calculadora cientifica 1FK

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C) 4 
D) 6 
**Resposta:** C) 4 
**Explicação:** A primeira derivada \( f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x \). A segunda derivada \( 
f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 \). Avaliando em \( x = 1 \), temos \( 12(1)^2 - 24(1) + 12 = 0 \). 
 
**47.** Determine o valor de \( \int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx \). 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** A integral é \( \int (2x^2 + 3x) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \). 
Avaliando de 0 a 1, temos \( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2}{3} + \frac{9}{6} = \frac{2}{3} + 
\frac{3}{2} = 1 \). 
 
**48.** Qual é a equação da reta tangente à função \( y = x^3 \) no ponto \( (1, 1) \)? 
A) \( y = 3x - 2 \) 
B) \( y = 3x - 3 \) 
C) \( y = x + 1 \) 
D) \( y = 2x + 1 \) 
**Resposta:** A) \( y = 3x - 2 \) 
**Explicação:** A derivada é \( y' = 3x^2 \). Avaliando em \( x = 1 \), temos \( y' = 3(1)^2 = 3 
\). Usando a fórmula da reta tangente, temos \( y - 1 = 3(x - 1) \) resultando em \( y = 3x - 2 
\). 
 
**49.** Determine o valor de \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \). 
A) 0 
B) 2 
C) 4 
D) 3 
**Resposta:** C) 4 
**Explicação:** O limite é indeterminado. Factorando, temos \( \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x 
+ 2 \). Portanto, \( \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \). 
 
**50.** Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 - 1) \)? 
A) \( \frac{2x}{x^2 - 1} \) 
B) \( \frac{1}{x^2 - 1} \) 
C) \( \frac{2}{x} \) 
D) \( \frac{2x^2}{1} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 - 1} \) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 - 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 - 1} \). 
 
**51.** Encontre a integral \( \int_0^1 (x^3 + x^2) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{4} \) 
B) \( \frac{1}{3} \) 
C) \( \frac{1}{5} \) 
D) \( \frac{1}{6} \) 
**Resposta:** B) \( \frac{1}{4} \) 
**Explicação:** A integral é \( \int (x^3 + x^2) \, dx = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 \). 
Avaliando de 0 a 1, temos \( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{3}{12} = \frac{3 + 
4}{12} = \frac{7}{12} \). 
 
**52.** Determine a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x) \). 
A) \( \frac{1}{1+x^2} \) 
B) \( \frac{x}{1+x^2} \) 
C) \( \frac{1}{x} \) 
D) \( \frac{x^2}{1} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{1+x^2} \) 
**Explicação:** A derivada da função \( \tan^{-1}(x) \) é dada por \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \). 
 
**53.** Qual é a equação da reta que passa pelos pontos \( (0, 1) \) e \( (2, 3) \)? 
A) \( y = 2x + 1 \) 
B) \( y = x + 1 \) 
C) \( y = x + 2 \) 
D) \( y = 2x - 1 \) 
**Resposta:** B) \( y = x + 1 \) 
**Explicação:** O coeficiente angular \( m \) é \( \frac{3 - 1}{2 - 0} = 1 \). Usando a forma \( 
y - y_1 = m(x - x_1) \), temos \( y - 1 = 1(x - 0) \Rightarrow y = x + 1 \). 
 
**54.** Determine o valor de \( \int_0^1 (4x^2 - 2x + 3) \, dx \). 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
**Resposta:** C) 3 
**Explicação:** A integral é \( \int (4x^2 - 2x + 3) \, dx = \frac{4}{3}x^3 - x^2 + 3x \). 
Avaliando de 0 a 1, temos \( [\frac{4}{3} - 1 + 3] - [0] = \frac{4}{3} - 1 + 3 = \frac{4}{3} + 
\frac{5}{3} = 3 \). 
 
**55.** Qual é a integral \( \int e^{x} \cos(x) \, dx \)? 
A) \( \frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
B) \( e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
C) \( e^{x} \sin(x) + C \) 
D) \( e^{x} \cos(x) + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
**Explicação:** Usando integração por partes, obtemos a integral como \( \frac{1}{2} e^{x} 
(\sin(x) + \cos(x)) + C \). 
 
**56.** Determine a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \). 
A) \( 2x \ln(x) + x \) 
B) \( \ln(x) \) 
C) \( 2x \) 
D) \( x^2 \) 
**Resposta:** A) \( 2x \ln(x) + x \)