sld_3 Tópicos de Matemática

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Prof. Me. Adilson Simões
UNIDADE III
Tópicos de Matemática
Potenciação
Potenciação é uma operação matemática definida por:
Função exponencial
Propriedades das potenciações
Função exponencial
Equações exponenciais
 São equações em que a incógnita se encontra no expoente. Existem diversos métodos para 
resolução de uma equação exponencial.
Método de comparação
 Esse método é aplicável no caso em que os dois membros das 
equações são redutíveis à mesma base. 
Função exponencial
Exemplo: Determine o valor de 𝑥 na equação.
Comparando:
Função exponencial
 Método de substituição de variável
 Esse método substitui de forma conveniente a variável para determinação da incógnita.
 Exemplo: Determine o valor de 𝑥 na equação.
22𝑥 − 9 . 2𝑥 + 8 = 0
(2𝑥)2 − 9 . 2𝑥 + 8 = 0
Substituindo 2𝑥 = 𝑦, temos:
Função exponencial
Função exponencial
 Uma função exponencial, em sua forma mais simples, é a função 𝑓:ℝ→ℝ+, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, 
em que 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1.
 O gráfico de uma função exponencial resulta numa curva contínua e tem comportamento 
assintótico junto ao eixo das abcissas.
 Para se obter o gráfico, deve-se arbitrar valores para a variável independente (𝑥) e calcular 
seu par substituindo na função 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
Função exponencial
Exemplo: Esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥.
Atribuindo valores para 𝑥, temos: 
Função exponencial
Assim, temos o gráfico:
𝑠𝑠
Função exponencial
1 2 3 
8
4
2 
A curva da função exponencial 𝑓(𝑥) não atinge o eixo das abcissas, nem tem como resultado 
um valor negativo.
A função tem um comportamento:
 Crescente para base 𝑎 > 1
 Decrescente para base 0 0
 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1
Observação: no caso de se trabalhar com um logaritmo de base 
10, o valor da base é normalmente omitido, dessa forma 
log 𝑛 = log10𝑛.
Função logarítmica
Exemplos: Calcule os logaritmos aplicando a definição.
Função logarítmica
Propriedades dos logaritmos
 log𝑎 (𝑏 ∙ 𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎𝑐
 log𝑎 𝑏
𝑛 = 𝑛 ∙ log𝑎𝑏
Função logarítmica
Consequências das propriedades
 log𝑎 𝑎 = 1
 log𝑎 1 = 0
Observação: o logaritmo definido como Natural utiliza como base 
o número irracional “𝑒” (Número de Euler), cujo valor aproximado 
é 2,7182 e nesse caso sua representação será log𝑒 𝑎 = ln 𝑎. 
Função logarítmica
Os logaritmos de base 10 são obtidos de forma tabelada e são ferramentas muito úteis na 
resolução de problemas envolvendo logaritmos. Assim, temos:
Função logarítmica
Exemplos:
Função logarítmica
Função logarítmica
Equações logarítmicas
 Equações logarítmicas são igualdades cujas incógnitas aparecem no logaritmando e/ou 
na base de um logaritmo. Nessas equações, após obtidos os valores da incógnita, devem 
ser verificadas as condições de existência dos logaritmos para se determinar o conjunto-
solução da equação.
 Exemplo: Determine o conjunto-solução das equações logarítmicas.
1) log5 (𝑥2 − 4𝑥 − 5) = log5 (2𝑥 − 5)
Função logarítmica
Condições de existência
𝑥2 − 4𝑥 − 5 > 0 𝐶.𝐸: 𝑥 5 
𝑥′ = −1
𝑥′′ = 5
Função logarítmica
-1 5
Comparando, temos:
𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 2𝑥 − 5
𝑥2 − 6𝑥 = 0
𝑥′ = 0
𝑥′′ = 6
Verificando as condições de existência, temos 𝑆 = {6}. 
