12W equilibrio

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**Resposta:** a) 5 
 **Explicação:** O módulo é dado por \( |z| = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 
\sqrt{25} = 5 \). 
 
19. **Problema 19:** Se \( z = 1 + i \), qual é o valor de \( z^4 \)? 
 a) \( 4 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 0 + 4i \) 
 **Resposta:** a) \( 4 \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^4 = (1 + i)^4 = (1 + 2i - 1)(1 + i) = 2i(1 + i) = 2i - 2 = -2 + 2i 
\). 
 
20. **Problema 20:** Se \( z = 2 - 3i \), qual é o conjugado de \( z^2 \)? 
 a) \( -13 - 12i \) 
 b) \( 13 + 12i \) 
 c) \( 13 - 12i \) 
 d) \( -13 + 12i \) 
 **Resposta:** a) \( -13 - 12i \) 
 **Explicação:** Primeiro, calculamos \( z^2 = (2 - 3i)^2 = 4 - 12i + 9(-1) = -5 - 12i \). O 
conjugado é \( 5 + 12i \). 
 
21. **Problema 21:** Qual é a forma retangular de \( z = 5e^{i\frac{\pi}{3}} \)? 
 a) \( \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} i \) 
 b) \( 5 + 5i \) 
 c) \( 5 + 0i \) 
 d) \( 0 + 5i \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} i \) 
 **Explicação:** A forma retangular é dada por \( re^{i\theta} = r(\cos(\theta) + 
i\sin(\theta)) \). Aqui, \( r = 5 \) e \( \theta = \frac{\pi}{3} \), então \( z = 5(\cos(\frac{\pi}{3}) + 
i\sin(\frac{\pi}{3})) = 5(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} i \). 
 
22. **Problema 22:** Se \( z_1 = 2 + 2i \) e \( z_2 = 2 - 2i \), qual é \( z_1 \cdot z_2 \)? 
 a) \( 8 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 4 + 4i \) 
 d) \( 4 - 4i \) 
 **Resposta:** a) \( 8 \) 
 **Explicação:** O produto é dado por \( z_1 \cdot z_2 = (2 + 2i)(2 - 2i) = 4 - 4i^2 = 4 + 4 = 8 
\). 
 
23. **Problema 23:** Qual é a soma dos números complexos \( z_1 = 1 + i \) e \( z_2 = 2 - i 
\)? 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 3 + 0i \) 
 c) \( 3 + i \) 
 d) \( 0 + i \) 
 **Resposta:** b) \( 3 + 0i \) 
 **Explicação:** A soma é \( z_1 + z_2 = (1 + i) + (2 - i) = (1 + 2) + (1 - 1)i = 3 + 0i \). 
 
24. **Problema 24:** Se \( z = 3 + 4i \), qual é \( z - \overline{z} \)? 
 a) \( 0 + 8i \) 
 b) \( 0 - 8i \) 
 c) \( 6i \) 
 d) \( 8 \) 
 **Resposta:** a) \( 0 + 8i \) 
 **Explicação:** O conjugado de \( z \) é \( \overline{z} = 3 - 4i \). Assim, \( z - \overline{z} = 
(3 + 4i) - (3 - 4i) = 0 + 8i \). 
 
25. **Problema 25:** Qual é o valor de \( z^2 \) se \( z = -1 + i \)? 
 a) \( -1 - 2i \) 
 b) \( -1 + 2i \) 
 c) \( 1 - i \) 
 d) \( 1 + i \) 
 **Resposta:** a) \( -1 - 2i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^2 = (-1 + i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \). 
 
26. **Problema 26:** Qual é a forma polar de \( z = 2 - 2i \)? 
 a) \( 2\sqrt{2} \text{cis} \frac{7\pi}{4} \) 
 b) \( 2\sqrt{2} \text{cis} \frac{5\pi}{4} \) 
 c) \( 2 \text{cis} \frac{3\pi}{4} \) 
 d) \( 2 \text{cis} \frac{7\pi}{4} \) 
 **Resposta:** d) \( 2 \text{cis} \frac{7\pi}{4} \) 
 **Explicação:** O módulo é \( r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) e o 
argumento \( \theta = \tan^{-1}(-1) = \frac{7\pi}{4} \). 
 
27. **Problema 27:** Se \( z = 4 + 3i \), qual é o valor de \( |z|^2 \)? 
 a) 25 
 b) 16 
 c) 12 
 d) 7 
 **Resposta:** a) 25 
 **Explicação:** O valor de \( |z|^2 \) é dado por \( |z|^2 = a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 
25 \). 
 
28. **Problema 28:** Qual é a soma dos conjugados \( \overline{z_1} + \overline{z_2} \) se 
\( z_1 = 1 + i \) e \( z_2 = 2 - i \)? 
 a) \( 3 + 0i \) 
 b) \( 3 + 2i \) 
 c) \( 3 - 2i \) 
 d) \( 1 + 2i \) 
 **Resposta:** a) \( 3 + 0i \) 
 **Explicação:** Os conjugados são \( \overline{z_1} = 1 - i \) e \( \overline{z_2} = 2 + i \). 
Assim, \( \overline{z_1} + \overline{z_2} = (1 - i) + (2 + i) = 3 + 0i \). 
 
29. **Problema 29:** Se \( z = 1 - i \), qual é \( z^3 \)? 
 a) \( -2 - 3i \)