Definição de Vetor em Geometria

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Geometria Anaĺıtica
A definição de vetor - soma de vetores -
multiplicação por escalar
Ana Julia Gomes Alves
Maria do Carmo Carbinatto
SMA - ICMC - USP
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Introdução
Existem dois tipos de grandezas:
1. Escalares: ficam completamente determinadas por apenas um
número (real). Exemplo: comprimento, área, massa.
2. Vetoriais: não são completamente determinadas por apenas
um número (real). Necessitamos conhecer seu módulo, sua
direção e seu sentido. Exemplo: força, velocidade.
Pergunta
Há uma definição matemática de vetor?
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Notação
O conjunto dos pontos no plano será denotado por E 2.
O conjunto dos pontos no espaço será denotado por E 3.
Observação
No que segue, quando quisermos nos referir tanto a E 2 quanto E 3,
escreveremos En, onde n = 2 ou n = 3.
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Segmento orientado
Definição
Um segmento orientado (em En) é um par de pontos em En. Se
(A,B) é um segmento orientado, então
1. A é a origem do segmento orientado
2. B é a extremidade do segmento orientado.
Representação geométrica:
3
B
A
Exemplo 1
(A,A) - segmento nulo. □
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Segmento orientado
Exemplo 2
Se (A,B) é um segmento orientado,
3
B
A
	
então (B,A) é chamado o segmento oposto. □
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Segmento orientado: comprimento, direção e sentido
O comprimento de um segmento orientado (A,B) é a distância
entre os pontos A e B.
3
B
A
Sejam (A,B) e (C ,D) dois segmentos orientados não nulos.
Dizemos que (A,B) e (C ,D) possuem a mesma direção se a reta
AB e a reta CD forem paralelas ou coincidentes.
�
�3
B
A
�
�
�
�
�3
D
C
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Segmento orientado: comprimento, direção e sentido
Sejam (A,B) e (C ,D) dois segmentos orientados não nulos com a
mesma direção.
Caso 1: reta AB e reta CD são paralelas. Dizemos que (A,B)
e (C ,D) possuem o mesmo sentido se
AC ∩ BD = ∅.
B
A
�
�
�
��
�
�
�
�� D
C
Caso contrário, dizemos que possuem sentidos opostos.
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Segmento orientado: comprimento, direção e sentido
Caso 2: reta AB e reta CD são coincidentes.
Notemos que AC ∩ BD ̸= ∅ e nossa intuição nos diz que os
segmentos devem possuir o mesmo sentido. Logo não podemos
adotar a definição do Caso 1.
Consideremos uma reta r paralela à reta reta AB. Sejam A ′ e B ′
dois pontos distintos de r tais que
(A,B) e (A ′,B ′) tenham o mesmo sentido
(aqui usamos o Caso 1). Dizemos que (A,B) e
(C ,D) possuem o mesmo sentido se (A,B) e
(A ′,B ′) possuem o mesmo sentido. Caso
contrário, dizemos que possuem sentidos
opostos.
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Segmento orientado: comprimento, direção e sentido
Exemplo 3
1. Um segmento nulo possui comprimento zero.
2. Sejam A e B dois pontos distintos. Então (A,B) e (B,A)
possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e sentidos
opostos. □
Exemplo 4
Considere o paralelogramo:
A
C
D
B
"
"
""
"
"
""
Então (A,B) e (C ,D) são dois segmentos orientados com o
mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. O
mesmo ocorre com (B,D) e (A,C ). □
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Vetores no plano e no espaço
Observação
Somente podemos decidir se o sentido de dois segmentos
orientados (A,B) e (C ,D) são o mesmo sentido ou são opostos se
(A,B) e (C ,D) possúırem a mesma direção.
A direção de dois segmentos orientados (A,B) e (C ,D) somente é
caracterizada para segmentos não nulos.
Definição
Dois segmentos orientados (A,B) e (C ,D) são chamados
equipolentes, e escrevemos (A,B) ∼ (C ,D), se
1. ambos forem segmentos nulos, isto é, A = B e C = D.
2. ambos forem segmentos não nulos e possuirem o mesmo
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Vetores no plano e no espaço
Propriedade: ∼ é uma relação de equivalência
Isto é,
1. ∼ é reflexiva: (A,B) ∼ (A,B) para todo segmento orientado
(A,B).
