Aula7

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(1o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Limites laterais e limites envolvendo o infinito
Diogo de Santana Germano Limites laterais e infinitos...
Limites laterais
Trace o gra´fico da func¸a˜o f (x) =
x
|x |;
O que ocorre quando x → 0?
Diogo de Santana Germano Limites laterais e infinitos...
Limites laterais
Se f (x) e´ definida em (c , b), c < b, e se f (x) fica
arbitrariamente pro´xima de L quando se x se aproxima de
c nesse intervalo, enta˜o f tem limite lateral a` direita L
em c :
lim
x→c+
f (x) = L.
Diogo de Santana Germano Limites laterais e infinitos...
Limites laterais
Se f (x) e´ definida em (c , b), c < b, e se f (x) fica
arbitrariamente pro´xima de L quando se x se aproxima de
c nesse intervalo, enta˜o f tem limite lateral a` direita L
em c :
lim
x→c+
f (x) = L.
Diogo de Santana Germano Limites laterais e infinitos...
Limites laterais
Se f (x) e´ definida em (a, c), a < c , e se f (x) fica
arbitrariamente pro´xima de M quando se x se aproxima de
c nesse intervalo, enta˜o f tem limite lateral a` esquerda
M em c :
lim
x→c−
f (x) = M .
Diogo de Santana Germano Limites laterais e infinitos...
Limites laterais
Se f (x) e´ definida em (a, c), a < c , e se f (x) fica
arbitrariamente pro´xima de M quando se x se aproxima de
c nesse intervalo, enta˜o f tem limite lateral a` esquerda
M em c :
lim
x→c−
f (x) = M .
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Limites laterais
Exemplo (1)
Calcule os limites laterais:
(a) lim
x→−2+
√
4− x2 (b) lim
x→2−
√
4− x2
Diogo de Santana Germano Limites laterais e infinitos...
Limites envolvendo (sen θ)/θ
Teorema
lim
θ→0
sen θ
θ
= 1 (θ em radianos).
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Limites envolvendo (sen θ)/θ
Teorema
lim
θ→0
sen θ
θ
= 1 (θ em radianos).
Diogo de Santana Germano Limites laterais e infinitos...
Limites envolvendo (sen θ)/θ
Figura: Figura para a prova do teorema.
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Limites envolvendo (sen θ)/θ
Figura: Figura para a prova do teorema.
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Limites envolvendo (sen θ)/θ
Figura: Figura para a prova do teorema.
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Limites envolvendo (sen θ)/θ
Figura: Figura para a prova do teorema.
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Limites envolvendo (sen θ)/θ
Exemplo (2)
Mostre que
(a) lim
h→0
cos h − 1
h
= 0;
(b) lim
x→0
sen 2x
5x
=
2
5
;
(c) lim
x→0
cos x − 1
sen 3x
= 0.
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Limites finitos quando x → ±∞
Figura: Gra´fico de y = 1/x . Quando x > 0 vai ficando cada vez maior,
1/x torna-se cada vez menor. Quando x < 0 e´ cada vez maior em
mo´dulo 1/x fica cada vez menor.
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Limites finitos quando x → ±∞
Figura: Gra´fico de y = 1/x . Quando x > 0 vai ficando cada vez maior,
1/x torna-se cada vez menor. Quando x < 0 e´ cada vez maior em
mo´dulo 1/x fica cada vez menor.
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Limites finitos quando x → ±∞
Neste caso dizemos que,
lim
x→±∞
1
x
= 0.
Dizemos que lim
x→+∞ f (x) = L se, a` medida que x
se distancia da origem no sentido positivo, f (x)
fica arbitrariamente pro´ximo de L.
Analogamente, dizemos que lim
x→−∞ f (x) = L se,
a` medida que x se distancia da origem no
sentido negativo, f (x) fica arbitrariamente
pro´ximo de L.
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Limites finitos quando x → ±∞
Neste caso dizemos que,
lim
x→±∞
1
x
= 0.
