Métodos para Encontrar Raízes de Funções

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Docente: Luiz Carlos Pitzer
Unidade 2
Unidade 2 – Tópico 1
Zeros das Funções
CONHECIMENTOS BÁSICOS
É comum em funções e equações, a busca por suas raízes.
Em funções, são os valores que quando aplicados, resultam em zero.
Graficamente, são os valores que cortam o eixo das abscissas.
Para alguns tipos de funções não é tão fácil encontrarmos esses valores
CONHECIMENTOS BÁSICOS
TEOREMA: Seja uma função contínua em uma intervalo . Se , então existe pelo menos um ponto entre e que é zero da função.
CONHECIMENTOS BÁSICOS
CONHECIMENTOS BÁSICOS
EXEMPLO:
Seja a função definida por 1 encontre por inspeção, uma aproximação de uma de suas raízes.
Unidade 2 – Tópico 1
Zeros das Funções:
Método da Bisseção
MÉTODO DA BISSEÇÃO
Seja uma função contínua em uma intervalo . Se , então existe pelo menos um ponto entre e que é zero da função.
Método da Bisseção consiste em dividir o intervalo ao meio sistematicamente até que, para um dado , o critério de parada seja satisfeito.
O que pode acontecer?
Podemos encontrar a solução!
Podemos encontrar um aproximação da raiz por cima ou por baixo.
MÉTODO DA BISSEÇÃO
MÉTODO DA BISSEÇÃO
Como isso, sabemos que há pelo menos uma raiz no intervalo Vamos determinar uma aproximação com precisão de .
Consideremos a função real , e vamos estudar o seu sinal em alguns pontos:
EXEMPLO:
Passo :
10
MÉTODO DA BISSEÇÃO
Passo :
11
MÉTODO DA BISSEÇÃO
Passo :
12
MÉTODO DA BISSEÇÃO
Passo :
13
MÉTODO DA BISSEÇÃO
14
Unidade 2 – Tópico 1
Zeros das Funções:
Método das Cordas
MÉTODO DAS CORDAS
Seja uma função contínua em uma intervalo . Se , então existe pelo menos um ponto entre e que é zero da função.
Método das Cordas consiste em utilizar uma reta (corda) que passe pelos pontos e . O ponto onde esta reta cortar o eixo das abscissas será nossa primeira aproximação para a raiz.
O que pode acontecer?
Podemos encontrar a solução!
Podemos encontrar um aproximação da raiz por cima ou por baixo
MÉTODO DAS CORDAS
MÉTODO DAS CORDAS
Como isso, sabemos que há pelo menos uma raiz no intervalo Vamos determinar uma aproximação com precisão de .
Consideremos a função real , e vamos estudar o seu sinal em alguns pontos:
EXEMPLO:
18
MÉTODO DAS CORDAS
Passo :
19
MÉTODO DAS CORDAS
Passo :
20
MÉTODO DAS CORDAS
Passo :
21
MÉTODO DAS CORDAS
								Erro
		-	-	-				-
								
