada está elevada ao expoente três, portanto, o grau dessa EDO vale 3.
 
b) 
 
Nesse caso, também temos uma equação diferencial ordinária, cuja variável dependente s depende da
variável u. Observe que derivada de mais alta ordem é uma derivada de terceira ordem e está elevada ao
expoente 2. Com isso, essa EDO é de ordem 3 e grau 2.
c) 
 
Por fim, temos uma equação diferencial parcial, com a incógnita z dependendo das variáveis independentes
u,vew. A derivada de maior grau é a derivada de ordem 3. Como o termo está elevado ao expoente 2, a EDP
tem ordem 3 e grau 2.
Linearidade da equação diferencial
Outra classificação para as equações diferenciais diz respeito à sua linearidade, isto é, se a equação
diferencial é linear ou não linear.
 
A equação diferencial linear ocorre nos seguintes casos:
A variável dependente e suas derivadas só podem aparecer na forma simples, isto é, elevadas ao
expoente um.
Os coeficientes da equaçãodiferencial, isto é, os termos que multiplicam a incógnita ou suas
derivadas, só podem depender da(s) variável(is) independente(s) ou serem números reais.
Já a equação diferencial não linear ocorre nas seguintes situações:
A variável dependente e suas derivadas aparecerem elevadas a um expoente numérico diferente de 1.
Se aparecer algum produto entre a variável dependente e suas derivadas, ou das derivadas das
incógnitas entre si.
Se aparecer, como coeficiente, uma função da variável dependente ou de suas derivadas.
É importante enfatizar que as variáveis independentes, nas equações diferenciais lineares, podem aparecer
como funções ou com expoentes diferentes da unidade.
• 
• 
• 
• 
• 
Atenção
Como a incógnita e suas derivadas estão sempre elevadas ao expoente 1, toda equação diferencial
linear, obrigatoriamente, apresentará um grau 1. 
Vamos estudar alguns exercícios para compreender melhor.
Exemplo
Determine se as equações diferenciais a seguir são ou não lineares.
a) 
b) 
c) 
 
d) 
Solução
a) 
 
A equação diferencial é uma EDO. Apesar de os coeficientes dependerem apenas da variável independente x
ou serem número, na equação, tem-se uma derivada da incógnita y com expoente 3. Desse modo, a equação
é não linear.
 
b) 
 
A equação diferencial é uma EDO. Os coeficientes dependem apenas da variável independente u ou são
números. O expoente da incógnita v de suas derivadas vale 1, de forma que a equação diferencial é linear.
c) 
 
A equação diferencial é uma EDP. Os coeficientes dependem apenas das variáveis independentes x,y e z. O
expoente da derivada parcial da variável m, que existe na equação, é a unidade. Com isso, a EDP é linear.
 
d) 
 
A equação diferencial é uma EDO. Apesar da incógnita y e de suas derivadas estarem elevadas ao expoente 1,
existe um produto entre y e a derivada de y. Logo, a equação é não linear.
Expressão das EDO lineares
As equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n podem e sempre serão expressas da forma:
Nesse caso, a função incógnita s depende da variável independente e , com , são os
coeficientes da equação. Se for impossível transformar uma EDO na forma apresentada, ela não será uma
equação diferencial linear. Isso também é verdade para as equações diferenciais parciais.
 
Elas serão lineares se for possível colocar da forma semelhante a um polinômio.
 
Vejamos o exemplo, a seguir, para uma EDP de segunda ordem, em que a variável z depende das variáveis x e
y:
Homogeneidade e coeficientes
Uma equação linear pode ser classificada como:
Se os coeficientes da equação diferencial que multiplicam a variável dependente ou suas derivadas
forem todos números reais, dizemos que a equação tem coeficientes constantes. A equação diferencial
será de coeficientes variáveis caso algum desses termos dependa da(s) variável(is) independente(s).
Exemplo
Classifique as equações diferenciais lineares, a seguir, quanto à homogeneidade e indique se são ou não de
coeficientes constantes:
a) 
b) 
c) 
 
d) 
Homogênea 
São aquelas que não apresentam termos sem a
variável dependente ou sem uma de suas
derivadas. Nos exemplos anteriores, as
equações homogêneas apresentam оu 
 iguais a zero.
Não homogênea 
São aquelas que apresentam o termo 
 ou , que será denominado
termo não homogêneo.
Solução
a) 
 
Observe que os coeficientes que multiplicam a variável dependente e suas derivadas são numéricos, de modo
que a equação diferencial é de coeficientes constantes. O termo independente vale , logo, é diferente
de zero, e a equação não homogênea. Podemos reescrever a equação na forma:
b) 
 
A EDO linear tem todos os coeficientes numéricos e não tem nenhum termo que independe de y e de suas
derivadas. Portanto, trata-se de uma equação diferencial de coeficientes constantes e homogênea. Podemos
reescrever a equação na forma:
c) 
 
A equação diferencial linear é uma EDP com coeficientes que dependem das variáveis independentes z e w.
Além disso, apresenta um termo que independe da variável dependente m, de modo que é uma equação de
coeficientes variáveis e não homogênea. Reescrevendo a equação na forma polinomial, temos:
d) 
 