Dizemos que lim
x→+∞ f (x) = L se, a` medida que x
se distancia da origem no sentido positivo, f (x)
fica arbitrariamente pro´ximo de L.
Analogamente, dizemos que lim
x→−∞ f (x) = L se,
a` medida que x se distancia da origem no
sentido negativo, f (x) fica arbitrariamente
pro´ximo de L.
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Limites finitos quando x → ±∞
Neste caso dizemos que,
lim
x→±∞
1
x
= 0.
Dizemos que lim
x→+∞ f (x) = L se, a` medida que x
se distancia da origem no sentido positivo, f (x)
fica arbitrariamente pro´ximo de L.
Analogamente, dizemos que lim
x→−∞ f (x) = L se,
a` medida que x se distancia da origem no
sentido negativo, f (x) fica arbitrariamente
pro´ximo de L.
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Limites finitos quando x → ±∞
IMPORTANTE: Para
calcular limites no infinito
usaremos
lim
x→±∞ k = k e limx→±∞
1
x
= 0.
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Limites finitos quando x → ±∞
Teorema (Leis do limite no infinito)
Se L, M, c e k sa˜o nu´meros reais e lim
x→±∞ f (x) = L
e lim
x→±∞ g(x) = M, enta˜o
1 Regra da soma: lim
x→±∞(f (x)± g(x)) = L±M;
2 Regra do produto: lim
x→±∞(f (x) · g(x)) = L ·M;
3 Regra da multiplicac¸a˜o por constante:
lim
x→±∞(k · f (x)) = k · L;
4 Regra do quociente: lim
x→±∞
f (x)
g(x)
=
L
M
, M 6= 0;
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Limites finitos quando x → ±∞
Teorema (Leis do limite no infinito)
Se L, M, c e k sa˜o nu´meros reais e lim
x→±∞ f (x) = L
e lim
x→±∞ g(x) = M, enta˜o
1 Regra da soma: lim
x→±∞(f (x)± g(x)) = L±M;
2 Regra do produto: lim
x→±∞(f (x) · g(x)) = L ·M;
3 Regra da multiplicac¸a˜o por constante:
lim
x→±∞(k · f (x)) = k · L;
4 Regra do quociente: lim
x→±∞
f (x)
g(x)
=
L
M
, M 6= 0;
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Limites finitos quando x → ±∞
Teorema (Leis do limite no infinito)
Se L, M, c e k sa˜o nu´meros reais e lim
x→±∞ f (x) = L
e lim
x→±∞ g(x) = M, enta˜o
1 Regra da soma: lim
x→±∞(f (x)± g(x)) = L±M;
2 Regra do produto: lim
x→±∞(f (x) · g(x)) = L ·M;
3 Regra da multiplicac¸a˜o por constante:
lim
x→±∞(k · f (x)) = k · L;
4 Regra do quociente: lim
x→±∞
f (x)
g(x)
=
L
M
, M 6= 0;
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Limites finitos quando x → ±∞
Teorema (Leis do limite no infinito)
Se L, M, c e k sa˜o nu´meros reais e lim
x→±∞ f (x) = L
e lim
x→±∞ g(x) = M, enta˜o
1 Regra da soma: lim
x→±∞(f (x)± g(x)) = L±M;
2 Regra do produto: lim
x→±∞(f (x) · g(x)) = L ·M;
3 Regra da multiplicac¸a˜o por constante:
lim
x→±∞(k · f (x)) = k · L;
4 Regra do quociente: lim
x→±∞
f (x)
g(x)
=
L
M
, M 6= 0;
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Limites finitos quando x → ±∞
Teorema (Leis do limite no infinito)
Se L, M, c e k sa˜o nu´meros reais e lim
x→±∞ f (x) = L
e lim
x→±∞ g(x) = M, enta˜o
1 Regra da soma: lim
x→±∞(f (x)± g(x)) = L±M;
2 Regra do produto: lim
x→±∞(f (x) · g(x)) = L ·M;
3 Regra da multiplicac¸a˜o por constante:
lim
x→±∞(k · f (x)) = k · L;
4 Regra do quociente: lim
x→±∞
f (x)
g(x)
=
L
M
, M 6= 0;
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Limites finitos quando x → ±∞
Teorema (Leis do limite)
Se L, M, c e k sa˜o nu´meros reais e lim
x→±∞ f (x) = L
e lim
x→±∞ g(x) = M, enta˜o
5 Regra da potenciac¸a˜o: se r e s sa˜o inteiros e
na˜o teˆm um fator comum, e s 6= 0, enta˜o
lim
x→±∞(f (x))
r/s = Lr/s , desde que Lr/s seja um
nu´mero real.
