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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro EP10 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2 Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 12, pa´ginas 149 a 155, do Caderno Dida´tico. Exerc´ıcio 1 Resolva as equac¸o˜es do segundo grau: a) x2 − 6x+ 5 = 0 b) 3x2 − 12x+ 6 = 0 c) x2 − 4x = 0 d) x2 − 49 = 0 e) 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0 Soluc¸a˜o: a) Para resolver a equac¸a˜o do segundo grau x2− 6x+5 = 0, vamos usar a fo´rmula de Bhaskara, com a = 1, b = −6 e c = 5. Temos que: ∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4(1)(5) = 36− 20 = 16. Como ∆ > 0, a equac¸a˜o do segundo grau tem duas ra´ızes reais. Ou seja, x = −b±√∆ 2a = −(−6)±√16 2(1) = 6± 4 2 . Logo, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada e´ formado por x = 6 + 4 2 = 10 2 = 5, ou x = 6− 4 2 = 2 2 = 1. Isto e´, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o x2 − 6x + 5 = 0 e´ o conjunto S = {1, 5}. b) Observe que na equac¸a˜o dada os coeficientes sa˜o mult´ıplos de 3. Assim, multiplicando os dois membros da igualdade por 1 3 , obtemos a equac¸a˜o x2 − 4x+ 2 = 0, cujo conjunto soluc¸a˜o e´ o mesmo da equac¸a˜o dada. Ou seja, o conjunto soluc¸a˜o de 3x2 − 12x+ 6 = 0 e x2 − 4x + 2 = 0 sa˜o iguais. Isso, so´ foi poss´ıvel porque temos uma igualdade. Isoladamente a expressa˜o 3x2 − 12x+ 6 e´ diferente da expressa˜o x2 − 4x+ 2. Agora, usando Bhaskara para resolver a equac¸a˜o simplificada x2 − 4x + 2 = 0, com a = 1, b = −4 e c = 2, temos ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4(1)(2) = 16− 8 = 8, assim, x = −b±√∆ 2a = −(−4)±√8 2 = 4± 2√2 2 = 2± √ 2. Me´todos Determin´ısticos I EP10 2 Logo, x = 2 + √ 2, ou x = 2− √ 2. Portanto, S = {2−√2, 2 +√2}. Sugesta˜o:: Resolva este exerc´ıcio usando Bhaskara na equac¸a˜o inicial 3x2 − 12x+ 6 = 0, ou seja, com a = 3, b = −12 e c = 6. Veja que, de fato, esta equac¸a˜o tem o mesmo conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o simplificada. c) Esta equac¸a˜o na˜o tem termo o independente de x, ou seja, c = 0, o que torna mais simples sua soluc¸a˜o. Assim, x2 − 4x = 0 ⇔ x(x− 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x− 4 = 0 ⇔ x = 0 ou x = 4 Portanto, S = {0, 4}. d) Nesta equac¸a˜o, veja que b = 0. Logo, x2 − 49 = 0 ⇔ x2 = 49 ⇔ x = 7 ou x = −7. Portanto, S = {−7, 7}. e) Lembre-se que |x2| = |x · x| = |x| · |x|. Lembre-se, tambe´m, que |x| = x, se x ≥ 0 −x, se x < 0. Temos, enta˜o de considerar dois casos: quando x ≥ 0, quando x < 0 e, em seguida, fazer a reunia˜o do conjunto soluc¸a˜o de cada um destes casos. 1o Caso: x ≥ 0 Enta˜o |x| = x e |x2| = |x| · |x| = x · x = x2. Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2x2 + 3x− 2 = 0. Logo, x = −3± √ (3)2 − 4(2)(−2) 4 = −3±√9 + 16 4 = −3±√25 4 = −3± 5 4 , Isto e´, x = −3 + 5 4 = 1 2 ou x = −3− 5 4 = −2 Como x ≥ 0, a resposta deste item e´ x = 1 2 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP10 3 2o Caso: x < 0 Enta˜o |x| = −x e |x2| = |x| · |x| = (−x) · (−x) = (−x)2. Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2(−x)2 + 3(−x)− 2 = 0⇐⇒ 2x2 − 3x− 2 = 0. Logo, x = −(−3)± √ (−3)2 − 4(2)(−2) 4 = 3±√9 + 16 4 = 3±√25 4 = 3± 5 4 , Isto e´, x = 3 + 5 4 = 2 ou x = 3− 5 4 = −1 2 Como x < 0, a resposta deste item e´ x = −1 2 . Consequentemente, S = { −1 2 , 1 2 } . Exerc´ıcio 2 Resolva as inequac¸o˜es a seguir: a) − ( x+ 1 2 ) (x− 3) + 1 2 (29− 5x) ≤ 0 b) −1 5 (10x2 − 60x+ 30)− 12 > 0 c) (x− 1)2 ≥ −x+ 3 d) 2x2 − 2x+ 10 > 0 e) 2x2 − 2x+ 10 < 0 f) x2 ≥ |5x+ 6| Soluc¸a˜o: a) Notemos que − ( x+ 1 2 ) (x− 3) + 1 2 (29− 5x) ≤ 0 ⇐⇒ − ( x2 − 3x+ x 2 − 3 2 ) + 29 2 − 5x 2 ≤ 0 ⇐⇒ −x2 + 3x− x 2 + 3 2 + 29 2 − 5x 2 ≤ 0 ⇐⇒ −x2 + 6x− x− 5x 2 + 3 + 29 2 ≤ 0 ⇐⇒ −x2 + 16 ≤ 0. Agora, observe que a forma mais pra´tica de resolver inequac¸o˜es do tipo acima e´ fatorando −x2+16 e fazendo uma ana´lise de sinais de cada um dos fatores de −x2 + 16. Para fazer a fatorac¸a˜o de uma expressa˜o do tipo ax2 + bx + c, lembramos que se a equac¸a˜o do segundo grau ax2 + bx+ c = 0 tem ra´ızes (soluc¸o˜es) x1 e x2, enta˜o a expressa˜o e´ fatorada como a(x− x1)(x− x2), ou seja, ax 2 + bx + c = a(x− x1)(x− x2) . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP10 4 Assim, como a = −1, temos −x2 + 16 = −(x+ 4)(x− 4). Logo, −x2 + 16 ≤ 0 ⇐⇒ −(x+ 4)(x− 4) ≤ 0 ⇐⇒ (x+ 4)(x− 4) ≥ 0. Vamos fazer a ana´lise de sinal para a u´ltima inequac¸a˜o acima. Para isso, vamos estudar o sinal de x+ 4 e de x− 4; Estudo do sinal de x+ 4 • x+ 4 = 0⇐⇒ x = −4 • x+ 4 > 0⇐⇒ x > −4 • x+ 4 < 0⇐⇒ x < −4 Estudo do sinal de x− 4 • x− 4 = 0⇐⇒ x = 4 • x− 4 > 0⇐⇒ x > 4 • x− 4 < 0⇐⇒ x < 4 Tomando as ra´ızes das equac¸o˜es x + 4 = 0 e x − 4 = 0 como pontos de refereˆncia constru´ımos a tabela a seguir para determinar os valores de x que satisfazem a inequac¸a˜o dada. (−∞,−4) (−4, 4) (4,∞) sinal de (x+ 4) − + + sinal de (x− 4) − − + sinal de (x+ 4)(x− 4) + − + Como vemos na tabela acima, (x+ 4)(x− 4) > 0 ⇐⇒ x < −4 ou x > 4. E, lembrando que (x+ 4)(x− 4) = 0⇐⇒ x = −4 ou x = 4. Temos que, (x+ 4)(x− 4) ≥ 0⇐⇒ x ≤ −4 ou x ≥ 4. Portanto, x ∈ (−∞,−4] ∪ [4,∞), ou seja, S = (−∞,−4] ∪ [4,∞). b) Em primeiro lugar, observe que −1 5 ( 10x2 − 60x+ 30)− 12 > 0 ⇐⇒ −10x2 5 + 60x 5 − 30 5 − 12 > 0 ⇐⇒ −2x2 + 12x− 18 > 0. Simplificando a inequac¸a˜o (dividindo por -2) obtemos: −2x2 + 12x− 18 > 0 ⇐⇒ x2 − 6x+ 9 < 0 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP10 5 E´ fa´cil fatorar x2 − 6x+ 9 pois trata-se de um produto nota´vel: x2 − 6x+ 9 = (x− 3)2 Portanto, x2 − 6x+ 9 < 0 ⇐⇒ (x− 3)2 < 0 Observe que, como o quadrado de qualquer nu´mero real e´ sempre maior ou igual a zero, na˜o ha´ valor de x que satisfaz a inequac¸a˜o. Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto vazio. Ou seja, S = ∅. c) Para determinar os valores de x que satisfazem (x− 1)2 ≥ −x+ 3 transformamos esta inequac¸a˜o em uma forma equivalente Expressa˜o em x ≥ 0. Assim, (x− 1)2 ≥ −x + 3 ⇐⇒ (x− 1)2 + x− 3 ≥ 0 ⇐⇒ x2 − 2x+ 1 + x− 3 ≥ 0 ⇐⇒ x2 − x− 2 ≥ 0. Agora, podemos resolver essa u´ltima inequac¸a˜o pelo processo de fatorac¸a˜o e ana´lise de sinal. Por Bhaskara determinamos as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau x2−x−2 = 0, que sa˜o x1 = 2 e x2 = −1. Da´ı, segue a fatorac¸a˜o: x2 − x− 2 = (x− 2)(x+ 1) Portanto, x2 − x− 2 ≥ 0 ⇐⇒ (x− 2)(x+ 1) ≥ 0. Fazendo a ana´lise de sinal para a inequac¸a˜o (x− 2)(x+ 1) > 0, segue a tabela: (−∞,−1) (−1, 2) (2,∞) sinal de (x− 2) − − + sinal de (x+ 1) − + + sinal de (x− 2)(x+ 1) + − + Como vemos na tabela acima, (x− 2)(x+ 1) > 0 ⇐⇒ x < −1 ou x > 2. E, como (x− 2)(x+ 1) = 0⇐⇒ x = 2 ou x = −1, temos que, (x− 2)(x+ 1) ≥ 0⇐⇒ x ≤ −1 ou x ≥ 2. Portanto, x ∈ (−∞,−1] ∪ [2,∞). Ou seja, S = (−∞,−1] ∪ [2,∞). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP10 6 d) Simplificando a inequac¸a˜o (dividindo cada membro da desigualdade por 2) obtemos: 2x2 − 2x+ 10 > 0 ⇐⇒ x2 − x+ 5 > 0 Ao tentar resolver a equac¸a˜o x2−x+5 = 0 por Bhaskara, percebemos que a equac¸a˜o na˜o possui ra´ızes reais, pois ∆ = (−1)2 − 4(1)(5) = −19, isto e´, ∆ < 0. Isso significa que na˜o existe valor de x que faz com que x2− x+5 = 0, isto e´, x2− x+5 nunca se anula, sendo enta˜o, ou sempre positivo ou sempre negativo. Para descobrir qual e´ o caso em questa˜o, vamos substituir x por um real qualquer na expressc¸a˜o x2 − x+ 5. Por exemplo, substituindo x = 0, temos que 02 − 0 + 5 = 5 > 0. Por causa disso, a expressa˜o x2 − x+ 5 e´ sempre maior que zero para qualquer valor de x. Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto dos nu´meros reais. Ou seja, S= R. e) Como foi visto no item anterior, na˜o ha´ nenhum valor de x para o qual tenhamos 2x2−2x+10 < 0. Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto vazio. f) Para resolver a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x+ 6|, precisamos saber qual o valor de |5x+ 6|. Aplicando a definic¸a˜o de mo´dulo, temos que |5x+ 6| = 5x+ 6, se 5x+ 6 ≥ 0, −(5x+ 6), se 5x− 6 < 0. Ou seja, |5x+ 6| = 5x+ 6, se x ≥ −6 5 , −(5x+ 6), se x < −6 5 . Tomando como refereˆncia o nu´mero real −6 5 , escrevemos a reta real como a unia˜o dos intervalos (−∞,−6/5) e [−6/5,∞). Ou seja, R = (−∞,−6/5) ∪ [−6/5,∞). Assim, para