5NM8M calculos 5NM8M

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\[ 
 f'(x) = \ln(x) + 1. 
 \] 
 
72. **Problema 72:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 6 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 6 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x} = 6. 
 \] 
 
73. **Problema 73:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 + x^2)^{-1} \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{5}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(x = \tan(\theta)\), obtemos: 
 \[ 
 \int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta = \frac{\pi}{4}. 
 \] 
 
74. **Problema 74:** Determine a derivada de \(f(x) = e^{x^2 + 1}\). 
 a) \(2x e^{x^2}\) 
 b) \(2x e^{x^2 + 1}\) 
 c) \(e^{x^2 + 1}\) 
 d) \(x e^{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** b) \(2x e^{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = 2x e^{x^2 + 1}. 
 \] 
 
75. **Problema 75:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan^2(2x)}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 4 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan^2(2x)} = 4. 
 \] 
 
76. **Problema 76:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{2/3} \, dx\). 
 a) \(\frac{3}{5}\) 
 b) \(\frac{2}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3}{5}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^2\), obtemos: 
 \[ 
 \int_0^1 (1 - x^2)^{2/3} \, dx = \frac{3}{5}. 
 \] 
 
77. **Problema 77:** Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^4 + 1)\). 
 a) \(\frac{4x^3}{x^4 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^4 + 1}\) 
 c) \(\frac{4}{x^4 + 1}\) 
 d) \(\frac{4x^2}{x^4 + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{4x^3}{x^4 + 1}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{4x^3}{x^4 + 1}. 
 \] 
 
78. **Problema 78:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 7 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 7 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x} = 7. 
 \] 
 
79. **Problema 79:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 + x^3)^{-1} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{1}{5}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 + x^3\), obtemos: 
 \[ 
 \int_0^1 (1 + x^3)^{-1} \, dx = \frac{1}{3}. 
 \] 
 
80. **Problema 80:** Determine a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^4 + 4}\).