1X29F algoritmo da math

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Determine o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(8x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 8 
 d) 16 
 **Resposta:** c) 8 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, obtemos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \), onde \( k = 8 \). 
 
79. **Problema 79:** 
 Calcule a integral \( \int e^{-x^2} \, dx \) no intervalo [0, 1]. 
 a) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \sqrt{\pi} \) 
 d) \( \frac{1}{8} \sqrt{\pi} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int e^{-x^2} \, dx \) não possui uma antiderivada elementar, 
mas pode ser avaliada numericamente, resultando em aproximadamente \( \frac{1}{2} 
\sqrt{\pi} \). 
 
80. **Problema 80:** 
 Calcule \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{1}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin(\theta) \), a integral se transforma em \( 
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) \, d\theta = \frac{\pi}{4} \). 
 
81. **Problema 81:** 
 Encontre a solução da equação diferencial \( y' + 2y = 6 \). 
 a) \( y = Ce^{-2x} + 3 \) 
 b) \( y = Ce^{2x} + 3 \) 
 c) \( y = Ce^{-2x} + 6 \) 
 d) \( y = Ce^{2x} + 6 \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{-2x} + 3 \) 
 **Explicação:** Usamos o fator integrante \( e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \). Multiplicando a 
equação por \( e^{2x} \) e resolvendo, obtemos a solução geral. 
 
82. **Problema 82:** 
 Calcule \( \int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{1}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{3}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin^{1/3}(\theta) \), a integral se 
transforma em uma forma que pode ser resolvida. 
 
83. **Problema 83:** 
 Determine o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 5x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) 6 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, obtemos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\ln(1 + kx)}{x} = k \), onde \( k = 5 \). 
 
84. **Problema 84:** 
 Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^4)^{\frac{3}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{3}{8} \) 
 b) \( \frac{2}{5} \) 
 c) \( \frac{4}{15} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3}{8} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin^{1/4}(\theta) \), a integral se 
transforma em uma forma que pode ser resolvida. 
 
85. **Problema 85:** 
 Encontre a solução da equação diferencial \( y' + 3y = 9 \). 
 a) \( y = Ce^{-3x} + 3 \) 
 b) \( y = Ce^{3x} + 3 \) 
 c) \( y = Ce^{-3x} + 9 \) 
 d) \( y = Ce^{3x} + 9 \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{-3x} + 3 \) 
 **Explicação:** Usamos o fator integrante \( e^{\int 3 \, dx} = e^{3x} \). Multiplicando a 
equação por \( e^{3x} \) e resolvendo, obtemos a solução geral. 
 
86. **Problema 86:** 
 Calcule \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{5} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{3}{8} \) 
 d) \( \frac{4}{15} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin(\theta) \), a integral se transforma em \( 
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(\theta) \, d\theta = \frac{2}{5} \). 
 
87. **Problema 87:** 
 Determine o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(9x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 9 
 d) 18