A EDO linear apresenta coeficientes que são funções da variável independente , de forma que constitui uma
equação de coeficientes variáveis. Não existe termo que independa da variável y e de suas derivadas, logo, é
uma equação homogênea. Ordenando a equação, ficamos com:
As equações diferenciais lineares, assim como as equações algébricas, são mais fáceis de serem resolvidas
do que as não lineares.
Mão na massa
Questão 1
Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de terceira ordem:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Como vimos, uma equação diferencial terá ordem 3 se a derivada de maior ordem for de terceira ordem.
A alternativa A apresenta uma equação diferencial de primeira ordem; as alternativas B e C apresentam
equações diferenciais de segunda ordem; a alternativa E apresenta uma equação diferencial de quarta
ordem. Portanto, a resposta é a alternativa D, que apresenta uma derivada parcial de ordem 3 como
derivada de maior ordem.
Questão 2
Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de grau dois:
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Como vimos, uma equação diferencial terá grau dois se a derivada de maior ordem estiver elevada a um
expoente 2. Na equação da letra A, a ordem é um, e a derivada de ordem 1 está elevada ao expoente
unitário, sendo grau também um. A ordem da equação diferencial da letra B vale três, pois é a derivada de
mais alta ordem. O grau dessa equação também é um.
A derivada de mais alta ordem na alternativa da letra C é de segunda ordem. A derivada está elevada a um
expoente dois. Desse modo, é uma equação diferencial de ordem 2 e grau 2, sendo a resposta correta. Na
letra D, existe uma equação de ordem três e grau três. Por fim, na letra E, a equação é de ordem quatro e
grau um.
Questão 3
Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear homogênea:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
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Questão 4
Qual é a ordem e o grau da equação diferencial?
A Ordem 2 e grau 3
B Ordem 3 e grau 5
C Ordem 1 e grau 1
D Ordem 1 e grau 2
E Ordem 3 e grau 2
A alternativa E está correta.
A ordem da equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem na equação. Analisando a equação,
vemos que existe uma derivada de terceira ordem e uma de segunda ordem, de forma que a ordem vale 3.
O grau é o expoente desta derivada, que está elevada ao expoente dois na equação, de modo que o grau
da equação diferencial vale 2. Então, a letra E é a alternativa correta.
Questão 5
Seja a equação diferencial , marque a alternativa que apresenta uma classificação
verdadeira em relação a essa equação.
A Linear, coeficientes constantes e homogênea.
B Não linear, coeficientes variáveis e homogênea.
C Linear, coeficientes variáveis e não homogênea.
D Não linear, coeficientes constantes e homogênea.
E Linear, coeficientes variáveis e homogênea.
A alternativa C está correta.
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Questão 6
Seja a equação diferencial . Marque a alternativa que apresenta valores para 
 e de forma que a equação diferencial seja de segunda ordem, linear e homogênea.
A e 
B
C e 
D e 
E e 
A alternativa B está correta.
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Teoria na prática
Sabemos que não existe um método único para solucionar qualquer equação diferencial. Existem métodos que
são apropriados para grupos de equações diferenciais. Desse modo, é importante classificar uma equação
para definir o método de solução que pode ser utilizado na prática.
 
Escolhao método para solucionar a equação apresentada a seguir: Classifique quanto à ordem e ao grau,
indique se são lineares ou não lineares, homogênea ou não homogênea e, por fim, se têm coeficientes
constantes ou variáveis.
Chave de resposta
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Marque a alternativa que apresenta uma equação de ordem três e grau dois.
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Na letra A, há uma equação diferencial de terceira ordem, pois é a ordem da mais alta derivada da variável
dependente x. Essa derivada está elevada à unidade, de forma que seu grau é um. A equação da letra B é
uma equação diferencial de segunda ordem e, como a derivada de mais alta ordem está elevada ao
expoente um, seu grau também vale um. A letra C, resposta da questão, apresenta a derivada de mais alta
ordem de terceira ordem e elevada ao expoente dois. Assim é uma equação de ordem 3 e grau 2.
Na letra D, a derivada de mais alta ordem é de segunda ordem e está elevada ao expoente três. Com isso,
temos uma equação de ordem dois e grau três. Por fim, uma equação de ordem dois com grau 2, pois há
uma derivada de segunda ordem elevada ao expoente dois. A resposta correta, então, é a letra C.
Questão 2
Seja a equação diferencial:
Marque a alternativa que apresenta uma classificação verdadeira em relação a essa equação.
A Ordinária, linear e não homogênea.
B Ordinária, de grau 2 e ordem 1.
C Parcial, linear e homogênea.
D Parcial, de coeficientes constantes e de segunda ordem.
E Ordinária, linear de grau 2.
A alternativa A está correta.
Analisando a equação, verificamos que a variável dependente é v, e a independente, a variável u. A
equação tem derivadas de v em relação a um, sendo uma equação diferencial ordinária.
A derivada de mais alta ordem é de segunda ordem e está elevada a um expoente unitário, de modo que se
trata de uma equação de ordem 2 e grau 1.
A equação é linear, já que os coeficientes dependem apenas de u, e não há termo que independa de v,
logo, é uma equação homogênea. Por fim, como os coeficientes são funções de u, é uma equação de
coeficientes variáveis. Com isso, a única alternativa verdadeira é a letra A.
3. Equações diferenciais de primeira ordem 
Solução das equações diferenciais de primeira ordem
Neste vídeo, vamos analisar os métodos para resolver equações diferenciais de primeira ordem. Você
aprenderá como usar técnicas como separação de variáveis, fator integrante e substituição para solucionar
esses problemas de forma prática e clara. Assista!
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Já exploramos os conceitos básicos das equações diferenciais e aprendemos a verificar se uma função é
solução de uma equação diferencial. Observamos que não há um método universal para resolver todos os
tipos de equações diferenciais. No entanto, existem técnicas bastante abrangentes que podem ser aplicadas
a casos específicos.
 
Agora, vamos estudar algumas técnicas para resolver equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
Lembre-se de que a solução de uma equação diferencial ordinária é uma função real que satisfaz a equação
proposta.
Problema de valor inicial
Chamaremos de solução geral a família de funções que satisfaz a equação, e de solução particular uma
função que faz parte dessa solução geral e atende às condições iniciais fornecidas. Esse tipo de
problema será denominado problema de valor inicial.
 
