A FORMULA DO BINOMIO DE NEWTON

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OS BASTIDORES DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
- BINÔMIO DE NEWTON - INTRODUÇÃO 
 
Para começar a falar sobre binômio de Newton, e posteriormente 
conhecer e aprender um pouco mais sobre as propriedades que 
envolvem este conceito, vamos primeiro conhecer um pouco da história 
de grandes matemáticos, que colaboraram nos estudos da análise 
combinatória.. 
 Todos sabem que, para ganhar a maioria dos jogos, é 
necessário sorte, porém podemos, por meio de um cálculo matemático 
simples usando análise combinatória, calcular as probabilidades de 
ganharmos fazendo determinadas jogadas, o que de certa forma, pode 
aumentar consideravelmente as chances de vencer o jogo. Um dos 
primeiros matemáticos a elaborar estudos sobre o número de 
combinações possíveis para um determinado fenômeno foi o italiano 
Niccolo Tartáglia (1500- 1557), que confeccionou uma tabela contendo 
o número de combinações possíveis no lançamento de dois dados. O 
desenvolvimento do binômio (1+x)n está entre os primeiros problemas 
estudados e ligados à Análise Combinatória. O caso n=2 já pode ser 
encontrado nos “Elementos de Euclides”, em torno de 300 a.C. O 
“triângulo de Pascal” era conhecido por “Chu Shih-Chieh”, na China, 
(em torno do ano 1300) e antes disso pelos hindus e árabes. O 
matemático hindu Bháskara (1114-1185?), conhecido geralmente pela 
"fórmula de Bháskara" para a solução de equações do 2º grau, sabia 
calcular o número de permutações, de combinações e de arranjos de n 
objetos. O mesmo aconteceu com o matemático e filósofo religioso 
francês Levi ben Gerson (1288-1344), que nasceu e trabalhou no sul 
da França, e que entre outras coisas, tentou demonstrar o 5º Postulado 
de Euclides. O nome coeficiente binomial foi introduzido mais tarde 
por Michael Stifel -1486?-1567-, que mostrou, em torno de 1550, 
como calcular (1+x)n a partir do desenvolvimento de (1+x)n-1. Sabemos 
também que o matemático árabe Al-Karaji - fins do século X - conhecia 
a lei de formação dos elementos do triângulo de Pascal. Ainda no 
século XVI, Girolamo Cardano (1501-1576) contribuiu com estudos 
sobre jogos de azar; além de dar elementos básicos ao cálculo de 
probabilidades, Cardano desenvolveu mais profundamente as técnicas 
de contagem de combinações. 
Porém, somente no século XVII, foi que Blaise Pascal (1601-1665) 
e Pierre de Fermat (1601-1665) sistematizaram a análise 
combinatória. 
 
A FÓRMULA DO BINÔMIO DE NEWTON. 
 
A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o 
desenvolvimento de (x+a)n 
Desenvolvendo o binômio (x + a)n, n � �, encontramos: 
(x+y)n = 
1 2 2
... ...1 2
1 2 3 1 1
n n n n k k n
n n n n n
x x y x y x y yk k n
T T T T Tk n
− − −
         
         
         + + + + + +
         
         
         
+ +
��� ����� ����� ����� ���
 
Toda potência da forma (x+y)(x+y)(x+y)(x+y)n n n n , com x, x, x, x,y y y y � ���� e n e n e n e n ����, , , , 
é conhecido como binômio de Newton. O desenvolvimento do 
binômio de Newton é simples em casos como os seguintes, 
que você já estudou no ensino fundamental. 
 
 
 
 
 
Você aprendeu que: 
 
a) (x+y)0 = 1 -1 termo. 
b) (x+y)1 = 1x + 1y -2 termos. 
c) (x+y)2 = 1x² + 2xy + 1y² -3 termos. 
d) (x+y)3 = 1x3 + 3x2y+3xy2 +1y3 -4 termos. 
e) (x+a)4 = ? 
 . 
 . 
 . 
 
