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d) \( \frac{\sqrt{\pi}}{4} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), resultando em \( \frac{1}{2} 
\int_0^{\infty} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} \). 
 
55. **Problema 55:** Determine a derivada de \( f(x) = \cos(x^2) \). 
 a) \( -2x \sin(x^2) \) 
 b) \( -\sin(x^2) \) 
 c) \( -2x^2 \sin(x) \) 
 d) \( -x \sin(x^2) \) 
 **Resposta:** a) \( -2x \sin(x^2) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = -\sin(x^2) \cdot (2x) = -2x 
\sin(x^2) \). 
 
56. **Problema 56:** Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2 - 1}{5x^3 + 4} \). 
 a) 0 
 b) \( \frac{2}{5} \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \( x^3 \), temos \( \lim_{x 
\to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}}{5 + \frac{4}{x^3}} = \frac{2}{5} \). 
 
57. **Problema 57:** Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x)^{4} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{1}{6} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{5} \) 
 **Explicação:** A integral é uma beta, \( \int_0^1 (1 - x)^{n} \, dx = \frac{1}{n + 1} \). 
 
58. **Problema 58:** Determine a derivada de \( f(x) = x \ln(x) \). 
 a) \( \ln(x) + 1 \) 
 b) \( \ln(x) + x \) 
 c) \( \ln(x) - 1 \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \ln(x) + 1 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = \ln(x) + 1 \). 
 
59. **Problema 59:** Calcule a integral \( \int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** b) \( 0.5 \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2} \) é \( -\frac{1}{x} \), avaliando de 1 a 2 
resulta em \( -\frac{1}{2} + 1 = 0.5 \). 
 
60. **Problema 60:** Determine a integral \( \int_0^{1} x^3 \sin(2x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{8} \) 
 b) \( \frac{1}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{6} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{8} \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes, onde \( u = x^3 \) e \( dv = \sin(2x) dx \). 
 
61. **Problema 61:** Calcule a derivada de \( f(x) = x^5 + 3x^4 - 2x + 1 \). 
 a) \( 5x^4 + 12x^3 - 2 \) 
 b) \( 5x^4 + 3x^3 - 2 \) 
 c) \( 5x^3 + 12x^2 - 2 \) 
 d) \( 5x^4 + 3x^3 + 2 \) 
 **Resposta:** a) \( 5x^4 + 12x^3 - 2 \) 
 **Explicação:** A derivada de \( f(x) \) é calculada usando a regra da potência. 
 
62. **Problema 62:** Calcule a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \frac{\pi}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** A integral de \( \tan^2(x) \) é conhecida e pode ser reduzida para \( 
\sec^2(x) - 1 \). 
 
63. **Problema 63:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( -\frac{1}{2} \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** c) \( -\frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor, temos \( \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} \). 
 
64. **Problema 64:** Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^3)^{1/3} \, dx \). 
 a) \( \frac{3}{8} \) 
 b) \( \frac{1}{4} \) 
 c) \( \frac{2}{5} \) 
 d) \( \frac{1}{5} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = 1 - x^3 \), resultando em \( \int_0^1 u^{1/3} 
\, du \). 
 
65. **Problema 65:** Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 d) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)