Veremos, aqui, a solução de equações diferenciais de primeira ordem, portanto a derivada de maior ordem
que aparecerá será a derivada de primeira ordem, elevada ao expoente 1.
 
A EDO de primeira ordem será do tipo:
Mesmo para o caso das EDOs de primeira ordem, não existe um método único que abrange uma solução para
todas as EDOs. Analisaremos alguns métodos de resolução, e todos os que serão apresentados se aplicam
para equações diferenciais de primeira ordem que podem ser colocadas na forma:
A função f(x,y) será uma função que pode depender da variável independente y e/ou da variável dependente
x.
Método direto
O primeiro método é denominado de método direto e sua solução é mais simples. Ela ocorrerá quando for
possível isolar a derivada de y em um lado e, do outro, uma função que dependa apenas da variável
independente x.
 
Para a solução direta, basta usar, depois, a integração direta para obter a solução. Em outras palavras, quando
.
Vejamos o exemplo.
Exemplo 1
Obtenha a solução geral da equação diferencial .
Solução
Para obter o valor da função incógnita y, devemos tentar isolar e obter o valor da derivada da variável:
Então:
Basta, agora, integrar ambos os lados, de forma que a solução geral da equação diferencial será 
, com k número real.
Exemplo 2
Obtenha uma solução particular da equação diferencial , tal que, para atender a
condição , o valor de y vale 2.
Solução
Obtivemos a solução geral , com k número real. Agora, iremos substituir a condição
inicial e obter a solução particular:
 
Para 
No entanto, para , de forma que 
 
A solução particular será 
Solução particular
Infelizmente, nem sempre será possível realizar a solução da equação geral por meio de uma manipulação
matemática, como apresentado no exemplo. Por isso, torna-se necessário definir métodos que podem ser
empregados na obtenção da solução de um conjunto específico de equações. Analisaremos três métodos:
Equações separáveis
 
Equação exata
 
Equações lineares
Antes de analisarmos tais métodos, precisamos nos perguntar: como garantir que uma EDO de
primeira ordem tenha sempre uma solução particular para o problema e, quando essa solução existir,
que ela seja única?
 
Vejamos o teorema: Seja uma EDO do tipo , em que é contínua em um retângulo 
contendo o ponto ( ), com . Essa EDO terá sempre uma solução no retângulo que
contém e essa solução será única, sempre que for contínua em .
 
Retornando ao nosso exemplo, para EDO , repare que é
contínua para todo em . Além disso, é contínua em todo . Portanto, essa EDO
terá sempre uma solução para todos os problemas de valor inicial, e a solução será única em cada caso.
 
 
EDO separáveis de primeira ordem
Estamos estudando a EDO de primeira ordem:
A equação será do tipo separável quando for possível transformar a função f(x,y) em um produto h(x)g(y), isto
é, em um produto de uma função, que só depende da variável independente, por outra que só depende da
variável dependentes.
Resolvendo, temos:
• 
• 
• 
A equação é possível para um intervalo em que g(y) é diferente de zero. Desse modo, para solucionar a
equação vamos aplicar a integral definida em ambos os lados e obter a solução geral:
Apesar de cada integral definida apresentar uma constante de integração, as duas constantes podem ser
substituídas apenas por uma constante de integração k.
 
Atenção às regras de integração, já que elas serão bastante usadas na solução de equações diferenciais. A
solução geral pode ser uma função implícita relacionando y com o x, não sendo possível, por vezes, explicitar
a função.
 
Confira alguns exemplos desse método a seguir.
Exemplo 1
Uma população de bactéria p, medida em milhões, cresce em relação ao tempo t, medido em
horas, por meio do seguinte modelo:
Determine a quantidade de bactérias que haverá após 5 horas, sabendo que, para t = 0, o valor de p é de 2
milhão de bactérias.
Solução
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Exemplo 2
Obtenha a solução da equação 
Solução
Trata-se de uma EDO de primeira ordem. A EDO é do tipo separável, uma vez que:
Dessa maneira:
Vemos, com isso, que essa solução geral não engloba o caso de y = 0.
 
Se fizermos y na EDO, observaremos que é solução para a EDO, pois é atendida para a
função . A função 0 seria uma solução singular para a EDO. Assim, a solução da EDO seria 
, com k real , ou.
Atenção
Às vezes, com uma substituição de variável, podemos transformar uma EDO que não é do tipo separável
para uma EDO separável. 
Confira uma representação desse caso.
Exemplo 3
Determine a função u, que é solução da equação:
E que para v = 0 tenha u = 1.
Solução
Temos uma EDO de primeira ordem que relaciona a incógnita u com a variável independente v. Inicialmente,
não é possível transformar a EDO em uma EDO separável, isto é:
Manipulando a equação, no entanto, teremos:
 
Se fizemos ,
Derivando w em relação à variável independente v, teremos:
Substituindo 
 
Então, , que é uma EDO separável. Com isso:
Retornando a variável original, podemos obter uma equação implícita, que relaciona u com v da seguinte
forma:
Para v = 0, temos u = 1
Assim sendo, a função u que atende às condições do problema, em relação a variável v, é obtida pela
equação:
EDO exatas de primeira ordem
Uma equação diferencial de primeira ordem será considerada exata em um domínio S se puder ser colocada
na seguinte forma:
E existir uma função M(x,y), definida em S tal que:
Para todos os pontos (x,y) da região S.
 
Observe que u(x,y) e v(x,y) são duas funções escalares de x e y, e serão dadas pela equação diferencial. Uma
forma de verificar se a equação é exata é analisando:
Vamos lá!
Exemplo de verificação de equação exata
Observe se a equação diferencial é uma equação diferencial exata.
Solução
Colocando a equação na forma :
Portanto:
Obtendo e 
 
Retornando a solução da equação de primeira ordem exata, vamos definir a sua solução.
 
