GMM obrigação de casa

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**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = 1 \). 
 
32. Determine a integral \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 A) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 B) \( -\frac{1}{3x^2} + C \) 
 C) \( \frac{1}{2x^2} + C \) 
 D) \( \frac{1}{3x^2} + C \) 
 **Resposta:** B) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( x^{-3} \) é \( -\frac{1}{2}x^{-2} + C \). 
 
33. Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \)? 
 A) \( \frac{\pi^3}{6} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 2 \) 
 D) \( \frac{\pi}{3} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{\pi^3}{6} \) 
 **Explicação:** Esta série converge para \( \frac{\pi^3}{6} \), um resultado conhecido. 
 
34. Encontre o valor de \( \int_0^1 (4x - 1) \, dx \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) \( \frac{1}{2} \) 
 D) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** A integral \( \int (4x - 1) \, dx = 2x^2 - x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 
(2(1)^2 - 1) - (2(0)^2 - 0) = 2 - 1 = 1 \). 
 
35. Qual é a derivada de \( f(x) = x^5 + 3x^2 \)? 
 A) \( 5x^4 + 6x \) 
 B) \( 5x^5 + 6x^2 \) 
 C) \( 5x^4 + 3 \) 
 D) \( 5x^4 + 3x \) 
 **Resposta:** A) \( 5x^4 + 6x \) 
 **Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = 5x^4 + 6x \). 
 
36. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Usando a propriedade \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \), temos \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \). 
 
37. Qual é a integral indefinida \( \int \sin(x) \, dx \)? 
 A) \( -\cos(x) + C \) 
 B) \( \cos(x) + C \) 
 C) \( \sin(x) + C \) 
 D) \( -\sin(x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( -\cos(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) + C \). 
 
38. Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{3} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( \frac{5}{3} \) 
 D) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta:** C) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int (x^2 + 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 \). Avaliando de 0 a 1, 
temos \( \left(\frac{1}{3} + 1\right) - 0 = \frac{4}{3} \). 
 
39. Qual é a equação da reta tangente à função \( y = e^x \) no ponto \( (0, 1) \)? 
 A) \( y = x + 1 \) 
 B) \( y = e^x \) 
 C) \( y = 1 + x \) 
 D) \( y = 1 - x \) 
 **Resposta:** C) \( y = 1 + x \) 
 **Explicação:** A derivada de \( y = e^x \) é \( e^x \). No ponto \( x = 0 \), \( y' = 1 \). 
Usando a fórmula da reta tangente, temos \( y - 1 = 1(x - 0) \), que simplifica para \( y = 1 + x 
\). 
 
40. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) \( \infty \) 
 D) Não existe 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sec^2(x)} = 
0 \). 
 
41. Determine a integral \( \int_0^1 (3x^2 - 2) \, dx \). 
 A) 0 
 B) \( -\frac{1}{3} \) 
 C) \( \frac{1}{3} \) 
 D) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta:** B) 0 
 **Explicação:** A integral \( \int (3x^2 - 2) \, dx = x^3 - 2x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 
(1 - 2) - (0 - 0) = -1 \). 
 
42. Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \)? 
 A) \( \frac{\pi^4}{90} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 2 \) 
 D) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{\pi^4}{90} \)