x ∈ (−∞,−6/5), temos que |5x + 6| = −(5x + 6), de modo que a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x+ 6| pode ser escrita como x2 ≥ −(5x+ 6). E, para x ∈ [−6/5,∞), temos que |5x+ 6| = 5x+ 6, de modo que a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x+ 6| pode ser escrita como x2 ≥ 5x+ 6. Colocando estas informac¸o˜es numa tabela, temos: (−∞,−6/5) [6/5,∞) |5x+ 6| −(5x+ 6) 5x+ 6 x2 ≥ |5x+ 6| x2 ≥ −(5x+ 6) x2 ≥ 5x+ 6 De acordo com a subdivisa˜o da reta real, vemos que a resoluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6| equivale a` resoluc¸a˜o de duas diferentes inequac¸o˜es dependendo da localizac¸a˜o de x em R. Va- mos, portanto, dividir em casos e resolver cada uma das inequac¸o˜es encontradas dentro de seus respectivos intervalos. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP10 7 Caso 1: x < −6/5. Conforme verificado, neste intervalo, a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6| equivale a` inequac¸a˜o x2 ≥ −(5x+ 6). De modo que x2 ≥ −(5x+ 6)⇐⇒ x2 + 5x+ 6 ≥ 0. Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos primeiro encontrar as ra´ızes de x2 + 5x+ 6 = 0. Utili- zando a fo´rmula de Bhaskara, com a = 1, b = 5 e c = 6, temos que: ∆ = b2 − 4ac = 25− 24 = 1, e x = −b±√∆ 2a = −5 ±√1 2 = −5 ± 1 2 . Logo, as soluc¸o˜es de x2 + 5x+ 6 = 0 sa˜o x = −2, x = −3. Desta forma, podemos escrever que x2 + 5x+ 6 = (x+ 2) (x+ 3). Portanto, x2 + 5x+ 6 ≥ 0 ⇔ (x+ 2) (x+ 3) ≥ 0. Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o: (−∞,−3) (−3,−2) (−2,∞) (x+ 2) − − + (x+ 3) − + + (x+ 2) (x+ 3) + − + Como vemos na tabela acima, (x+ 2) (x+ 3) > 0 ⇐⇒ x < −3 ou x > −2. E, como (x+ 2) (x+ 3) = 0⇐⇒ x = −2 ou x = −3, temos que, (x+ 2) (x+ 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ −3 ou x ≥ −2⇐⇒ x ∈ (−∞,−3] ∪ [−2,∞). Observe, agora, que so´ devemos tomar os valores de x, soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 + 5x + 6 ≥ 0, que estiverem no intervalo do caso considerado, que e´ o intervalo (−∞,−6/5). Desta forma, devemos fazer a intersec¸a˜o da unia˜o de intervalos (−∞,−3] ∪ [−2,∞) com o intervalo (−∞,−6/5). Temos assim, que o conjunto soluc¸a˜o do Caso 1, o qual chamaremos de S1, e´ dado por S1 = ((−∞,−3] ∪ [−2,∞)) ∩ (−∞,−6/5) = (−∞,−3] ∪ [−2,−6/5). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP10 8 Caso 2: x ≥ −6/5. Conforme verificado, neste intervalo, a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x+6| equivale a inequac¸a˜o x2 ≥ 5x+6. Dessa forma, x2 ≥ 5x+ 6⇐⇒ x2 − 5x− 6 ≥ 0. Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos primeiro encontrar as ra´ızes de x2 − 5x − 6 = 0. Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = 1, b = −5 e c = −6, temos que ∆ = b2 − 4ac = 25 + 24 = 49, e, x = −b±√∆ 2a = 5±√7 2 = 5± 7 2 . Logo, o conjunto soluc¸a˜o de x2 − 5x− 6 = 0 e´ formado pelos nu´meros x = 6, x = −1. Desta forma, temos que x2 − 5x− 6 = (x+ 1) (x− 6) . Portanto, x2 − 5x− 6 ≥ 0 ⇐⇒ (x+ 1) (x− 6) ≥ 0. Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o: (−∞,−1) (−1, 6) (6,∞) (x+ 1) − + + (x− 6) − − + (x+ 1) (x− 6) + − + Como vemos na tabela acima, (x+ 1) (x− 6) ≥ 0 ⇔ x < −1 ou x > 6. E, como (x+ 1) (x− 6) = 0⇐⇒ x = −1 ou x = 6, temos que, (x+ 1) (x− 6) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −1 ou x ≥ 6⇐⇒ x ∈ (−∞,−1] ∪ [6,∞). Observe, agora, que so´ devemos tomar os valores de x, soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 − 5x − 6 ≥ 0, que estiverem no intervalo do caso considerado, que e´ o intervalo [−6/5,∞). Desta forma, devemos interceptar a unia˜o de intervalos (−∞,−1] ∪ [6,∞) com o intervalo [−6/5,∞). Temos assim, que o conjunto soluc¸a˜o do Caso 2, o qual chamaremos de S2, e´ dado por S2 = ((−∞,−1] ∪ [6,∞)) ∩ [−6/5,∞) = [−6/5,−1] ∪ [6,∞). Unindo as respostas obtidas em cada um dos dois casos, temos que x2 ≥ |5x+ 6| ⇐⇒ x ∈ S1 ∩ S2 ⇐⇒ x ∈ ((−∞,−3] ∪ [−2,−6/5)) ∪ ([−6/5,−1] ∪ [6,∞)) ⇐⇒ x ∈ (−∞,−3] ∪ [−2,−1] ∪ [6,∞) ⇐⇒ x ≤ −3 ou − 2 ≤ x ≤ −1 ou x ≥ 6 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP10 9 Exerc´ıcio 3 Numa situac¸a˜o idealizada de um certo come´rcio foi estabelecido dois grupos de vende- dores, A e B, para a venda de x unidades de um produto. Sabendo-se que os lucros dos grupos A e B sa˜o medidos, respectivamente, por LA = 5x 2 ( 4x 5 − 38 5 ) + 75 e LB = −(x+ 2)(x− 10) + 13, onde as unidades x do produto pertencem ao conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}. a) Determine a quantidade vendida pelo grupo A quando o lucro deste grupo e´ de 30 reais. b) Determine para quais quantidades vendidas, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B. c) Determine para quais quantidades, o lucro do grupo A e´ menor que o do grupo B. Soluc¸a˜o: a) A fim de determinar a quantidade x vendida pelo grupo A, quando LA e´ igual a 30 reais, temos de resolver a equac¸a˜o 30 = 5x 2 ( 4x 5 − 38 5 ) + 75 ⇐⇒ 30 = 5x 2 · 4x 5 − 5x 2 · 38 5 + 75 ⇐⇒ 30 = 2x2 − 19x+ 75 ⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75− 30 = 0 ⇐⇒ 2x2 − 19x+ 45 = 0 ⇐⇒ x = −(−19)± √ (−19)2 − 4 · (2) · (45) 4 ⇐⇒ x = 19± √ 361− 360 4 ⇐⇒ x = 19± √ 1 4 ⇐⇒ x = 19± 1 4 ⇐⇒ x = 5 ou x = 18 4 = 9 2 . Como x e´ um elemento do conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}, temos que , o grupo A vende uma quantidade de 5 unidades do produto, quando o lucro deste grupo e´ de 30 reais. