Calculo II Questoes_pag104

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onde fx e fy representam as derivadas parciais da função com respeito a x e y, respectivamente, e
a e b as coordenadas do vetor unitário.
Assim,
a. Para função z = x3 + 5x2y temos
fx = 3x2 + 10xy e fy = 5x2.
Além disso, observe que o vetor ~u = (1, 1) é um vetor na direção da reta y = x,
porém não é unitário. Assim, precisamos encontrar um outro vetor na direção de ~u que
seja unitário, e já sabemos que o vetor dado por ~v =
~u
|~u|
cumpre tal condição.
Logo, como ~u =
√
12 + 12 =
√
2, temos ~v =
(
1√
2
,
1√
2
)
.
Portanto,
D~v f(x, y) = (3x2 + 10xy)
1√
2
+ (5x2)
1√
2
.
E, substituindo no ponto (2, 1),
D~v f(2, 1) =
52√
2
= 26
√
2.
b. Neste item, novamente, não temos um vetor unitário, mas o vetor ~v =
(
4
5
,
3
5
)
é um
vetor unitário na direção do vetor ~u = (4, 3), já que |~u| =
√
25 = 5.
Assim, encontrando as derivadas parciais, temos
D~v f(x, y) = (y2exy)
4
5
+ (exy + yxexy)
3
5
.
E substituindo no ponto (0, 0),
D~v f(0, 0) =
3
5
.
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