BJE calculo para matematicfa compputacional BJE

Prévia do material em texto

32. **Problema 32:** Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 - 2z + 5 = 0 \)? 
 a) \( 2 \) 
 b) \( -2 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta:** a) \( 2 \) 
 **Explicação:** Usando o Teorema de Viète, a soma das raízes de uma equação 
quadrática \( z^2 + bz + c = 0 \) é dada por \( -b \). Portanto, a soma das raízes é \( 2 \). 
 
33. **Problema 33:** Resolva a equação \( z^3 + 3z^2 + 3z + 1 = 0 \). 
 a) \( z = -1 \) 
 b) \( z = -1, -1 + i, -1 - i \) 
 c) \( z = -1, 0, 1 \) 
 d) \( z = -1, 1, 2 \) 
 **Resposta:** a) \( z = -1 \) 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (z + 1)^3 = 0 \). Portanto, a única 
raiz é \( z = -1 \) com multiplicidade 3. 
 
34. **Problema 34:** Qual é o valor de \( k \) tal que a equação \( z^2 + kz + 4 = 0 \) tenha 
raízes reais e distintas? 
 a) \( k 4 \) 
 c) \( k 0 \). Portanto, \( k^2 > 16 \), resultando em \( k 4 \). 
 
35. **Problema 35:** Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^2 - 2z + 2 = 0 \)? 
 a) \( z = 1 + i \) 
 b) \( z = 1 - i \) 
 c) \( z = -1 + i \) 
 d) \( z = -1 - i \) 
 **Resposta:** a) \( z = 1 + i \) 
 **Explicação:** O discriminante é \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \). Portanto, 
as raízes são \( z = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i \). 
 
36. **Problema 36:** Qual é a raiz quadrada de \( z = -4 \)? 
 a) \( 2i \) 
 b) \( -2i \) 
 c) \( \pm 2i \) 
 d) \( \pm 4i \) 
 **Resposta:** c) \( \pm 2i \) 
 **Explicação:** A raiz quadrada de \( -4 \) pode ser expressa como \( z = 2e^{i(\pi + 
2k\pi)/2} \), onde \( k = 0, 1 \). Portanto, as raízes são \( 2i \) e \( -2i \). 
 
37. **Problema 37:** Determine as raízes da equação \( z^3 - z^2 - z + 1 = 0 \). 
 a) \( z = 1, -1, 0 \) 
 b) \( z = 1, 0, -1 \) 
 c) \( z = 1, -1, 2 \) 
 d) \( z = 1, -1, -2 \) 
 **Resposta:** a) \( z = 1, -1, 0 \) 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (z - 1)(z^2 + 1) = 0 \). Assim, temos 
\( z = 1 \) e \( z^2 + 1 = 0 \), resultando em \( z = i \) e \( z = -i \). 
 
38. **Problema 38:** Se \( z = re^{i\theta} \) é uma raiz da equação \( z^2 + 2z + 2 = 0 \), 
qual é o valor de \( r \) e \( \theta \)? 
 a) \( r = 1, \theta = \frac{5\pi}{4} \) 
 b) \( r = 2, \theta = \frac{7\pi}{4} \) 
 c) \( r = 2, \theta = \frac{3\pi}{4} \) 
 d) \( r = 1, \theta = \frac{3\pi}{4} \) 
 **Resposta:** a) \( r = 1, \theta = \frac{5\pi}{4} \) 
 **Explicação:** O discriminante é \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \). Portanto, as 
raízes são \( z = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i \). 
 
39. **Problema 39:** Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 + 4z + 4 = 0 \)? 
 a) \( -4 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 4 \) 
 d) \( -2 \) 
 **Resposta:** a) \( -4 \) 
 **Explicação:** Usando o Teorema de Viète, a soma das raízes de uma equação 
quadrática \( z^2 + bz + c = 0 \) é dada por \( -b \). Portanto, a soma das raízes é \( -4 \). 
 
40. **Problema 40:** Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^2 - 2z + 5 = 0 \)? 
 a) \( z = 1 + i \) 
 b) \( z = 1 - i \) 
 c) \( z = -1 + i \) 
 d) \( z = -1 - i \) 
 **Resposta:** a) \( z = 1 + i \) 
 **Explicação:** O discriminante é \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 \). 
Portanto, as raízes são \( z = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i \). 
 
41. **Problema 41:** Resolva a equação \( z^3 + 1 = 0 \). 
 a) \( z = -1 \) 
 b) \( z = 1 \) 
 c) \( z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 d) \( z = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 **Resposta:** c) \( z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 **Explicação:** A equação \( z^3 + 1 = 0 \) pode ser fatorada como \( (z + 1)(z^2 - z + 1) = 
0 \). A primeira raiz é \( z = -1 \). As raízes do polinômio quadrático \( z^2 - z + 1 = 0 \) são \( z 
= \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \). 
 
42. **Problema 42:** Determine as raízes da equação \( z^4 - 16 = 0 \). 
 a) \( z = 2, -2, 2i, -2i \) 
 b) \( z = 4, -4, 4i, -4i \) 
 c) \( z = 0, 1, -1, 2 \)