								
22
Unidade 1 – Tópico 4
Sistemas Lineares:
Métodos Iterativos
SISTEMAS LINEARES COMPLEXOS
Seja um sistema linear complexo, em que existem matrizes reais e tais que:
SISTEMAS LINEARES COMPLEXOS
Exemplo:
25
Unidade 2 – Tópico 1
Zeros das Funções:
Método de Newton
MÉTODO DE NEWTON
A base para este método é uma reta tangente a curva da expressão dada. 
Com esta reta, observasse o ponto em que ela corta o eixo das abscissas.
Este ponto após aplicado algumas vezes, aproximasse da raiz.
Método de Newton utiliza de derivadas.
Lembra um pouco o Método de Cordas.
MÉTODO DE NEWTON
Converge ou Diverge?
MÉTODO DE NEWTON
Como todo método de obtenção de zeros de funções, precisamos partir de um valor para dar início ao processo. 
Como garantir então que, escolhido escolhido, converge para a raiz?
Vamos aos critérios:
Se e forem não nulas, preservarem o sinal no intervalo ; 
O valor escolhido compreendido no intervalo , proporcionar que .
29
MÉTODO DE NEWTON
Vamos analisar a convergência, primeiramente vamos verificar a escolha do :
Exemplo: Seja a função real , que sabemos possuir uma única raiz no intervalo [1; 1,5]. Use erro relativo de , para a aproximação da raiz.
30
MÉTODO DE NEWTON
Agora, verificaremos o sinal das derivadas de primeira e segunda ordem:
31
MÉTODO DE NEWTON
Vamos as iterações:
Passo 
32
MÉTODO DE NEWTON
Vamos as iterações:
Passo 
33
Unidade 2 – Tópico 1
Zeros das Funções:
Método das Secantes
MÉTODO DAS SECANTES
O método da Secante nada mais é do que um aprimoramento do método de Newton.
Em cada iteração , trocamos do processo de iteração pelo quociente:
Desvantagem deste método em relação ao método de Newton é que, na primeira iteração, teremos que fornecer o valor dos pontos e .
MÉTODO DAS SECANTES
Da mesma forma que escolhemos o para o exemplo do método de Newton, faremos para este.
Porém, temos a necessidade de escolher mais um ponto, que, satisfaça a condição 
Um possível valor é .
Exemplo: Seja a função real , que sabemos possuir uma única raiz no intervalo [1; 1,5]. Use erro relativo de , para a aproximação da raiz.
36
MÉTODO DAS SECANTES
Vamos as iterações:
Passo 
 e 
37
MÉTODO DAS SECANTES
Vamos as iterações:
Passo 
 e 
38
Unidade 2 – Tópico 1
Zeros das Funções:
Método da Iteração Linear
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
Inicialmente, é necessário encontrar uma função tal que utilizando para isso a igualdade .
Exemplo:
Determinar na função , com uma aproximação relativa de , sabendo que há uma raiz no intervalo de .
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
Primeira Candidata
Segunda Candidata
Terceira Candidata
Quarta e Quinta Candidata
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
A função é chamada de função de iteração.
Qualquer valor que satisfaça é chamado de ponto fixo de .
Sabemos que tal ponto fixo pertence ao intervalo , o que no nosso problema está .
Qual das utilizaremos?
Para a escolha correta, temos que encontrar aquela que seja contínua no intervalo e , para todo .
42
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
Note que é uma função polinomial, logo contínua.
Primeira Candidata
Não há uma raiz no intervalo de 
43
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
Note que é uma função contínua.
Há uma raiz no intervalo de 
Segunda Candidata
ou
ou
44
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
Passo : Vamos começar supondo . Então:
Segunda Candidata
Passo : Vamos usar . Então:
45
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
Passo : Vamos usar . Então:
Segunda Candidata
Passo : Vamos usar . Então:
46
Unidade 2 – Tópico 2
Sistemas de Equações não Lineares:
Método da Iteração Linear
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
O método inicial é semelhante ao utilizado em raízes de funções.
Exemplo: Consideremos o sistema não linear
o sistema tem uma raiz próxima ao ponto .
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
Inicialmente, precisamos encontrar as funções contínuas e que farão o papel de nossas funções de iteração.
Verificaremos agora, três condições para podermos aplicar o método
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
As derivadas parciais de primeira ordem das funções e devem ser contínuas próximas à solução do sistema. 
Derivas Parciais de Primeira Ordem
Observe que todas as derivadas parciais são contínuas. Logo, a condição é satisfeita.
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
 Para todo ponto próximo à solução, temos que: 
A condição é satisfeita.
Vamos testar para o ponto 
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
 O ponto inicial precisa estar próximo da solução do sistema: 
A condição é satisfeita.
Ponto 
MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR
Procedimento das iterações é semelhante ao método da iteração linear para raiz de equações.
Para o passo com o ponto .
Unidade 2 – Tópico 2
Sistemas de Equações não Lineares:
Método de Newton
MÉTODO DE NEWTON
O método transforma um sistema não linear em um linear
Base deste método, é a expansão das expressões envolvidas, na série de Taylor em torno do ponto .	
MÉTODO DE NEWTON
MÉTODO DE NEWTON
MÉTODO DE NEWTON
As condições para podermos aplicar o método de Newton sobre um sistema não linear é que suas derivadas parciais sejam contínuas até segunda ordem e limitadas próximas à solução do sistema. 
Além disso,
para todo próximo da raíz.
MÉTODO DE NEWTON
EXEMPLO: Encontraremos uma aproximação para a solução do sistema
utilizando uma precisão de e que possui uma solução próxima de .
MÉTODO DE NEWTON
MÉTODO DE NEWTON
Calculemos o erro relativo de ambas variáveis para saber se devemos parar ou prosseguir com o processo de iteração.
Continuar com as iterações...
Unidade 2 – Tópico 2
Equações não Lineares Complexas:
Método de Newton
MÉTODO DE NEWTON
O método que veremos a seguir, possibilita a resolução de uma equação não linear com coeficientes complexos.
O método é semelhante ao utilizado em equações não lineares nos reais.
Consideremos uma função não linear complexa f(z) = 0, contínua com derivada primeira contínua. Aplicando o método de Newton nesta função, da mesma forma que em uma equação não linear real, teríamos:
MÉTODO DE NEWTON
Como a função é complexa, temos que para cada complexo, existem , reais tais que , e podemos reescrever como:
onde e são funções de duas variáveis reais, contínuas, com derivadas parciais de primeira ordem também contínuas. 
Também existe um resultado da Análise Complexa que nos garante que:
MÉTODO DE NEWTON
MÉTODO DE NEWTON
O método de Newton deve ser aplicado sempre que a função complexa não for um polinômio.
Unidade 2 – Tópico 3
Equações Polinomiais:
Método de Newton
MÉTODO DE NEWTON
O método que veremos a seguir, é uma junção do método de Newton para raízes de equações ou funções, porém, a derivada da função é substituída pelo Algoritmo de Briot-Ruffini-Horner.
O dispositivo do Algoritmo de Briot-Ruffini-Horner, permite em função polinomial, encontrar o valor numérico da função e suas derivadas em um certo ponto.
Do ponto de vista computacional, é muito relevante proceder desta forma. O ganho é muito significativo!
MÉTODO DE NEWTON
EXEMPLO: Procuremos a raiz do polinômio:
com precisão sabendo que há uma raiz próxima do .
O primeiro passo é aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner. 
MÉTODO DE NEWTON
						
