lista2-calculo3-Produto escalar e Produto vetorial

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Cálculo III, IME-UERJ
Exercícios : lista 2
1. Encontre a equação da linha que passa pelos pontos (−5, 0, 4) e (6,−3, 2).
2. Sejam ~v = 2~j+~k, ~u = −3~i+5~j+4~k, ~w =~i−3~j−~k. Realize as seguintes operações.
(a) ( ~v . ~u )( ~u . ~w ) (b) ( ( ~v . ~v ) ~u ) . ~u (c) ( ~v . ~w ) ~u
3. Encontre o ângulo entre os vetores:
(a) ~v =~i + ~j + ~k e ~w =~i − ~j − ~k (b) ~v =~i − ~j − ~k e ~w = 2~i + 3~j − ~k
4. Qual par de vetores seguintes:
~a =~i − 3~j − ~k, ~b =~i + ~j + 2~k, ~c = −2~i − ~j + ~k, ~d = −~i − ~j + ~k
(a) São perpendiculares?
(b) São paralelos?
(c) Tem um ângulo menor do que π/2 entre si?
(d) Tem um ângulo maior do que π/2 entre si?
5. Para qual valor de λ os vetores ~v = λ~i−~j+~k e ~u = λ~i+λ~j−2~k são perpendiculares?
Existe valores de λ para quais ~v e ~u sejam paralelos?
6. Escreve ~v = 3~i + 2~j − 6~k como soma de dois vetores, um paralelo e outro perpendi-
cular ao ~w = 2~i − 4~j + ~k.
7. Mostre que os vetores ( ~b . ~c )~a − ( ~a . ~c )~b e ~c são perpendiculares.
8. Encontre a e b tais que o vetor (5, a, b) seja ortogonal ao vetores (1, 2, 3) e (1,−2, 1).
9. Para qual valor de x o vetor (7, x,−10) é ortogonal ao vetor (3, x, x).
10. Encontre a projeção de ~v sobre ~u onde
(a) ~v = (2, 1) e ~u = (3, 4)
(b) ~v = 3~i + ~j e ~u = 4~i − 3~j
(c) ~v = (1, 4, 5) e ~u = (−2, 1, 2)
(d) ~v = −~i + ~j + ~k e ~u = 2~i + ~j − 3~k
11. Calcule o produto vetorial ~v × ~w.
(a) ~v = (1, 1, 1), ~w = (1, 1,−1)
(b) ~v = (2,−3, 1), ~w = (1, 2,−1)
(c) ~v = 2~i − ~j −~k, ~w = −6~i + 3~j + 3~k
(d) ~v = −3~i + 5~j + 4~k, ~w =~i − 3~j −~k
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12. Usando as propriedades do produto vetorial, calcule:
(a) 2~i × (~i + ~j)
(b) (~i + ~j) × (~i − ~j)
(c) ((~i + ~j) ×~i) × ~j
(d) (~i + ~j) × (~i × ~j)
13. Ache a equação do plano que passa pelos os pontos
(a) (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) (b) (3,4,2), (-2,1,0), (0,2,1)
14. encontre o volume de paralelogramo formado pelos vetores ~a, ~b, ~c
(a) ~a = 3~i + 4~j + 5~k, ~b = 5~i + 4~j + 3~k, ~c =~i + ~j + ~k
(b) ~a = −~i + ~j + ~k, ~b =~i − ~j + ~k, ~c =~i + ~j − ~k
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