Se a equação diferencial for exata, então a solução da equação diferencial será dada
pela equação implícita , com real. Sendo a função a função tal que:
Vamos provar essa afirmativa:
Lembrando de o estudo da função escalar, temos:
Substituindo, teremos:
Mas e , então:
Dessa forma, satisfazemos a equação diferencial apresentada.
 
Precisamos obter a função M(x,y) para solucionar a equação diferencial exata. A função M(x,y) pode ser
obtida por meio da integração. Isso significa que, se desejarmos obter a função M(x,y), basta resolvermos:
Logo, obtemos:
Lembre-se de que, como estamos integrando em relação a x, e M(x,y) é uma função escalar que depende de x
e y, a constante de integração será uma função de y, representada por g(y).
 
Derivando, parcialmente, M(x,y) em relação a y, teremos:
No entanto:
De modo que:
Substituindo, obtemos:
O equacionamento parece complicado, mas basta seguir os passos para obter a solução. Repare que a
solução da equação será, normalmente, uma equação implícita. Veja!
Exemplo
Determine a solução da equação diferencial 
Solução
No exemplo anterior, provamos que se trata de uma equação diferencial exata de primeira ordem, com:
Assim:
Vamos, agora, obter a derivada parcial de M em relação a y:
Como:
Então:
Com isso, substituindo:
A solução da equação diferencial será dada pela equação implícita:
O valor de k será obtido por uma condição inicial. Por exemplo, considere que y(0) = 2, de modo que:
A solução particular será .
EDO linear de primeira ordem
O terceiro método é apropriado para as equações diferenciais lineares. A equação ordinária linear de primeira
ordem pode ser sempre expressa na forma:
Na qual u(x) e v(x) são duas funções da variável independente x, dadas na equação diferencial.
 
Vamos considerar uma função auxiliar dada por P(x) y. Derivando essa função por meio da regra do produto,
teremos:
Vamos partir da equação diferencial linear e multiplicar os dois lados pela função P(x):
Compare as duas equações. Se fizemos , igualaremos o lado esquerdo da segunda
equação com a primeira. Isto é, se , então .
 
Integrando ambos os lados, teremos:
Conseguiremos, então, obter a solução da equação diferencial linear de primeira ordem se escolhermos
corretamente a função P(x). A função P(x) é denominada fator integrante.
Cálculo de P(X)
Vejamos agora como calcular P(X).
 
Retornando, , então:
Assim:
Logo:
Como necessitamos apenas de um P(x) que atenda à condição, não precisamos incluir a constante de
integração. Portanto, para obter o fator integrante, basta resolver:
Após obter P(x), devemos obter a equação geral da EDO linear de primeira ordem:
Etapas
Agora que já entendemos o procedimento, vamos listar o passo a passo para não esquecermos nenhuma
etapa do processo. Acompanhe!
Etapa A
Colocar a equação diferencial linear na sua forma padrão, isto é, o coeficiente que multiplica y’ deve
ser um.
Etapa B
Obter o fator integrante, usando o valor de u(x) da equação, pela fórmula:
Etapa C
Obter o valor da integral a seguir, usando v(x) da equação diferencial dada:
Etapa D
Determinar a solução geral da equação diferencial pela fórmula:
A solução particular será obtida achando-se o valor de k real por meio da condição inicial.
Exemplo 1
Vamos obter a equação geral da equação diferencial .
Solução
Vamos colocar a equação diferencial linear na forma padrão:
Então, .
Agora, devemos obter o fator integrante:
Resolvendo a integral, teremos:
De forma que:
Com isso, a solução geral será:
Exemplo 2
Vamos obter a solução que atenda à equação diferencial e que, para , tenhamos 
.
Solução
No exemplo anterior, obtivemos a equação geral , k real, fazendo:
Desse modo, pela condição fornecida no enunciado, y = 1 = k. Logo, a solução particular será:
Para o caso em que u(x) e v(x) forem número reais, isto é, a equação diferencial linear seja de coeficientes
constantes, a resolução da equação vai ser um pouco mais simplificada.
 