						
						
						
						
						
MÉTODO DE NEWTON
						
						
						
						
						
						
MÉTODO DE NEWTON
						
						
						
						
						
						
MÉTODO DE NEWTON
						
						
						
						
						
						
MÉTODO DE NEWTON
						
						
						
						
						
						
MÉTODO DE NEWTON
						
						
						
						
						
						
MÉTODO DE NEWTON
						
						
						
						
						
						
MÉTODO DE NEWTON
						
						
						
						
						
						
MÉTODO DE NEWTON
						
						
						
						
						
						
MÉTODO DE NEWTON
						
						
						
						
						
						
MÉTODO DE NEWTON
						
						
						
						
						
						
MÉTODO DE NEWTON
ERRO RELATIVO
MÉTODO DE NEWTON
		1	-2	3	-4	1
		1	-0,3125	2,4727	0,1727	1,2914
		1	1,375	4,793	8,2609	
ERRO RELATIVO
MÉTODO DE NEWTON
	1,5312	1	-2	3	-4	1
		1	-0,4688	2,2822	-0,5055	0,226
		1	1,0624	3,9089	5,4798	
ERRO RELATIVO
MÉTODO DE NEWTON
	1,49	1	-2	3	-4	1
		1	-0,51	2,2401	-0,6623	0,0132
		1	0,98	3,7003	4,8511	
ERRO RELATIVO
	1,4873	1	-2	3	-4	1
		1	-0,5127	2,2375	-0,6722	0,0002
		1	0,9746	3,687	4,8115	
ERRO RELATIVO
Unidade 2 – Tópico 3
Equações Polinomiais:
Algoritmo Quociente - Diferença
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
Não precisamos procurar um intervalo que contenha a raiz do polinômio.
Ele é tão eficiente que nos permite obter aproximações para TODAS as raízes do polinômio SIMULTANEAMENTE.
Esse método foi desenvolvido por Heinz Rutishauser que foi um matemático suíço e é conhecido como Algoritmo Quociente-Diferença ou Algoritmo Q-D.
Só pode ser aplicado para polinômios cujos coeficientes sejam todos não nulos.
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
EXEMPLO: Procuremos as raízes do polinômio:
Como o polinômio é de grau 3 teremos:
Quatro colunas 
Três colunas 
Que devem tender a zero na operação
Que devem apresentar as três raízes
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
							
