a linguagem das contas e livros MCCXXIV

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Resposta: a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de \( f(x) = (x^2 + 1)^{1/2} \) é \( 
\frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
73. O que é uma função periódica? 
 a) Uma função que é contínua 
 b) Uma função que se repete em intervalos regulares 
 c) Uma função que não tem limites 
 d) Uma função que é derivável 
 Resposta: b) Uma função que se repete em intervalos regulares 
 Explicação: Uma função \( f(x) \) é chamada de periódica se existe um número \( T > 0 \) 
tal que \( f(x + T) = f(x) \) para todo \( x \). Isso significa que a função oscila em um padrão 
regular. 
 
74. Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x) \, dx \)? 
 a) 1 
 b) \(\frac{5}{4}\) 
 c) \(\frac{3}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 Resposta: b) \(\frac{5}{4}\) 
 Explicação: A integral se torna \( \left[ \frac{x^4}{4} + x^2 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + 1 
\right) - 0 = \frac{5}{4} \). 
 
75. O que é um ponto de inflexão? 
 a) Um ponto onde a função atinge seu máximo 
 b) Um ponto onde a função muda de concavidade 
 c) Um ponto onde a função é contínua 
 d) Um ponto onde a função é periódica 
 Resposta: b) Um ponto onde a função muda de concavidade 
 Explicação: Um ponto de inflexão de uma função \( f(x) \) é um ponto onde a 
concavidade da função muda, ou seja, \( f''(x) \) muda de sinal. Isso indica uma mudança 
na forma da curva. 
 
76. Qual é a derivada da função \( f(x) = \sin(x^2) \)? 
 a) \( \cos(x^2) \cdot 2x \) 
 b) \( \sin(x^2) \cdot 2x \) 
 c) \( 2\cos(x) \) 
 d) \( \cos(x) \cdot 2 \) 
 Resposta: a) \( \cos(x^2) \cdot 2x \) 
 Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de \( f(x) = \sin(g(x)) \) onde \( g(x) = x^2 
\) é \( f'(x) = \cos(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x \). 
 
77. Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3}{5x^3 + 2} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{2}{5}\) 
 d) \(\frac{5}{2}\) 
 Resposta: c) \(\frac{2}{5}\) 
 Explicação: Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^3 \), temos \( \lim_{x \to 
\infty} \frac{2 + \frac{3}{x^3}}{5 + \frac{2}{x^3}} = \frac{2 + 0}{5 + 0} = \frac{2}{5} \). 
 
78. O que é o teorema de Bolzano-Weierstrass? 
 a) A continuidade de funções 
 b) A existência de limites 
 c) A convergência de sequências 
 d) A compactação de conjuntos fechados e limitados 
 Resposta: d) A compactação de conjuntos fechados e limitados 
 Explicação: O teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que toda sequência em um 
conjunto compacto tem uma subsequência que converge para um ponto dentro do 
conjunto. Isso é fundamental na análise real e complexa, pois garante que funções e 
sequências possuem limites em espaços compactos. 
 
79. Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (4x^2 + 3) \, dx \)? 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) \(\frac{10}{3}\) 
 Resposta: d) \(\frac{10}{3}\) 
 Explicação: A integral se torna \( \left[ \frac{4x^3}{3} + 3x \right]_0^1 = \left( \frac{4}{3} + 3 
\right) - 0 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3} \). 
 
80. O que é uma função exata? 
 a) Uma função que é contínua 
 b) Uma função que pode ser representada por uma equação diferencial 
 c) Uma função que possui uma forma de \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \) 
 d) Uma função que é periódica 
 Resposta: c) Uma função que possui uma forma de \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \) 
 Explicação: Uma função é chamada de exata se a equação diferencial pode ser expressa 
na forma \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \), onde \( M_y = N_x \). Isso significa que a equação 
pode ser resolvida por integração direta. 
 
81. Qual é a derivada da função \( f(x) = \ln(x) \)? 
 a) \( \frac{1}{x} \) 
 b) \( x \) 
 c) \( \ln(x) \) 
 d) \( \frac{1}{x^2} \) 
 Resposta: a) \( \frac{1}{x} \) 
 Explicação: A derivada de \( \ln(x) \) é uma das mais conhecidas e resulta em \( \frac{1}{x} 
\) para \( x > 0 \). 
 
82. Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) e 
 d) Infinito 
 Resposta: c) e 
 Explicação: Este limite é uma das definições da constante \( e \). A expressão \( \left(1 + 
\frac{1}{x}\right)^{x} \) se aproxima de \( e \) conforme \( x \) aumenta.