Vamos supor que , com a e b reais. Então, teremos 
 
Assim:
Logo:
Observe que, se as funções u(x) e v(x) forem contínuas em um domínio S, podemos garantir que a solução
obtida pelo procedimento descrito sempre existirá e será única.
Mão na massa
Questão 1
Obtenha a solução da equação diferencial .
A real
B real
C real
D real
E real
A alternativa D está correta.
Analisando a equação, verificamos que é possível resolvê-la de forma direta. Vejamos:
A alternativa correta é, portanto, a letra D.
Questão 2
Seja a equação:
Marque a alternativa falsa relacionada a essa equação diferencial.
A É uma equação exata.
B É uma equação não linear.
C É uma equação separável.
D É uma equação de primeira ordem.
E É uma equação de coeficientes variáveis.
A alternativa C está correta.
Organizando a equação diferencial dada, temos:
Repare que a derivada de mais alto grau é de primeira ordem, de modo que a EDO é de primeira ordem.
Como os coeficientes dependem de x e y, trata-se de uma equação diferencial com coeficientes variáveis.
Por fim, é uma equação não linear, já que aparece um produto de y e y’.
Vamos verificar, agora, se a equação diferencial é exata.
Como , trata-se de uma equação diferencial exata. Não é possível colocar a EDO na forma 
, assim a equação é não separável, e a alternativa apresenta uma afirmativa falsa.
Questão 3
Descubra a alternativa que apresenta a solução particular para equação diferencial ,
sabendo que, para , o valor de vale 2 .
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Analisando a equação, verificamos que se trata de uma equação separável:
Resolvemos passando tudo o que depende do y para um lado e tudo o que depende do x para o outro lado.
Vejamos:
Para
Então
Indicado na alternativa B.
Questão 4
Determine a solução particular para a equação diferencial:
E que atenda à condição inicial de y = 1 para x = 1.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
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Questão 5
Obtenha a solução geral da equação diferencial:
A real
B , k real
C real
D real
E real
A alternativa B está correta.
Organizando a equação diferencial dada, verificamos que se trata de uma equação linear:
Então
Agora, temos de obter o fator integrante:
Resolvendo a integral, teremos:
Para resolver a integral, vamos fazer
A opção correta é a letra B.
Questão 6
Obtenhaa solução da equação diferencial:
Com pertencente ao intervalo que atenda 
A , k real
B real
C real
D , k real
E real
A alternativa B está correta.
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Teoria na prática
O modelo logístico é mais sofisticado do que o modelo de crescimento exponencial para se trabalhar com
crescimentos populacionais. Seja P(t) o tamanho de uma população em um instante t. Define-se a equação
diferencial logística como:
Na qual C e K são constante reais. A constante K é denominada de capacidade de suporte. Use o método da
equação diferencial separável para obter a solução da equação diferencial logística:
Com a condição inicial de que P(0) = 200.
Chave de resposta
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Marque a alternativa que apresenta a solução geral para a equação diferencial:
A real
B , k real
C , k real
D , k real
E , k real
A alternativa D está correta.
Calculando, temos:
Questão 2
Marque a alternativa que apresenta a solução particular para a equação diferencial:
Sabendo que y(0) = 1.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Repare que se trata de uma equação exata, pois, 
Resolvendo a equação diferencial pela solução geral M(x,y) = C, C real. Lembre-se de que
Vamos, agora, obter a derivada parcial de M em relação a y:
No entanto:
Então:
Desse modo, substituindo, teremos:
A solução da equação diferencial será dada pela equação implícita:
Como y(0) = 1, então:
A solução particular será:
Ou
4. Modelagem por equações diferenciais de primeira ordem 
Modelagem por meio da equações diferenciais de primeira
ordem
Explore neste vídeo como fenômenos científicos, como crescimento populacional, difusão de substâncias e
aquecimento de corpos, podem ser modelados com equações diferenciais de primeira ordem. Veremos
exemplos práticos que mostram como essas equações ajudam a entender e prever o comportamento de
sistemas dinâmicos.
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Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Muitas situações, tanto nas ciências quanto na engenharia, envolvem uma incógnita e suas taxas de variação,
representadas por suas derivadas. Esses problemas podem ser modelados por uma equação diferencial. 
 
Ao analisarmos uma situação prática, buscamos modelar o problema com os dados e as observações
realizadas, de forma a equacionar um modelo para buscar a solução.Após o levantamento dos dados e do
relacionamento entre eles, montamos uma ou mais equações, que devem ser resolvidas. As equações de
modelamento, em geral, serão equações diferenciais, quando as relações dependem da incógnita a ser obtida
e de suas taxas de variação.
 
Vejamos algumas situações que podem ser modeladas por meio de uma equação diferencial de primeira
ordem.
Queda livre de um objeto sujeito à resistência do ar
A segunda Lei de Newton relaciona a força, em N, que age em um objeto de massa m, em kg, e sua
aceleração em m/s², da seguinte forma:
Considerando uma trajetória retilínea, podemos retirar os vetores e trabalhar apenas com os módulos.
Devemos lembrar, no entanto, que a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, já a
aceleração é a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo. Dessa forma, a aceleração será a
segunda derivada da posição pelo tempo:
No caso de um objeto em queda livre, se desprezarmos a resistência do ar, o objeto estará sujeito apenas ao
seu peso, e a aceleração será constante e igual à aceleração da gravidade. Nesse caso, não será necessária
uma equação diferencial para modelar o problema.
 
Na prática, o ar resiste ao movimento de queda livre, com uma força que é proporcional à sua velocidade, de
modo que:
K é uma constante de proporcionalidade determinada experimentalmente. Com isso, um objeto em queda livre
de massa m, medida em kg, estará sujeito ao peso, que empurra o objeto para baixo, e à resistência do ar,
contrária ao peso.
 
Vejamos:
Em que g é aceleração da gravidade.
 
Conseguimos modelar o problema da posição em relação ao tempo dessa forma. Porém, temos uma equação
diferencial de segunda ordem que ainda não sabemos resolver. Nesse caso, podemos modelar a velocidade
com o tempo:
Temos, agora, uma equação diferencial linear de primeira ordem, que já sabemos resolver.
 
Resolvendo a equação diferencial da velocidade pelo método para equação linear, obteremos a seguinte
solução:
Após obter a velocidade, usamos a relação:
De forma que:
Então:
Exemplo
Um objeto com massa de 1 kg está em queda livre em um ambiente no qual a constante de
proporcionalidade da resistência do ar é de 0,8 Ns²/m. O objeto sai do repouso. Determine a velocidade
máxima obtida pelo objeto, considerando a aceleração da gravidade como 10 m/s².
Solução
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
Trata-se de uma equação diferencial linear com . Então a(t) e b(t) .
Agora, temos de obter o fator integrante:
Resolvendo a integral, teremos:
Então:
Como:
Assim:
Quando t tende ao infinito, a exponencial tenderá a zero, e a velocidade chega no seu valor máximo de 12,5 m/
s².
Taxa de crescimento populacional exponencial
Na biologia, é comum a necessidade de modelar o crescimento de uma população, como a de insetos ou
bactérias. Uma forma simples de modelar o crescimento de uma população é utilizando um modelo
exponencial, no qual a taxa de variação da população com o tempo é proporcional ao tamanho da população.
 