							
							
							
							
							
							
							
							
							
							
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5					
							
							
							
							
							
							
							
							
							
							
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
							
							
							
							
							
							
							
							
							
							
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
							
							
							
							
							
							
							
							
							
							
SEMPRE
zero
SEMPRE
zero
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0						0
							
							
							
							
							
							
							
							
							
SEMPRE
zero
SEMPRE
zero
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667				0
							
							
							
							
							
							
							
							
							
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667				0
							
							
							
							
							
							
							
							
							
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
							
							
							
							
							
							
							
							
							
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
							
							
							
							
							
							
							
							
							
Ordem bem definida
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
		-2,167					
							
							
							
							
							
							
							
							
Ordem bem definida
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
		-2,167		0,167		0,5	
							
							
							
							
							
							
							
							
Ordem bem definida
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
		-2,167		0,167		0,5	
							
							
							
							
							
							
							
							
SEMPRE
zero
SEMPRE
zero
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
		-2,167		0,167		0,5	
	0						0
							
							
							
							
							
							
							
Ordem bem definida
SEMPRE
zero
SEMPRE
zero
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
		-2,167		0,167		0,5	
	0		0,051				0
							
							
							
							
							
							
							
Ordem bem definida
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
		-2,167		0,167		0,5	
	0		0,051		-1,497		0
							
							
							
							
							
							
							
Ordem bem definida
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
		-2,167		0,167		0,5	
	0		0,051		-1,497		0
							
							
							
							
							
							
							
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
		-2,167		0,167		0,5	
	0		0,051		-1,497		0
		-2,116		-1,381		1,997	
							
							
							
							
							
							
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
		-2,167		0,167		0,5	
	0		0,051		-1,497		0
		-2,116		-1,381		1,997	
							
							
							
							
							
							
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
		-2,167		0,167		0,5	
	0		0,051		-1,497		0
		-2,116		-1,381		1,997	
	0		0,033		2,165		0
							
							
							
							
							
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
							
		-1,5		0		0	
	0		-0,667		-0,5		0
		-2,167		0,167		0,5	
	0		0,051		-1,497		0
		-2,116		-1,381		1,997	
	0		0,033		2,165		0
		-2,083		0,751		-0,168	
	0		-0,012		-0,484		0
		-2,095		0,279		0,316	
	0		0,002		-0,548		0
		-2,093		-0,271		0,864	
							
		-2,095		0,279		0,316	
	0		0,002		-0,548		0
		-2,093		-0,271		0,864	
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
Primeiramente, vamos determinar dois coeficientes:
ALGORITMO QUOCIENTE-DIFERENÇA
Encontrados os valores de e , basta substituir e resolver a equação
Unidade 2 – Tópico 4
Interpolação
Polinomial de Lagrange
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE
A necessidade de obter um valor intermediário que não consta de uma tabela ocorre comumente
 Dado um conjunto de dados tal como na tabela abaixo:
Como obter o valor de para um valor de que não tenha sido medido, como ?
0,057 
0,044 
0,022 
0,013 
0,002 
6,0
4,2
2,9
1,4
0,2
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE
A interpolação consiste em determinar uma função, que assume valores conhecidos em certos pontos;
Por serem fáceis de trabalhar, usaremos as funções polinomiais para interpolar;
A vantagem de fazer essa substituição é que, muitas vezes, não conhecemos a função que descreve um fenômeno, ou ela tem um comportamento que não nos permite calcular sua derivada ou sua integral;
TEOREMA DE WEIRSTRASS existe alguma função polinomial esteja tão próximo de quanto se queira;
Outro fato interessante é que esse polinômio, uma vez construído, é único!
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE
EXEMPLO: Considere a tabela a seguir:
Usaremos o método da interpolação polinomial de Lagrange.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE
					
