OW calculos booleranos

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b) \( 2\sin(2x) \) 
 c) \( -\sin(2x) \) 
 d) \( 2\cos(2x) \) 
 **Resposta: a) \( -2\sin(2x) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x) \). 
 
28. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 1 \). 
 
29. Determine a integral \( \int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta: b) 2** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = \frac{x^4}{2} - x^3 + 4x \). 
Avaliando de 1 a 2: \( \left[8 - 8 + 8\right] - \left[\frac{1}{2} - 3 + 4\right] = 2 \). 
 
30. Encontre a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \). 
 a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 b) \( 3x^2 \ln(x) + 3x^2 \) 
 c) \( x^2(3\ln(x) + 1) \) 
 d) \( 3x^2 \ln(x) - x^2 \) 
 **Resposta: c) \( x^2(3\ln(x) + 1) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 
3x^2 \ln(x) + x^2 \). 
 
31. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 6 
 **Resposta: c) 3** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{3\sec^2(3x)}{1} = 
3\sec^2(0) = 3 \). 
 
32. Determine a integral \( \int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (x^4 - 4x^3 + 6x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} - x^4 + 2x^3 \). 
Avaliando de 0 a 1: \( \left[\frac{1}{5} - 1 + 2\right] - [0] = 1 - \frac{4}{5} = 1 \). 
 
33. Encontre a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \). 
 a) \( 2xe^{x^2} \) 
 b) \( e^{x^2} \) 
 c) \( x e^{x^2} \) 
 d) \( 2e^{x^2} \) 
 **Resposta: a) \( 2xe^{x^2} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2} \). 
 
34. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) 8 
 **Resposta: c) 4** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{4\cos(4x)}{1} = 
4\cos(0) = 4 \). 
 
35. Determine a integral \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( x^5 - x^3 + 2x + C \) 
 b) \( x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C \) 
 c) \( 5x^5 - 3x + 2 + C \) 
 d) \( x^5 - x^3 + 2 + C \) 
 **Resposta: a) \( x^5 - x^3 + 2x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx = x^5 - x^3 + 2x + C \). 
 
36. Qual é a derivada de \( f(x) = \sec(x) \)? 
 a) \( \sec(x) \tan(x) \) 
 b) \( \sec^2(x) \) 
 c) \( \tan(x) \) 
 d) \( \sec(x)^2 \) 
 **Resposta: a) \( \sec(x) \tan(x) \)** 
 **Explicação:** A derivada de \( \sec(x) \) é \( \sec(x) \tan(x) \). 
 
37. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: d) 3** 
 **Explicação:** O limite é indeterminado \( \frac{0}{0} \). Fatorando: \( \frac{(x-1)(x^2 + x 
+ 1)}{x - 1} = x^2 + x + 1 \). Assim, \( \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 \). 
 
38. Determine a integral \( \int_1^3 (2x + 3) \, dx \). 
 a) 5 
 b) 8 
 c) 10