Desse modo, seja P(t) a população em um instante de tempo t:
Em que k é a taxa líquida de aumento da população.
 
O modelo pode ser empregado para o decrescimento exponencial se k for negativa. Se observarmos a
equação do modelo, trata-se de uma equação diferencial linear, de coeficientes constantes e homogênea.
 
Podemos resolver a equação pelo método estudado no módulo anterior. Assim, a solução do modelo será
obtida pela resolução dessa equação diferencial linear. Para isso, use o método e você obterá a solução geral:
Para obter o C, é preciso conhecer uma condição de contorno. Se conhecermos o valor da polução P para t =
0, denominando P0, teremos:
Se conhecermos o valor da população P para t = T, denominando , teremos:
Atenção
O modelo de crescimento populacional na forma exponencial é chamado de Lei de Malthus. Vale saber
que esse modelo se torna menos preciso para valores grandes de tempo. 
Decaimento exponencial
Vejamos, agora, um modelo para um decaimento exponencial, aplicado em um decaimento radioativo, por
exemplo. Considere m(t) a massa remanescente de uma substância radioativa em um instante t. Nesse caso, a
taxa de decaimento será dada por:
Em que k é a constante negativa denominada constante de decaimento.
 
A vida média de um material é definida como o tempo necessário para que metade da massa do material
radioativo decaia.
Exemplo
Determine a vida média de um material sabendo que a constante de decaimento é de 1,4 10-4 por ano.
Considere o decaimento exponencial.
Solução
A equação diferencial que modela o problema será:
Resolvendo a equação:
Teremos:
Desejamos calcular a vida média do material, que seria o instante em que sua massa chega à metade.
 
Considerando A0 como t = 0 e tv o tempo vida média, temos:
Então:
Mistura de soluções
Vamos conhecer agora um problema de química modelado por uma equação diferencial. Um problema de
mistura de soluções — por exemplo, a salmoura — está relacionado com um recipiente de capacidade fixa no
qual se mistura uma substância, como o sal, em um líquido, como a água.
 
A solução, em dada concentração, entra no recipiente a uma taxa fixa. A mistura, bem agitada no tanque, sai
do recipiente também com uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada.
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por . Essa taxa será determinadapela diferença entre a
taxa de entrada, , e a taxa de saída, , do sal no tanque, ou seja:
Vamos entender esse processo!
Exemplo
Seja um recipiente com 5000 L de água e 20 kg de sal, inicialmente. Insere-se, no recipiente, uma solução
(água salgada) com uma concentração de 0,05 kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50L/min. A
solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 50 L/min. Determine a
quantidade máxima de sal que permanece no recipiente.
Solução
Nosso problema é calcular quanto de sal permanece no tanque depois de certo tempo. Seja s(t) a quantidade
de sal, em kg, depois de t minutos. Para t = 0, teremos apenas a quantidade de sal na solução inicial – 20 kg.
 
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por . Essa taxa será dada pela diferença entre a taxa de
entrada, , e a taxa de saída, , do sal no tanque, ou seja:
A taxa de entrada, em nosso exemplo, seria dada por 0,05 kg/L vezes 50 L/min, de modo que TE = 2,50 kg/
min.
 
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada — no exemplo, de 50 L/min —, o recipiente sempre fica com
sua capacidade fixa, de 5000 L. Considera-se que o sal não aumenta o volume da água.
 
A taxa de saída do sal será de s(t)/5000 kg/L, que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total,
vezes a vazão de saída de 50 L/min. Assim, TS = s(t)/100 kg/min.
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear. Com isso, podemos solucionar a equação
pelos seguintes métodos:
Como t = 0, temos s = 20 kg.
De modo que:
Então:
Veja que podemos obter a quantidade de sal para qualquer instante t. Além disso, podemos
determinar a máxima quantidade de sal no recipiente. Conforme t tende para infinito, a exponencial
tende a zero, de forma que smax = 250kg.
Circuitos elétricos RL ou RC
A resolução de circuitos elétricos com uma resistência e um capacitor em série, denominado RC, ou de um
resistor e um indutor em série, denominado RL, podem ser solucionados por meio de uma equação diferencial
de primeira ordem. Vejamos:
Usando a lei das malhas para o circuito RL, podemos escrever a seguinte equação diferencial:
Conhecendo-se a tensão da fonte v(t) e os componentes do circuito, obtém-se a função i(t), que fornece a
corrente elétrica com o tempo. Trata-se de uma equação linear com coeficientes constantes e não
homogênea:
A tensão no indutor pode ser obtida por .
 
Para o caso do circuito RC, usa-se a lei dos nós do circuito elétrico. O modelo do circuito é obtido pela
equação:
Com esse modelo, dada a tensão da fonte e os elementos do circuito, obtém-se a dependência da
tensão no capacitor com o tempo, . Para se obter a corrente , pode-se fazer .
Exemplo
Seja um circuito RL em série com resistência de 15 Ω e indutor de 5 H. A tensão é fornecida por uma fonte
contínua de 50 V, que é ligada em t = 0s. Determine a corrente após 1 s e a corrente limite do circuito.
Solução
Conforme estudamos, o modelo utilizado será dado pela equação diferencial:
Substituindo os dados do problema, temos:
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo:
Então, a(t) = 3 e b(t) = 10.
 
