EQUAÇOES DIFERENCIAIS E INTEGRAIS.Lista(com soluções)

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Lista 1 DP - Equac¸o˜es Diferenciais - prof. Alexandre
Estudo dirigido para alunos em DP - Prova : NP1
Mo´dulo 3 - Equac¸o˜es Diferenciais(Introduc¸a˜o)e ED varia´veis separa´veis
1 Classificando de acordo com a ordem e a linearidade a equac¸a˜o diferencial y¨− 2y˙ + 6y = 0 , temos:
(a)linear de 1a ordem (b) na˜o linear de 2a ordem (c)linear de 2a ordem (d)na˜o linear de 1a ordem (e)linear de 3a ordem
2 Obtenha uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial: y˙ = 1 + e
5x
3 Obtenha asoluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial : x dx +
1
y
dy = 0
4 Sabe-se que certa substaˆncia radioativa diminui a uma taxa proporcional a quantidade presente N .
Inicialmente a quantidade e´ de 75mg e apo´s 3 horas a quantidade passa a ser de 67, 5mg. Qual a equac¸a˜o
que representa a quantidade de substaˆncia presente no instante t ?
5 Resolva o P.V.I. x y˙ = 4y, com y(1) = 3
6 A equac¸a˜o y = e
3x
e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial:
(a)y˙ − 3y = 0 (b) y˙ + 3y = 0 (c)y˙ + 3 = 0 (d)y˙ + 3y = e6x (e)y˙ + 3xy = 0
7 Obtenha a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial y˙ = −2y
8 Obtenha a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial y˙ = cos(10x)
9 Obtenha a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e
−2x
y˙ = 1
10 Obtenha a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial y˙ = 3x2y
11 Obtenha a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial y˙ = e
2x
+ 3x2
Mo´dulo 4 - ED varia´veis separa´veis e ED exatas
1 Obtenha a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial exata:
(e
3y
+ ycos(xy) + 2x)dx + (3xe
3y
+ xcos(xy))dy = 0
2 Resolva o P.V.I.
dN
dt
= 5N , com N(0) = 5
3 Obtenha a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial exata: 2xydx + (x2 − 1)dy = 0
4 Obtenha a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial exata: 2xydx + (x2 − 1)dy = 0
5 Uma equac¸a˜o diferencial da forma P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 e´ classificada como equac¸a˜o diferencial
exata se existir uma func¸a˜o ϕ(x, y) tal que
∂ϕ
∂x
= P (x, y) e
∂ϕ
∂y
= Q(x, y), caso contra´rio sera´ inexata.
Classifique as equac¸o˜es abaixo em exata ou inexata.
(I) 2x dx+3y dy = 0 (II) 2y dx+3x dy = 0 (III) y sen(x) dx−(y cos(x)−sen(y))dy = 0
6 A desintegrac¸a˜o nuclear e´ um processo que ocorre em alguns nu´cleos atoˆmicos, produzindo emissa˜o
de radiac¸a˜o. A taxa de variac¸a˜o da quantidade Q de material radioativo com o tempo e´ proporcional a`
quantidade de material, ou seja,
dQ(t)
dt
= k · Q(t). A constante e´ negativa, pois se trata da reduc¸a˜o da
quantidade de material radioativo com o tempo. Essa constante pode ser obtida a partir da meia-vida do
iso´topo radioativo, ou seja, do tempo necessa´rio para que a quantidade de material caia pela metade. Se
inicialmente temos quantidade de material Q(t0) , apo´s uma meia-vida teremos
Q(t0)
2
. Qual e´ a equac¸a˜o
que fornece a quantidade de material radioativo como func¸a˜o do tempo?
7 Considere um circuito RC em se´rie ilustrado na figura abaixo, formado por uma fonte ideal, um
resistor de resisteˆncia R e um capacitor de capacitaˆncia C, posicionados ao longo do mesmo fio. Nessa
configurac¸a˜o, a tensa˜o ε fornecida pela fonte e´ dividida pelos dois componentes, ou seja, ε = UR + UC .
A tensa˜o no resistor e´ dada por UR = R · I e a tensa˜o no capacitor UC = q
C
, sendo q a carga ele´trica e
I a intensidade da corrente ele´trica , dada pela taxa de variac¸a˜o da carga no tempo t , ou seja , I =
dq
dt
.
Considere que a fonte do circuito fornec¸a corrente ele´trica cont´ınua e constante no tempo. Qual e´ a equac¸a˜o
diferencial que descreve o circuito do enunciado?
8 O Cobalto-60 e´ um elemento radioativo de meia-vida igual a 5, 26 anos. Qual e´ a equac¸a˜o que for-
nece a quantidade de Cobalto-60 em func¸a˜o do tempo? Considere que, inicialmente, temos a quantidade
Q0 de cobalto 60 e que o tempo e´ dado em anos.
9 mesma 8 10 mesma 8 11 mesma 8
12 Uma cultura de bacte´rias cresce a uma taxa proporcional ao nu´mero de bacte´rias presentes no
instante t. Inicialmente existem 500 bacte´rias e apo´s 1 hora 5000 bacte´rias. Qual e´ a equac¸a˜o para o
nu´mero de bacte´rias apo´s t horas?
Mo´dulo 5 - Equac¸o˜es DiferenciaisLineares de 1a ordem
1 Obtenha uma soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o diferencial y˙ − 7y = 0
2 Obtenha uma soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o diferencial x2 y˙ + x y = 1
3 A corrente I(t) em um circuito ele´trico e´ modelada pela equac¸a˜o diferencial L
dI
dt
+ R I = E(t). En-
contre uma expressa˜o para a corrente em um circuito onde a resisteˆncia R e´ de 16Ω, a indutaˆncia L vale
4 (henries) e a pilha fornece uma tensa˜o de 56V ( 56volts). Qual a expressa˜o que representa a corrente
ele´trica em func¸a˜o do tempo t , sendo t0 = 0?
4 Obtenha a soluc¸a˜o geral da EDO y˙ − 4y = 12.
5 Obtenha a soluc¸a˜o geral da EDO x y˙ + y = 2x.
6 Obtenha a soluc¸a˜o geral da EDO y˙ +
4
x
y = x.
7 Obtenha a soluc¸a˜o geral da EDO y˙ − 5y = ex .
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