desafios heycrj

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48. Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta: c) \( 3 \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (x^3 - 2x^2 + 3) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 3\right] - [0] = \frac{1}{4} - \frac{8}{12} + \frac{36}{12} = 
\frac{1}{4} + \frac{28}{12} = 3 
 \] 
 
49. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 4} \). 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta: a) \( 3 \)** 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x^2 \): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{3 - 0 + 0}{1 + 
0} = 3 
 \] 
 
50. Encontre a derivada de \( f(x) = \tan(x^2) \). 
 a) \( 2x \sec^2(x^2) \) 
 b) \( 2x \tan(x^2) \) 
 c) \( \sec^2(x^2) \) 
 d) \( 2 \tan(x^2) \) 
 **Resposta: a) \( 2x \sec^2(x^2) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \sec^2(x^2) \cdot (2x) = 2x \sec^2(x^2) 
 \] 
 
51. Calcule \( \int e^{2x} \cos(3e^{2x}) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 b) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 d) \( \frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 **Resposta: a) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \)** 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida usando a substituição e integração por 
partes. A integral resulta em uma função que envolve \( \cos \) e \( e^{2x} \). 
 
52. Calcule a integral \( \int (5x^2 - 3x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + C \) 
 c) \( \frac{5}{3}x^3 - 3x + 1 + C \) 
 d) \( \frac{5}{3}x^3 - 3x + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (5x^2 - 3x + 1) \, dx = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C 
 \] 
 
53. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 7 
 d) 14 
 **Resposta: c) 7** 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k \). Aqui, \( k = 7 \), então o limite é \( 7 \). 
 
54. Encontre a derivada de \( f(x) = e^{x^2 + 1} \). 
 a) \( 2xe^{x^2 + 1} \) 
 b) \( e^{x^2 + 1} \) 
 c) \( 2e^{x^2 + 1} \) 
 d) \( 2xe^{x^2} \) 
 **Resposta: a) \( 2xe^{x^2 + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = e^{x^2 + 1} \cdot (2x) = 2xe^{x^2 + 1} 
 \] 
 
55. Calcule a integral \( \int (2x^3 + 3x^2 - x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - \frac{1}{4}x^2 + C \) 
 c) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 + C \) 
 d) \( \frac{1}{4}x^4 + x^3 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C \)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (2x^3 + 3x^2 - x) \, dx = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C 
 \] 
 
56. Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + 3x^2) \, dx \). 
 a) \( 1 \)