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP10 10 b) Para determinar a quantidade vendida x, para que o LA seja igual a LB, temos de resolver a equac¸a˜o LA = LB ⇐⇒ 5x 2 ( 4x 5 − 38 5 ) + 75 = −(x+ 2)(x− 10) + 13 ⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75 = −(x2 − 10x+ 2x− 20)+ 13 ⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75 = −(x2 − 8x− 20)+ 13 ⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75 = −x2 + 8x+ 20 + 13 ⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75 = −x2 + 8x+ 33 ⇐⇒ 3x2 − 27x+ 42 = 0 ⇐⇒ 3(x2 − 9x+ 14) = 0 ⇐⇒ x2 − 9x+ 14 = 0 ⇐⇒ x = −(−9)± √ (−9)2 − 4 · (1) · (14) 2 ⇐⇒ x = 9± √ 81− 56 2 ⇐⇒ x = 9± √ 25 2 ⇐⇒ x = 9± 5 2 ⇐⇒ x = 2 ou x = 7. Portanto, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B quando forem vendidos 2 ou 7 unidades do produto. c) Para determinar para quais quantidades, LA e´ menor que LB, temos de resolver a desigualdade Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP10 11 LA < LB ⇐⇒ 5x 2 ( 4x 5 − 38 5 ) + 75 < −(x+ 2)(x− 10) + 13 ⇐⇒ 2x2 − 19x+ 75 < −x2 + 8x+ 33 ⇐⇒ 3x2 − 27x+ 42 < 0 ⇐⇒ 3(x2 − 9x+ 14) < 0 ⇐⇒ x2 − 9x+ 14 < 0 ⇐⇒ (x− 2) (x− 7) < 0. Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o: (−∞, 2) (2, 7) (7,∞) (x− 2) − + + (x− 7) − − + (x− 2) (x− 7) + − + Da tabela acima, temos que (x− 2) (x− 7) < 0 ⇐⇒ 2 < x < 7. Como x e´ um elemento do conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}, temos que o lucro do grupo A e´ menor que o do grupo B para as quantidades 3, 4, 5 ou 6 unidades do produto. Exerc´ıcio 4 Sabe-se que o lucro de uma empresa e´ dado pela relac¸a˜o L = R−C, onde L representa o lucro, R a receita total e C o custo total da produc¸a˜o. Em uma empresa que produziu x unidades de um produto, verificou-se que R = 600x − x2 e C = x2 − 200x. Nestas condic¸o˜es: i) Obtenha a expressa˜o em x que define o lucro dessa empresa. ii) Considerando que essa empresa teve um lucro nulo, qual foi a quantidade de unidades que ela produziu? iii) Qual o significado da situac¸a˜o considerada no item ii) em termos da receita R e do custo C? Soluc¸a˜o:i) L = R− C = (600x− x2)− (x2 − 200x) = 600x− x2 − x2 + 200x = −2x2 + 800x. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP10 12 ii) L = 0 ⇐⇒ −2x2 + 800x = 0 ⇐⇒ 2x2 − 800x = 0 ⇐⇒ x2 − 400x = 0 ⇐⇒ x(x− 400) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x− 400 = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = 400. Como essa empresa produziu x unidades, x 6= 0. Consequentemente, com lucro nulo essa empresa produziu 400 unidades do produto. iii) O significado e´ que a receita total R e´ igual ao custo total C. De fato, pois para x = 400 R = 600(400)− 4002 = 240000− 160000 = 80000 reais, bem como C = 4002 − 200(400) = 160000− 80000 = 80000 reais. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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