aulas com legenda ejs

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a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 Resposta: c) 2 
 Explicação: Usando a definição da derivada de \( e^{2x} \) em \( x = 0 \), obtemos o limite 
igual a 2. 
 
69. Qual é a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx \)? 
 a) \( \ln(1) \) 
 b) \( \ln(2) \) 
 c) \( \frac{\pi}{4} \) 
 d) \( \infty \) 
 Resposta: b) \( \ln(2) \) 
 Explicação: A integral de \( \tan(x) \) é \( -\ln(\cos(x)) \), e avaliando de \( 0 \) a \( 
\frac{\pi}{4} \), obtemos \( \ln(2) \). 
 
70. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3} \). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Não é possível determinar 
 Resposta: b) Converge 
 Explicação: Esta é uma série alternada que converge absolutamente, pois os termos \( 
\frac{1}{n^3} \) convergem. 
 
71. Qual é a solução da equação \( y'' + 4y = 0 \)? 
 a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 b) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 c) \( y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x} \) 
 d) \( y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) \) 
 Resposta: b) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 Explicação: A equação diferencial tem raízes complexas, levando à solução em termos 
de funções trigonométricas. 
 
72. Calcule o valor de \( \int_0^1 (1 - x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{2}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 Resposta: c) \( \frac{2}{3} \) 
 Explicação: A integral é calculada como \( \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} 
= \frac{2}{3} \). 
 
73. Qual é a derivada de \( f(x) = \sin^2(x) \)? 
 a) \( 2\sin(x)\cos(x) \) 
 b) \( \sin(2x) \) 
 c) \( \cos^2(x) \) 
 d) \( 2\cos(x) \) 
 Resposta: a) \( 2\sin(x)\cos(x) \) 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de \( \sin(u) \) é \( \cos(u) \cdot u' 
\). 
 
74. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 Resposta: c) 5 
 Explicação: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(5x)}{x} = 5 \). 
 
75. Qual é a solução da equação \( y' + 4y = 3 \)? 
 a) \( y = Ce^{-4x} + \frac{3}{4} \) 
 b) \( y = Ce^{4x} + \frac{3}{4} \) 
 c) \( y = Ce^{-4x} + 3 \) 
 d) \( y = Ce^{4x} + 3 \) 
 Resposta: a) \( y = Ce^{-4x} + \frac{3}{4} \) 
 Explicação: Usamos o método do fator integrante para resolver a equação. 
 
76. Calcule a integral \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 Resposta: a) 0 
 Explicação: O integrando é um polinômio que se anula em \( x = 1 \) e \( x = 0 \), 
resultando em uma integral igual a zero. 
 
77. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)? 
 a) \( 2x e^{x^2} \) 
 b) \( e^{x^2} \) 
 c) \( x e^{x^2} \) 
 d) \( 2 e^{x^2} \) 
 Resposta: a) \( 2x e^{x^2} \) 
 Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada é \( e^{x^2} \cdot 2x \). 
 
78. Calcule o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 Resposta: c) 3 
 Explicação: Usando a definição da derivada de \( e^{3x} \) em \( x = 0 \), obtemos o limite 
igual a 3.