exer_calIII_4

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1) Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t. 
a) 
4
;35cos2)( pi=++= tktjtsenittr b) 2ln;)( 2 =+= − tjeietr tt 
2) A posição de uma partícula em movimento no plano no tempo t, é dada por: 
)1(
2
1)( −= ttx 
)12(
4
1)( 2 +−= ttty 
a) Escrever a função vetorial )(tf que descreve o movimento dessa partícula. 
b) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração.. 
c) Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração no instante t = 5. 
 
3) No instante t, a posição de uma partícula no espaço é dada por 32 4)(,2)(,)( ttzttyttx === . 
a) Escrever a função vetorial que nos dá a trajetória da partícula 
b) Determinar o vetor tangente à trajetória da partícula no ponto P(1, 2, 4). 
c) Determinar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula para t = 4. 
 
4) Um partícula se move no espaço com vetor posição )(tr .Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um 
instante t qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de t. 
a) 2,0;)4(4)( 2 =−++= tktjittr 
b) 2,1;
1
1)( =+
+
= tjti
t
tr 
c) 1,0;)( 62 =+= tktittr 
d) 2,1;)1()1()( =++−= tjtittr 
 
5) Se )(tr é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula é perpendicular 
a )(tr . 
a) ),(cos)( tsenttr = b) )3,3(cos)( tsenttr = 
 
6) Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, 
orientada no sentido contrário. 
a) [ ]pi2,0),41,cos32()( ∈++= ttsenttr 
b) [ ]1,0),12,2,()( ∈++= tttttr 
c) [ ]2,1),24,12,12()( ∈−+−= tttttr 
d) [ ]pi4,0),2,1,cos1()( ∈++= tttsenttr 
 
7) Verificar se as seguintes curvas são suaves. 
a) [ ]1,1;)( 23 −∈+= tjtittr 
b) 



∈+= 1,
2
1
;4)( 23 tjtittr 
c) [ ]pipi 3,;)cos1(2)(2)( ∈−+−= tjtitsenttr 
d) 



∈=
3
,
6
),3,cos3()( 33 pipittsenttr 
e) [ ]pi2,0),3,cos2()( ∈= ttsenttr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Ambiental / Produção / Civil 
Cálculo III 
Saulo Furletti 
 / /2013 
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