Binomial e Poisson

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Distribuição Binomial
Trata-se de um modelo que dá a probabilidade do número de sucessos quando são realizadas n provas do mesmo tipo – o experimento é repetido n vezes. Cada experimento admite dois resultados (sucesso ou fracasso), com probabilidade p de sucesso e 1- p = q de fracasso, constantes em cada uma das provas. 
Experimentos com resultados múltiplos podem ser tratados como binomiais, quando se consideram apenas dois resultados. Por exemplo: jogar um dado e verificar o resultado da face que se apoia na superfície não é uma prova binomial, porém, se considerarmos sucesso sair a face 6, teremos um experimento adequado ao modelo binomial.
Exemplos de experimentos binomiais.
Respostas de um teste como diversas questões do tipo V ou F;
Escolher entre um produto bom ou defeituoso;
Sexo das crianças nascidas em determinada maternidade;
Atirar em um alvo, atingindo-o ou não;
Fumantes ou não fumantes em um grupo de adultos;
Alunos de uma escola vacinados ou não vacinados.
Para utilizarmos a distribuição binomial, as seguintes hipóteses devem ser atendidas:
São realizadas n provas do mesmo tipo (idênticas);
Cada prova admite dois resultados possíveis, um chamado sucesso e o outro fracasso;
As probabilidades p, de sucesso, e 1 – p = q, de fracasso, permanecem constantes em todas as provas;
Os resultados das provas são independentes.
Distribuição Binomial
A fórmula do cálculo da probabilidade de certo número y de sucessos em n provas é dada por:
Distribuição Binomial
em que:
n = número de provas ou repetições do experimento;
x = número de sucessos;
n-x = número de fracassos; 
p = a probabilidade de sucesso em cada prova;
q = 1-p é a probabilidade de fracasso em cada prova;
Média ou valor esperado: 
Variância: 
Desvio-padrão: 
Exemplo
A companhia farmacêutica pedacinho de remédio recebe grandes carregamentos de comprimidos de aspirina e usa este planejamento de amostragem de aceitação. Seleciona aleatoriamente e testa 24 comprimidos e aceita o lote todo se houver apenas um ou nenhum que não corresponda às especificações exigidas. Se um carregamento particular de milhares de comprimidos de aspirina tem, na verdade, uma taxa de 4% de defeituosos, qual é a probabilidade de que o carregamento seja aceito? 
Exemplo
Cerca de 75% de todas as câmeras vendidas na empresa Etílica Câmera e Vídeo são digitais. As restantes 25% são câmeras tradicionais de filme. Suponha que 10 clientes que estejam comprando câmeras nessa loja sejam selecionadas aleatoriamente. Ache a probabilidade de que, pelo menos, 7 clientes comprem câmeras digitais.
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos:
Chamadas telefônicas por unidade de tempo;
Defeitos por unidade de área;
Acidentes por unidade de tempo;
Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo;
Número de glóbulos sanguíneos visíveis ao microscópio por unidade de área;
Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.
Seja X uma variável aleatória igual ao número de ocorrências (sucessos). Quando se realizam (ou se observam) resultados de fenômenos semelhantes aos dos exemplos anteriores, X poderá assumir os valores: 0,1,2,...
Ao aplicar o modelo de Poisson, o interesse poderá ser, por exemplo, calcular a probabilidade de receber cinco chamadas telefônicas, em três minutos, em dado aparelho, P(X = 5; 3 min)
Hipóteses do modelo de Poisson
A probabilidade de uma ocorrência em um intervalo (ou ou ...) é constante e proporcional ao tamanho do intervalo. Isto é: P(X = 1, ) = ;
A probabilidade de mais de uma ocorrência em um intervalo , (ou ou ...) é igual a zero. Isto é P(X > 1, ) = 0;
O número de ocorrências constitui variáveis aleatórias independentes.
A expressão que dá a probabilidade de x sucessos em um intervalo t(tempo, área, ...) é:
Em que:
 = coeficiente de proporcionalidade, ou taxa de frequência por unidade de tempo, área;
t = tempo, área;
e = base dos logaritmos naturais (2,71828);
x = número de ocorrências (sucesso);
Considerando que a média µ = t, temos: 
A variância da distribuição é dada por t, ou seja, = t.
Exemplo
O pessoal de inspeção de qualidade afirma que os rolos de fita isolante apresentam, em média, uma emenda a cada 50 metros. Admitindo que a distribuição dos número de emendas é dada pela Poisson, vamos calcular as probabilidades:
de nenhuma emenda em um rolo de 125 metros.
µ = t 1 = 50 = 1/50
Para t = 125m temos: t = 1/50 x 125 = 2,5.
Então, P(X = 0; 125m) = = 0,0821 ou 8,21%
b) de ocorrerem no máximo duas emendas em um rolo de 125 metros.
do item anterior, temos: = 1/50, logo, t = 2,5.
P(X ≤ 2, 125m) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,0821 + + 
 
 P(X ≤ 2, 125m) = 0,0821 + 0,2053 + 0,2566 = 0,5440 ou 54,40%
c) de ocorrer pelo menos uma emenda em um rolo de 100 metros.
temos: = 1/50, logo, t = 1/50 x 100 = 2.
P(X ≥ 1, 100m) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + .... = 1 – P(0)
P(X ≥ 1, 100m) = 1 - = 1- = 0,8647 ou 86,47%
Referências Bibliográficas
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