Iremos, agora, obter o fator integrante:
Resolvendo a integral, temos:
Então:
Como circuito é ligado em t = 0s, então i(0) = 0, de modo que:
Então:
Calculando:
Quando temos:
Juros compostos continuamente
A modelagem também pode ser aplicada na matemática financeira. Considere uma aplicação financeira com
um valor inicial aplicado a uma taxa de juros anuais representada por . O juro do investimento será
composto vezes ao ano. Assim, em cada período de composição, a taxa de juros será dada por uma taxa
de . Após período de n vezes o período de composição , terem um capital calculado por:
Por exemplo, seja um investimento inicial de R$ 1.000,00 com uma taxa de 5% ao ano, mas composto de
diversas formas. Após 2 anos de investimento, o capital será:
Composição anual
Em um período de dois anos, teremos dois instantes de composição de juros com uma taxa de 5%:
Composição semestral
Em um período de dois anos, teremos quatro instantes de composição de juros com taxa de 
.
Composição mensal
Em um período de dois anos, teremos 24 instantes de composição de juros com taxa de 
Vamos, agora, considerar que n tende ao infinito. Nesse caso, seria denominado juro composto continuamente
da seguinte forma:
O limite dentro dos colchetes é um limite fundamental que vale e, de modo que:
Derivando ambos os lados, em relação ao tempo, obtemos um modelo com taxas de juros compostas
continuamente:
Repare que o modelo é uma equação do primeiro grau que diz que a taxa de crescimento do investimento é
proporcional ao seu valor.
Exemplo
Um capital de R$ 10.000,00 é investido em uma aplicação com taxa de juros de 5% ao ano composta
continuamente. Determine a equação que modele o problema e o valor de capital, após dois anos de
aplicação.
Solução
Conforme estudado o modelo será dado por:
Substituindo os dados do problema, temos:
Resolvendo a equação, teremos:
No entanto, A(0) = 10.000 = exp (k).
De forma que:
Trajetórias ortogonais a uma família de curvas
Considere uma família de curvas no . Nesse caso, podemos obter uma trajetória ortogonal, em qualquer
ponto pertencente a essas curvas, seguindo este conceito:
Por meio das equações das curvas, obtemos a relação entre y e x.
Derivamos y em relação a x, obtendo o coeficiente angular, isto é, a inclinação da reta tangente às
curvas em qualquer ponto.
A inclinação da trajetória ortogonal é obtida pela troca do sinal e pela inversão do coeficiente angular
da reta tangente, obtendo-se uma equação diferencial a ser solucionada.
Vejamos a situação a seguir.
Exemplo
Considere uma família de curvas dadas pela equação real. Determine as trajetórias ortogonais a
essa família de curvas dadas.
Solução
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Mão na massa
Questão 1
Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-se que, para
t = 0, a população é de 1.000 espécies e, para t = 2 anos, é de 1000e4 espécies. Determine a
população para um instante de tempo de 5 anos:
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Como o modelo segue uma modelagem de crescimento exponencial, temos:
Então:
Para
Para
Então, 
Assim,
Questão 2
Um capital A0 foi investido em t = 0 com uma taxa anual de 10% anuais. Esse investimento
teve composição de juros de forma contínua. Determine o valor de A0 sabendo que, dois anos
após o início do investimento, o capital era de 2.000e0,2
A R$ 1.000,00
B R$ 2.000,00
C R$ 3.000,00
D R$ 4.000,00
E R$ 5.000,00
A alternativa B está correta.
Conforme estudado, o modelo será dado por:
Substituindo os dados do problema, temos:
Resolvendo a equação, teremos:
Mas A(0) = A0 = exp (k)
De forma que:
Então A0 = R$ 2.000,00
Questão 3
Seja uma família de elipses centradas na origem dadas pela equação , com k real. Determine as
trajetórias ortogonais a essa família de curvas dadas.
A , k real
B real
C real
D real
E real
A alternativa C está correta.
A equação da familia de curvas fornece a relação entre y e x , isto é, .
Derivando em relação a x, em ambos os lados, usando a derivação implícita, temos:
Então
É preciso resolver a equação diferencial
Usando o método da equação separável, temos:
Para facilitar a manipulação matemática, vamos transformar a constante C = ln m, com m real:
Então:
Fazendo real real, que corresponde à alternativa C , que são equações de
parábolas que passam na origem.
Questão 4
Seja um recipiente com, inicialmente, 10.000 L de água e 50 kg de sal. Insere-se, no
recipiente, uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,1 kg de sal por litro de
água, a uma taxa fixa de 50 L/min. A solução é misturada completamente e tem uma saída do
tanque com uma taxa de 50 L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no
recipiente.
A 250 kg
B 500 kg
C 750 kgD 1.000 kg
E 1.250 kg
A alternativa D está correta.
O modelo utilizado será 
A taxa de entrada seria dada por 0,1 kg/L vezes 50 L/min, então TE = 5,0 kg/min
O recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de 10.000 L com uma taxa de saída de 50 L/min. Assim a
taxa de saída do sal será de s(t)/10.000 kg/L, que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total,
vezes a vazão de saída de 50L/min. Assim TS = s(t)/200 kg/min
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, de forma que podemos solucionar a
equação pelos métodos estudados no módulo anterior. Vejamos:
Como t = 0 se tem s = 50kg
Assim:
Então:
Conforme t tende para infinito, a exponencial tende a zero, de modo que smax = 1.000kg.
Questão 5
Um objeto cai em queda livre a partir do repouso a uma altura de 100 m do solo. O objeto tem
uma massa de 5 kg. Considere a constante de resistência do ar de 1 Ns²/m e a aceleração da
gravidade igual a 10 m/s². Determine a que distância do solo, aproximadamente, o objeto
estará para um instante de 4 s após o início da queda.
A 8,4 m
B 37,67 m
C 25,7 m
D 32,4 m
E 41,3 m
A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 6
Seja um circuito RC em série com resistência de e capacitor de 5 F. A tensão é fornecida por uma fonte
contínua de 50 V, que é ligada em . Determine a corrente após 10 s.
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Teoria na prática
Você deseja fazer uma aplicação bancária com um capital de R$ 1.000,00. Seu gerente ofereceu um
investimento novo que fornecia uma taxa de juros anual de 5% com composição contínua.
 
