GPQ obrigação de casa

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21. Qual é o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx \)? 
 A) 0 
 B) 1 
 C) \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \) 
 D) \( 2 \) 
 **Resposta:** C) \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \) 
 **Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \). Avaliando de 0 a \( \frac{\pi}{2} \), 
temos \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \). 
 
22. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) \( e \) 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 
e^0 = 1 \). 
 
23. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 3) \)? 
 A) \( \frac{2x}{x^2 + 3} \) 
 B) \( \frac{1}{x^2 + 3} \) 
 C) \( \frac{1}{2x + 3} \) 
 D) \( \frac{3}{x^2 + 3} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 3} \) 
 **Explicação:** Aplicando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 3} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 3} \). 
 
24. Encontre o valor de \( \int_1^2 (2x + 3) \, dx \). 
 A) 5 
 B) 8 
 C) 10 
 D) 12 
 **Resposta:** B) 8 
 **Explicação:** A integral \( \int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x \). Avaliando de 1 a 2, temos \( 
(2^2 + 3(2)) - (1^2 + 3(1)) = (4 + 6) - (1 + 3) = 10 - 4 = 6 \). 
 
25. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{5x^2 - 4} \)? 
 A) 0 
 B) 1 
 C) \( \frac{2}{5} \) 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta:** C) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x 
\to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{5 - \frac{4}{x^2}} = \frac{2}{5} \). 
 
26. Determine a integral indefinida \( \int \cos(3x) \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \) 
 B) \( \sin(3x) + C \) 
 C) \( \frac{1}{3} \cos(3x) + C \) 
 D) \( 3\sin(3x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \cos(kx) \) é \( \frac{1}{k} \sin(kx) + C \). 
 
27. Qual é a soma da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \)? 
 A) \( e \) 
 B) 1 
 C) \( \frac{1}{2} \) 
 D) 0 
 **Resposta:** A) \( e \) 
 **Explicação:** A série converge para \( e \), que é a soma da série de Taylor de \( e^x \) 
em \( x = 1 \). 
 
28. Encontre a derivada de \( f(x) = \tan(x) \). 
 A) \( \sec^2(x) \) 
 B) \( \sin(x) \) 
 C) \( \cos(x) \) 
 D) \( \sec(x) \) 
 **Resposta:** A) \( \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \). 
 
29. Determine o valor de \( \int_0^1 (3x^2) \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{3} \) 
 B) \( \frac{1}{2} \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{1}{3} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \). Avaliando de 0 a 1, temos \( (1^3) - 
(0^3) = 1 - 0 = 1 \). 
 
30. Qual é a equação da reta tangente à função \( y = x^3 \) no ponto \( (1, 1) \)? 
 A) \( y = 3x - 2 \) 
 B) \( y = 3x - 1 \) 
 C) \( y = x^3 + 1 \) 
 D) \( y = 3x^2 \) 
 **Resposta:** B) \( y = 3x - 2 \) 
 **Explicação:** A derivada de \( y = x^3 \) é \( 3x^2 \). No ponto \( x = 1 \), \( y' = 3 \). 
Usando a fórmula da reta tangente, temos \( y - 1 = 3(x - 1) \), que simplifica para \( y = 3x - 
2 \). 
 
31. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) \( \infty \) 
 D) Não existe 
 **Resposta:** B) 1