2. ∼ é simétrica: se (A,B) ∼ (C ,D), então (C ,D) ∼ (A,B).
3. ∼ é transitiva: se (A,B) ∼ (C ,D) e (C ,D) ∼ (E ,F ), então
(A,B) ∼ (E ,F ).
Definição
Seja (A,B) um segmento orientado. O vetor determinado por
(A,B), denotado por
−→
AB, é o conjunto de todos os segmentos
orientados equipolentes a (A,B).
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Vetores no plano e no espaço
Exemplo 5
Seja A um ponto de En. Então o vetor determinado por (A,A) é o
conjunto de todos os segmentos nulos. Este vetor é chamado vetor
nulo e representado por 0⃗. □
Exemplo 6
Se v⃗ =
−→
AB, com A ̸= B,
�
�
�
�
�3
B
A
�
�
�
�
�+
−v⃗v⃗
então o vetor determinado pelo segmento orientado (B,A) é
chamado vetor oposto (ao vetor
−→
AB) e é representado por −v⃗ . □
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Vetores no plano e no espaço
Observação
Dado um vetor
−→
AB cada um dos segmentos orientados
equipolentes a (A,B) é chamado um representante do vetor
−→
AB.
Portanto, há infinitos segmentos orientados que representam o
vetor
−→
AB. Disto vem o uso da expressão vetor livre para
caracterizar intuitivamente um vetor.
O conjunto de todos os vetores do plano é representado por V 2.
O conjunto de todos os vetores do espaço é representado por V 3.
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Vetores no plano e no espaço
Definição
Seja v⃗ ∈ V n. O comprimento (ou, norma) de v⃗ é o comprimento
de um dos representantes de v⃗ .
Notação: ∥v⃗∥.
Propriedade
∥v⃗∥ = 0 se, e somente se, v⃗ = 0⃗.
Definição
Dois vetores não nulos u⃗, v⃗ são paralelos se possúırem
representantes com a mesma direção. Notação: u⃗ ∥ v⃗ .
Definição
Dois vetores não nulos u⃗, v⃗ paralelos possuem o mesmo sentido se
possúırem representantes com o mesmo sentido. Caso contrário,
dizemos que possuem sentidos opostos.
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Vetores no plano e no espaço
Propriedade importante
Seja v⃗ ∈ V n e A um ponto de En. Então existe um ponto B em
En (e é único) tal que v⃗ =
−→
AB.
�
�
�
�
�3
�
�
�
�
�3
B
A
v⃗v⃗
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Soma de dois vetores em V n
Sejam u⃗, v⃗ dois vetores em V n. Sejam A, B e C pontos de En tais
que
u⃗ =
−→
AB e v⃗ =
−→
BC .
A C�
��
�
��
B
@
@
@*
R A C�
��
�
��
B
@
@
@*
R-
v⃗v⃗ u⃗u⃗
Definição
O vetor
−→
AC é chamado a soma ou adição de u⃗ e v⃗ e é
representado por u⃗ + v⃗ .
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Propriedades da soma
Sejam u⃗, v⃗ , w⃗ vetores em V n. Então
(A1) u⃗ + v⃗ = v⃗ + u⃗;
(A2) (u⃗ + v⃗) + w⃗ = u⃗ + (v⃗ + w⃗);
(A3) u⃗ + 0⃗ = u⃗;
(A4) u⃗ + (−u⃗) = 0⃗.
Sejam u⃗, v⃗ vetores em V n. Definimos a diferença, u⃗ − v⃗ por
u⃗ − v⃗ = u⃗ + (−v⃗).
Exemplo 7: Regra do Paralelogramo
Suponha que u⃗ =
−→
AB e v⃗ =
−→
AC . Seja D tal que ACDB seja um
paralelogramo como na figura.
A
C
��
��
��
B
@
@
@*
R-�
�
��
��
D
 
 
 
 
 1
u⃗
v⃗
Então u⃗ + v⃗ =
−→
AD e v⃗ − u⃗ =
−→
BC . □
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Exemplo
Exemplo 8
Sejam u⃗, v⃗ , w⃗ vetores em V n tais que
u⃗ + v⃗ = u⃗ + w⃗ .
Mostre que v⃗ = w⃗ .
Solução: Somando o elemento oposto a u⃗, −u⃗, à equação
u⃗ + v⃗ = u⃗ + w⃗ ,
obtemos
(−u⃗) + (u⃗ + v⃗) = (−u⃗) + (u⃗ + w⃗).
Segue da propriedade (A2) que
(−u⃗ + u⃗) + v⃗ = (−u⃗ + u⃗) + w⃗ .
A propriedade (A4) implica que 0⃗+ v⃗ = 0⃗+ w⃗ e propriedades (A1)
e (A3) implicam que v⃗ = w⃗ . □
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Multiplicação por escalar
Sejam u⃗ um vetor em V n e α ∈ R.
Nosso objetivo é definir um vetor que represente multiplicação de
α por u⃗.
Definição
Se u⃗ = 0⃗ ou α = 0, definimos o vetor α · u⃗ por 0⃗.
Se u⃗ ̸= 0⃗ e α ̸= 0, o vetor α · u⃗ é definido por:
(i) (comprimento) ∥α · u⃗∥ = |α|∥u⃗∥;
(ii) (direção) α · u⃗ e u⃗ são paralelos;
(iii)(sentido) Se α > 0, α · u⃗ e u⃗ possuem o mesmo sentido. Se
α 0. Escreva o vetor−→
CX em função dos vetores
−→
CA e
−→
CB.
A B��
�
��
�
C
@
@
@
� R-
X
�
�
�
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Exemplos
Solução: Temos
−→
AC +
−→
CX =
−→
AX
−→
CX +
−→
XB =
−→
CB
Portanto −→
AC + 2 ·
−→
CX +
−→
XB =
−→
AX +
−→
CB.
Logo,
2 ·
−→
CX =
−→
AX +
−→
CB −
−→
XB −
−→
AC
= (m − 1) ·
−→
XB +
−→
CB +
−→
CA.
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Exemplos
Por outro lado,
−→
AC +
−→
CB =
−→
AB =
−→
AX +
−→
XB = m ·
−→
XB +
−→
XB = (m + 1) ·
−→
XB.
Ou seja,
−→
XB =
1
m + 1
· (
−→
AC +
−→
CB)
e obtemos
2 ·
−→
CX =
m − 1
m + 1
· (−
−→
CA+
−→
CB) +
−→
CB +
−→
CA
=
(
1−
m − 1
m + 1
)
·
−→
CA+
(
1+
m − 1
m + 1
)
·
−→
CB
=
2
m + 1
·
−→
CA+
2m
m + 1
·
−→
CB.
Geometria Anaĺıtica A definição de vetor
Exemplos
Portanto,
−→
CX =
1
m + 1
·
−→
CA+
m
m + 1
·
−→
CB. □
Exemplo 13
Sejam u⃗ ̸= 0⃗, v⃗ ̸= 0⃗ vetores em V n. Suponha que u⃗ e v⃗ sejam
paralelos. Mostre que existe um λ ∈ R tal que u⃗ = λv⃗ .
Solução:
�
�3u⃗
�
�
�
�
�3v⃗
Se u⃗ = λv⃗ para algum λ ∈ R, então
∥u⃗∥ = ∥λv⃗∥. Isso implica que ∥u⃗∥ = |λ|∥v⃗∥.
Como v⃗ ̸= 0⃗ temos |λ| =
∥u⃗∥
∥v⃗∥
. Logo
λ =
∥u⃗∥
∥v⃗∥
ou λ = −
∥u⃗∥
∥v⃗∥
.
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Exemplos
O que fizemos acima nos fornece uma sugestão do posśıvel valor
para λ. Notemos que há duas possibilidades. Por que isso ocorreu?
A seguir mostraremos que a escolha deve levar em conta se u⃗ e v⃗
possuem o mesmo sentido ou sentidos contrários.
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Exemplos
Primeiro caso: u⃗ e v⃗ possuem o mesmo sentido.
Defina o vetor w⃗ =
∥u⃗∥
∥v⃗∥
v⃗ . Temos que
1. w⃗ e u⃗ possuem a mesma direção;
2. w⃗ e u⃗ possuem o mesmo sentido;
3. ∥w⃗∥ =
∥u⃗∥
∥v⃗∥
∥v⃗∥ = ∥u⃗∥.
Logo, w⃗ = u⃗.
Segundo caso: u⃗ e v⃗ possuem sentidos opostos.
Defina o vetor w⃗ = −
∥u⃗∥
∥v⃗∥
v⃗ . Como no primeiro caso, mostramos
que w⃗ = u⃗. □
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