Para ajudar na sua decisão, o gerente informou que se você investisse com uma composição continua, após
dez anos, seu capital seria 10% maior, se a composição fosse mensal. Use seus conhecimentos de cálculo
para verificar a veracidade da informação dada pelo gerente.
Chave de resposta
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-se que, para
t = 5 anos, a população é de 8.000 espécies e, para t = 0 anos, é de 1.000 espécies.
Determine o modelo do crescimento populacional com o tempo. Aproxime ln8=2, caso
necessite.
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Como o modelo segue uma modelagem de crescimento exponencial, temos:
Então:
Para
Para
Então, 
A alternativa correta é a letra D.
Questão 2
Seja um recipiente com, inicialmente, 1.000 L de água e 50 kg de sal. Insere-se, no recipiente,
uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,5 kg de sal por litro de água, a uma
taxa fixa de 20 L/min. Essa solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque
com uma taxa de 20 L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no
recipiente.
A 200 kg
B 300 kg
C 500 kg
D 700 kg
E 900 kg
A alternativa C está correta.
O modelo utilizado será 
A taxa de entrada seria dada por 0,5 kg/L vezes 20L/min, então, TE = 10,0 kg/min.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, de 20 L/min, o recipiente sempre fica com sua
capacidade fixa, de 1.000 L. Desse modo, a taxa de saída do sal será de s(t)/1.000 kg/L, que mede a
quantidade de sal no recipiente pelo volume total, vezes a vazão de saída de 20 L/min. Assim, TS = s(t)/50
kg/min:
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, de forma que podemos solucionar a
equação pelos métodos estudados no módulo anterior. Vejamos:
Como t = 0, temos s = 50kg
Assim:
Então:
Conforme t tende para infinito, a exponencial tende a zero, de modo que smax = 500 kg.
A alternativa correta é, portanto, a letra C.
5. Conclusão
Considerações finais
Conhecemos e aplicamos o conceito das equações diferenciais de primeira ordem neste conteúdo. Estudamos
os conceitos iniciais e a classificação da equação diferencial, principalmente quanto ao grau e à ordem.
 
Vimos, em seguida, alguns métodos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem. Por fim,
aplicamos a resolução das equações diferenciais de primeira ordem na modelagem de alguns problemas em
diversas áreas.
Referências
ÇENGEL, Y.; PAUL III, W. J. Equações diferenciais. Porto Alegre: Mc Graw Hill Education, 2012.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 4. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 12 ed. São Paulo: Pearson, 2013.
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Confira as indicações que separamos para você!
 
Leia o artigo Técnicas de solução de sistemas de equações diferenciais e algébricas: aplicação em sistemas
de energia elétrica, de José Pessanha. Universidade Federal do Maranhão.
	Equações diferenciais de primeira ordem
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Conceitos de uma equação diferencial
	Equações diferenciais: tipologia
	Conteúdo interativo
	Conceitos iniciais
	Equação algébrica X Equação diferencial
	As equações que relacionam uma variável e suas derivadas são denominadas equações diferenciais — expressão utilizada desde 1676, quando foi criada pelo matemático Leibniz.
	A variável para a qual se busca a solução recebe o nome de variável dependente ou incógnita da equação.
	Variável independente
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Tipos de equações diferenciais
	Equações diferenciais ordinárias (EDO)
	Equações diferenciais parciais (EDP)
	Exemplo 3
	Classifique as equações diferenciais a seguir em algébrica, EDP ou EDO:
	Solução
	Solução de uma equação diferencial
	Lembre-se de que a solução de uma equação diferencial, se existir, será uma função que atende a equação apresentada.
	Exemplo 4
	Solução
	Conteúdo interativo
	Exemplo 5
	Solução
	Exemplo 6
	Solução
	Exemplo 7
	Solução
	Mão na massa
	Marque a alternativa que apresenta uma EDP:
	Conteúdo interativo
	Letra A
	Letra B
	Letra C
	Letra D
	Letra E
	Questão 6
	Sabe-se que a família de funções:
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Marque a alternativa que apresenta uma equação que NÃO é uma equação diferencial:
	Letra A
	Letra B
	Letra C
	Letra D
	Letra E
	2. Equações diferenciais
	Classificação das equações diferenciais
	Conteúdo interativo
	Tipos de classificação das equações diferenciais
	Você já sabe distinguir uma equação diferencial ordinária de uma equação diferencial parcial, certo?
	Ordem da equação diferencial
	Derivação de ordem superior
	Derivação parcial de ordem superior
	Exemplo
	Determine a ordem das seguintes equações diferenciais:
	Solução
	Forma padrão
	As EDOs sempre podem ser colocadas na sua forma padrão.
	Grau de uma equação diferencial
	Atenção
	Exemplo
	Determine a ordem e o grau das equações diferenciais apresentadas:
	Solução
	Linearidade da equação diferencial
	Atenção
	Exemplo
	Determine se as equações diferenciais a seguir são ou não lineares.
	Solução
	Expressão das EDO lineares
	Elas serão lineares se for possível colocar da forma semelhante a um polinômio.
	Homogeneidade e coeficientes
	São aquelas que não apresentam termos sem a variável dependente ou sem uma de suas derivadas. Nos exemplos anteriores, as equações homogêneas apresentam оu iguais a zero.
	São aquelas que apresentam o termo ou , que será denominado termo não homogêneo.
	Se os coeficientes da equação diferencial que multiplicam a variável dependente ou suas derivadas forem todos números reais, dizemos que a equação tem coeficientes constantes. A equação diferencial será de coeficientes variáveis caso algum desses termos dependa da(s) variável(is) independente(s).
	Exemplo
	Solução
	Mão na massa
	Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de terceira ordem: