provas da faculdade da2CR

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b) 1 
 c) 3 
 d) 6 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 3\). 
 
14. **Problema 14:** Qual é a derivada de \(h(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)? 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 b) \(\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 c) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 d) \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de \(\sqrt{u}\) é 
\(\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx}\). 
 
15. **Problema 15:** Determine o valor de \(\int_0^{\pi} \sin(x) \, dx\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** A integral é \([- \cos(x)]_0^{\pi} = [-(-1) - (-1)] = 2\). 
 
16. **Problema 16:** Calcule o valor de \(\frac{d}{dx} (x^2 e^x)\). 
 a) \(e^x (x^2 + 2x)\) 
 b) \(e^x (x^2 - 2x)\) 
 c) \(2x e^x\) 
 d) \(x^2 e^x\) 
 **Resposta:** a) \(e^x (x^2 + 2x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \((x^2)' e^x + x^2 (e^x)'\). 
 
17. **Problema 17:** Determine o valor de \( \int_1^2 (3x^2 - 6x + 2) \, dx\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A integral é \(\left[ x^3 - 3x^2 + 2x \right]_1^2 = (8 - 12 + 4) - (1 - 3 + 2) = 
0\). 
 
18. **Problema 18:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** O limite pode ser simplificado como \(\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 
1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2\). 
 
19. **Problema 19:** Determine a integral \(\int (5x^4 - 3x^3 + 2x^2) \, dx\). 
 a) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + C\) 
 b) \(x^5 - \frac{3}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + C\) 
 c) \(5x^5 - 3x^4 + 2x^3 + C\) 
 d) \(\frac{5}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + \frac{2}{2}x^2 + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada usando a regra de potência, onde a integral de 
\(x^n\) é \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\). 
 
20. **Problema 20:** Qual é a derivada de \(f(x) = \cos(2x)\)? 
 a) \(-2\sin(2x)\) 
 b) \(2\sin(2x)\) 
 c) \(-\sin(2x)\) 
 d) \(\sin(2x)\) 
 **Resposta:** a) \(-2\sin(2x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \((\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'\). 
 
21. **Problema 21:** Calcule a integral \(\int_0^1 (6x^5 - 4x^3 + 2) \, dx\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{5}{6}\) 
 **Resposta:** d) \(\frac{5}{6}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\left[ x^6 - \frac{4}{4}x^4 + 2x \right]_0^1 = (1 - 1 + 2) - (0) = 
2\). 
 
22. **Problema 22:** Determine o valor de \(\frac{d}{dx} (x^3 - 3x^2 + 2x)\). 
 a) \(3x^2 - 6x + 2\) 
 b) \(3x^2 - 3\) 
 c) \(x^2 - 3\) 
 d) \(2x - 3\) 
 **Resposta:** a) \(3x^2 - 6x + 2\) 
 **Explicação:** A derivada é calculada usando a regra de potência. 
 
23. **Problema 23:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(e\) 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a definição da derivada de \(e^x\) em \(x = 0\). 
 
24. **Problema 24:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x} \, dx\). 
 a) \(\ln(x) + C\) 
 b) \(\frac{1}{x} + C\)