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MAT-2454 – Cálculo Diferencial e Integral II – 2020/2
Solução da Segunda Atividade
Questão 1. Considere a função F : R→ R dada por
F(x) = cos(3πx)
∫ 1
3x
et2
dt.
O valor de F′(1/3) + F′′(1/3) é:
a. 21e; b. −21e; c. 7e; d. −7e; e. 3πe; f. −3πe.
Solução. Basta calcular diretamente a derivada usando a regra do produto e a derivação
sob sinal de integral:
F′(x) =
(
cos(3πx)
)′ ∫ 1
3x
et2
dt + cos(3πx)
(∫ 1
3x
et2
dt
)′
=− 3π sin(3πx)
∫ 1
3x
et2
dt− 3 cos(3πx)e9x2
e
F′′(x) =
(
− 3π sin(3πx)
)′ ∫ 1
3x
et2
dt− 3π sin(3πx)
(∫ 1
3x
et2
dt
)′
−
(
3 cos(3πx)
)′e9x2 − 3 cos(3πx)
(
e9x2)′
=− 9π2 cos(3πx)
∫ 1
3x
et2
dt + 18π sin(3πx)e9x2 − 54x cos(3πx)e9x2
.
Observando que, em x = 1/3, a integral presente nas expressões de F′(x) e F′′(x) se
anula temos:
F′(1/3) = 3e e F′′(1/3) = 18e =⇒ F′(1/3) + F′′(1/3) = 21e.