Um dos processos para determinar (x+a)4 é efetuar o produto 
(x+a)3 (x+a) que você já conhece e sabe que muita “mão de 
obra”. 
E se continuar aumentando o expoente do binômio. Como 
fica? 
Em casos como (x+y)7 , (2x-y)5 , ( x+2)10 e tantos outros, 
vamos recorrer à análise combinatória. 
 
Observe os exemplos: 
 
1111⍜⍜⍜⍜ ---- (x+y)2 = x2y0+ 2x1y1+x0y2 
= 




 2
0
 x2y0+ 




 2
1
 x1y1+ 




 2
2
 x0y2 
2222⍜⍜⍜⍜ - (x+y)3 = x3 y0 +3x2 y1+3x1 y2 +x0y3 
= 




 3
0
 x3y0+ 




 3
1
x2y1+ 




 3
2
 x1y2 + 




 3
3
 x0y3 
3333⍜⍜⍜⍜ ---- (x+y)4 = 1x3 y0 +4x3 y1+6x2 y2 +4x1y3 +4x0y4 
=
4
0
 
 
 
 x4y0+
4
1
 
 
 
x3y1+
4
2
 
 
 
 x2y2 +
4
3
 
 
 
 x1y3 +
4
4
 
 
 
x0y4 
 
 
- O número de termos é dado pelo n+1 termos 
- O n é o valor do expoente do binômio 
- O expoente de x decresce de n até 0 
- O expoente de y cresce de 0 até n. 
- O desenvolvimento do binômio (x + y)n é um polinômio. 
- O desenvolvimento de (x + y)n possui (n + 1) termos. 
- Os coeficientes dos termos eqüidistantes dos 
extremos, no desenvolvimento de (x + y)n são iguais. 
- A soma dos coeficientes de (x + y)n é igual a 2n. 
 
 
Observação: 
 
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas 
possuem uma lei de formação bem definida. Vamos ver um 
exemplo para ficar mais claro: 
 
 
 
 
Vamos tomar como exemplo, o item (d). 
 
Expoente do 2⍜ termo 
Coeficiente 
 
Ordem dos termos (x+y)3 =1x3+3x2y+3xy2+1y3 
 
1⍜ ordem 
2⍜ ordem 
3⍜ ordem 
4⍜ ordem 
 
 
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos 
são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 3. 
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser 
obtidos com a seguinte regra prática de fácil memorização: 
 
Multiplicamos o coeficiente de “x” pelo seu expoente 
e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado 
será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, 
para obter o coeficiente do 3⍜ termo do item (d), teríamos: 
3.2 = 6; agora dividimos 6 pela ordem do termo 
anterior 6:2 = 3 que é o coeficiente do 3⍜ termo procurado. 
Coeficiente . Expoente
 = Coeficiente do próximo termo
Ordem
 
 
 
ExemplosExemplosExemplosExemplos :::: 
Vamos efetuar o desenvolvimento deVamos efetuar o desenvolvimento deVamos efetuar o desenvolvimento deVamos efetuar o desenvolvimento de :::: 
a)a)a)a) (x+a)(x+a)(x+a)(x+a)4444 
= 




 4
0
 x4+ 




 4
1
 x3a + 




 4
2
x2a2 + 




 4
3
x1a3 + 




 4
4
x0a4 
 
PortantoPortantoPortantoPortanto 
(x+a)(x+a)(x+a)(x+a)4 4 4 4 
 = = = = x4+ 4.x3a +6x2a2 +4x1a3+1x0a4 
 
b) (x+a)b) (x+a)b) (x+a)b) (x+a)5555 
= 




 5
0
x5+ 




 5
1
x4a+ 




 5
2
x3a2 + 




 5
3
x2a3+ 




 5
4
x1a4+ 




 5
5
x0a5 
 
PortantoPortantoPortantoPortanto :::: 
(x+a)(x+a)(x+a)(x+a)5 5 5 5 = = = = x5+ 5.x4a+10x3a2 +10x2a3+5x1a4+x0a5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. 
Companhia Editora Nacional. 1975 
CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino 
Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998 
CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise 
Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática. 
 
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