					
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE
					
					
Estimar uma valor para 
Unidade 2 – Tópico 4
Interpolação
Polinomial de Newton
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
A Interpolação de Lagrange é mais eficiente que simplesmente resolver o sistema linear que surge quando igualamos a forma geral do polinômio interpolador com o valor de nos pontos.
O método de Lagrange também tem um inconveniente.
Se, por alguma razão, descobrirmos o valor de para mais um ponto e quisermos adicioná-lo na obtenção do polinômio interpolador, teremos que repetir todo o processo.
A ideia é utilizar da definição de derivada para encontrar o operador diferença dividida finita (DDF). 
EXEMPLO: Considere a tabela a seguir:
Usaremos o método da interpolação polinomial de Newton.
					
					
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
Vamos agora definir o operador diferença dividida finita (DDF)
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
		Ordem 0			
					
					
					
					
					
					
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
		Ordem 0	Ordem 1		
					
					
					
					
		Ordem 0	Ordem 1		
					
					
					
					
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
		Ordem 0	Ordem 1		
					
					
					
					
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
		Ordem 0	Ordem 1	Ordem2	
					
					
					
					
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
		Ordem 0	Ordem 1	Ordem2	
					
					
					
					
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
		Ordem 0	Ordem 1	Ordem 2	Ordem 3
					
					
					
					
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
		Ordem 0	Ordem 1	Ordem 2	Ordem 3
					
					
					
					
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
		Ordem 0	Ordem 1	Ordem 2	Ordem 3
					
					
					
					
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE NEWTON
 
 
Unidade 2 – Tópico 4
Interpolação Linear
INTERPOLAÇÃO LINEAR
A interpolação linear é bem eficiente, quando queremos determinar apenas um ponto ausente em uma série de dados.
Utilizamos apenas os pontos vizinhos ao procurado, encontramos um polinômio de grau 1, ou seja, uma reta.
Um polinômio de grau 1, tem a característica representada por
EXEMPLO: Considere a tabela a seguir:
Usaremos o método da interpolação linear para determinar o valor de quando .
					
					
INTERPOLAÇÃO LINEAR
Perceba inicialmente que , está entre o e o 
Usaremos portanto:
INTERPOLAÇÃO LINEAR
 
Usando , obtemos:
Para 
Para 
INTERPOLAÇÃO LINEAR
Usando , obtemos:
					
					
Unidade 2 – Tópico 4
Interpolação Inversa
INTERPOLAÇÃO INVERSA
A interpolação inversa tem como finaliza, criar um polinômio, que realize o processo inverso.
É comum termos um conjunto de dados e queremos determinar um valor ausente entre ele:
A ideia agora, é escolher um valor ausente na para encontrar sua correspondência no .
					
					
INTERPOLAÇÃO INVERSA
Poderíamos solucionar esse tipo de problema, igualando o polinômio a um certo valor . Porém, podem surgir dois problemas:
Existir valores distintos que satisfazem essa equação; 
Se o grau do polinômio for superior a 2, não temos uma fórmula ou método de fácil aplicação para determinar esses valores.
INTERPOLAÇÃO INVERSA
Problema:
Nem toda a função admite inversa;
Por isso, a função deve ser monótona, estritamente crescente ou estritamente decrescente.
ou 
O polinômio interpolador para pode ser qualquer um dos métodos já vistos
EXEMPLO: Considere a tabela a seguir:
Usaremos algum método da interpolação, determinar o valor de quando .
					
					
INTERPOLAÇÃO INVERSA
					
					
crescendo
decrescendo
EXEMPLO: Considere a tabela a seguir:
Em que ano a quantidade de habitantes de Belém alcançou a marca de 1.350.000.
INTERPOLAÇÃO INVERSA
crescendo
aleatório
	Habitantes			
				
					
	Habitantes				
Canais de contato:
0800 642 5000 Ambiente Virtual de Aprendizagem DaVinci Talk Professor de Plantão
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