Vamos analisar a equação diferencial dada: \[ y'' + 422y' + 4y = \cos x \] Para garantir a existência e unicidade da solução para um problema de valor inicial (PVI), usamos o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais lineares. Passo 1: Reescrever a equação na forma padrão Dividimos toda a equação pelo coeficiente de \( y'' \) (que é 1): \[ y'' = -422 y' - 4 y + \cos x \] Ou seja, \[ y'' = f(x, y, y') = -422 y' - 4 y + \cos x \] Passo 2: Condições do Teorema O teorema garante solução única se as funções que aparecem na equação (coeficientes e termo independente) forem contínuas no intervalo considerado. Aqui, os coeficientes são constantes (422 e 4) e o termo \(\cos x\) é contínuo para todo \(x \in \mathbb{R}\). Conclusão: Como os coeficientes e o termo independente são contínuos para todo \(x \in \mathbb{R}\), a solução única do PVI existe e é garantida para qualquer intervalo real. Resposta final: A solução única para o problema de valor inicial da equação diferencial dada é garantida em qualquer intervalo real, ou seja, para todo \(x \in \mathbb{R}\).