Função logarítmica
Calculando o valor do log√5 0,2 é igual a:
a) -1.
b) -2.
c) 0.
d) 2.
e) 1.
Interatividade
Calculando o valor do log√5 0,2 é igual a:
a) -1.
b) -2.
c) 0.
d) 2.
e) 1.
Resposta
Função logarítmica
Aplicando a definição de logaritmos, temos:
(𝑥 + 1)2 = 2𝑥 + 5
𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 2𝑥 + 5
𝑥2 = 4
𝑥 = ± 2
Verificando as condições de existência, temos 𝑆 = {2}, pois 
𝑥 = −2 não atende essa condição.
Função logarítmica
Observação: algumas equações exponenciais somente são resolvidas com aplicação de 
logaritmos.
Função logarítmica
A função logarítmica em sua forma mais simples é definida por 𝑓:ℝ+→ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥, 
em que a base do logaritmo deve ser maior que 0 e diferente de 1. Seu domínio será a 
condição de existência (logaritmando maior que zero), então, 𝑥 > 0. 
Assim como a função exponencial, a curva gerada por 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥 será crescente se 𝑎 > 1 e 
decrescente se 0do gráfico, temos que:
𝐼𝑚(𝑓) = [−1, 1]
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 𝑝 = 2𝜋
Funções trigonométricas
As funções trigonométricas sofrem deformações de acordo com operações realizadas com a 
função ou o ângulo. Assim, podemos encontrar:
𝑓(𝑥) = 𝐴 + 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 ∙ 𝑥 + 𝛼)
𝐴 . . . desloca a função verticalmente.
𝐵 . . . altera a amplitude da função.
𝑘. . . altera o período da função 
𝛼. . . desloca a função horizontalmente.
Para se obter o conjunto-imagem da função, pode ser aplicado
𝐼𝑚(𝑓) = [𝐴 + 𝐵, 𝐴 − 𝐵] 
Funções trigonométricas
Exemplo: Esboce o gráfico da função 𝑓:ℝ →ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 3 + 2𝑠𝑒𝑛 2𝑥.
Funções trigonométricas
6
5
4
3
2
1
1 2 3
-1
0
Função cosseno
É a função 𝑓:ℝ →ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 denominada cossenoide. Para determinar o gráfico da 
função, definimos os pontos:
Funções trigonométricas
Assim, temos o gráfico:
Funções trigonométricas
1
10
-1
2 3 4 5 6π π2
A partir das informações do gráfico, temos que:
𝐼𝑚(𝑓) = [−1, 1]
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 𝑝 = 2𝜋
Funções trigonométricas
Função tangente
É a função . Para determinar o gráfico da função, 
definimos os pontos:
Funções trigonométricas
Assim, temos o gráfico:
Funções trigonométricas
1 30
-2
2
4 6π
π2
1
2
3
4
-1
2 3π
2
-3
A partir das informações do gráfico, temos que:
𝐼𝑚 (𝑓) = [−∞, ∞]
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜: 𝑝 = 𝜋
Funções trigonométricas
Dada a função 𝑓:ℝ →ℝ, tal que é correto afirmar que o conjunto-
imagem da função é:
a) 𝐼𝑚 (𝑓) = [−5, 5]
b) 𝐼𝑚 (𝑓) = [2, 5]
c) 𝐼𝑚 (𝑓) = [−2, 5]
d) 𝐼𝑚 (𝑓) = [3, 7]
e) 𝐼𝑚 (𝑓) = [5, 7]
Interatividade
Dada a função 𝑓:ℝ →ℝ, tal que é correto afirmar que o conjunto-
imagem da função é:
a) 𝐼𝑚 (𝑓) = [−5, 5]
b) 𝐼𝑚 (𝑓) = [2, 5]
c) 𝐼𝑚 (𝑓) = [−2, 5]
d) 𝐼𝑚 (𝑓) = [3, 7]
e) 𝐼𝑚 (𝑓) = [5, 7]
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!