FZS perimetro

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b) 2 
 c) \( \infty \) 
 d) 1 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x 
\to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = 2 \). 
 
40. Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x) + \ln(x+1) \). 
 a) \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( \frac{1}{x-1} \) 
 d) \( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da soma das derivadas: \( f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} 
\). 
 
41. Qual é o valor de \( \int_0^1 (2x + 3) \, dx \)? 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 5 
 **Resposta:** d) 5 
 **Explicação:** A primitiva é \( x^2 + 3x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( (1^2 + 3 \cdot 1) - 
(0 + 0) = 4 \). 
 
42. Determine a convergência da integral \( \int_0^1 \frac{1}{x} \, dx \). 
 a) Divergente 
 b) Convergente 
 c) Condicionalmente convergente 
 d) Não pode ser determinado 
 **Resposta:** a) Divergente 
 **Explicação:** A integral diverge pois \( \lim_{x \to 0} \ln(x) \to -\infty \). 
 
43. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\cos(x)} = 
\frac{0}{1} = 0 \). 
 
44. Determine a integral \( \int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{x^3}{3} - x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 0 \). 
 
45. Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(x^2) \)? 
 a) \( -2x \sin(x^2) \) 
 b) \( -\sin(x^2) \) 
 c) \( -2x \cos(x^2) \) 
 d) \( -\cos(x^2) \) 
 **Resposta:** a) \( -2x \sin(x^2) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x \). 
 
46. Determine o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 2 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Fatorando o numerador, temos \( \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} \), que 
simplifica para \( x^2 + x + 1 \). Assim, \( \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 \). 
 
47. Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A primitiva é \( x^3 - 2x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( (1 - 2 + 1) - 0 
= 0 \). 
 
48. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) para \( p = 1 \). 
 a) Divergente 
 b) Convergente 
 c) Condicionalmente convergente 
 d) Não pode ser determinado 
 **Resposta:** a) Divergente 
 **Explicação:** A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) é conhecida como a série 
harmônica, que diverge. 
 
49. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( e \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 
= 1 \). 
 
50. Qual é a integral definida \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \)?