FZW obrigação de casa

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**Resposta:** A) \( 2x \cos(x^2) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x \). 
 
76. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 3 
 D) Não existe 
 **Resposta:** C) 3 
 **Explicação:** Fatorando, temos \( \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x 
\to 1} (x^2 + x + 1) = 3 \). 
 
77. Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x^2) \)? 
 A) \( 2x \sec^2(x^2) \) 
 B) \( 2x \tan(x^2) \) 
 C) \( \sec^2(x^2) \) 
 D) \( 2x \sin(x^2) \) 
 **Resposta:** A) \( 2x \sec^2(x^2) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \sec^2(x^2) \cdot 2x \). 
 
78. Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) 3 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** A integral \( \int (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x \). 
Avaliando de 0 a 1, temos \( \left(\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1\right) = 0 \). 
 
79. Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \)? 
 A) \( \frac{\pi^3}{6} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 2 \) 
 D) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{\pi^3}{6} \) 
 **Explicação:** Esta série converge para \( \frac{\pi^3}{6} \), um resultado conhecido. 
 
80. Encontre a derivada de \( f(x) = e^{x^3} \). 
 A) \( 3x^2 e^{x^3} \) 
 B) \( e^{x^3} \) 
 C) \( 3e^{x^3} \) 
 D) \( 3x^2 e^{x} \) 
 **Resposta:** A) \( 3x^2 e^{x^3} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 \). 
 
81. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 5 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta:** C) 5 
 **Explicação:** Usando a propriedade \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \), temos \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5 \). 
 
82. Qual é a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^2} \, dx \)? 
 A) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 B) \( \ln(x) + C \) 
 C) \( \frac{1}{x} + C \) 
 D) \( -\ln(x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( x^{-2} \) é \( -x^{-1} + C \). 
 
83. Determine o valor de \( \int_1^3 (2x + 1) \, dx \). 
 A) 0 
 B) 5 
 C) 10 
 D) 12 
 **Resposta:** C) 10 
 **Explicação:** A integral \( \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x \). Avaliando de 1 a 3, temos \( (9 + 
3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10 \). 
 
84. Qual é a soma da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)? 
 A) \( e^x \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 0 \) 
 D) \( 2 \) 
 **Resposta:** A) \( e^x \) 
 **Explicação:** Esta série converge para \( e^x \), que é a soma da série de Taylor de \( 
e^x \). 
 
85. Encontre a derivada de \( f(x) = \cos(x^2) \). 
 A) \( -2x \sin(x^2) \) 
 B) \( -\sin(x^2) \) 
 C) \( 2x \cos(x^2) \) 
 D) \( -2x \cos(x^2) \) 
 **Resposta:** A) \( -2x \sin(x^2) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x \). 
 
86. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Não existe 
 **Resposta:** C) 2