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Limites finitos quando x → ±∞
Exemplo (3)
Calcule os limites:
(a) lim
x→∞
(
5 +
1
x
)
;
(b) lim
x→∞
pi
√
3
x2
.
Diogo de Santana Germano Limites laterais e infinitos...
Limites no infinito de func¸o˜es racionais
Dica: Dividanumerador e denominador pela maior
poteˆncia.
Exemplo (4)
Calcule os limites:
(a) lim
x→∞
5x2 + 8x − 3
3x2 + 2
;
(b) lim
x→∞
11x + 2
2x3 − 1 .
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Limites no infinito de func¸o˜es racionais
Dica: Divida numerador e denominador pela maior
poteˆncia.
Exemplo (4)
Calcule os limites:
(a) lim
x→∞
5x2 + 8x − 3
3x2 + 2
;
(b) lim
x→∞
11x + 2
2x3 − 1 .
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Limites no infinito de func¸o˜es racionais
Dica: Divida numerador e denominador pela maior
poteˆncia.
Exemplo (4)
Calcule os limites:
(a) lim
x→∞
5x2 + 8x − 3
3x2 + 2
;
(b) lim
x→∞
11x + 2
2x3 − 1 .
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Ass´ıntotas horizontais
Se a distaˆncia entre o gra´fico de uma func¸a˜o e uma
reta fixa se aproxima de zero a` medida que um
ponto se afasta da origem, dizemos que a curva se
aproxima assintoticamente da reta e que a reta e´
uma ass´ıntota do gra´fico.
Definic¸a˜o (Ass´ıntota horizontal)
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal do
gra´fico da func¸a˜o y = f (x) se
lim
x→∞ f (x) = b ou limx→−∞ f (x) = b.
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Ass´ıntotas horizontais
Se a distaˆncia entre o gra´fico de uma func¸a˜o e uma
reta fixa se aproxima de zero a` medida que um
ponto se afasta da origem, dizemos que a curva se
aproxima assintoticamente da reta e que a reta e´
uma ass´ıntota do gra´fico.
Definic¸a˜o (Ass´ıntota horizontal)
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal do
gra´fico da func¸a˜o y = f (x) se
lim
x→∞ f (x) = b ou limx→−∞ f (x) = b.
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Ass´ıntotas horizontais
Se a distaˆncia entre o gra´fico de uma func¸a˜o e uma
reta fixa se aproxima de zero a` medida que um
ponto se afasta da origem, dizemos que a curva se
aproxima assintoticamente da reta e que a reta e´
uma ass´ıntota do gra´fico.
Definic¸a˜o (Ass´ıntota horizontal)
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal do
gra´fico da func¸a˜o y = f (x) se
lim
x→∞ f (x) = b ou limx→−∞ f (x) = b.
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Ass´ıntotas horizontais
Exemplo (5)
Determine as ass´ıntotas horizontais das curvas
1 f (x) =
5x2 + 8x − 3
3x2 + 2
;
2 f (x) = sen(1/x);
3 f (x) = 2 +
sen x
x
;
4 f (x) =
2x2 − 3
7x + 4
.
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Ass´ıntotas horizontais
Figura: Gra´fico de f (x) =
5x2 + 8x − 3
3x2 + 2
.
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Ass´ıntotas horizontais
Figura: Gra´fico de f (x) = sen(1/x).
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Ass´ıntotas horizontais
Figura: Gra´fico de f (x) = 2 +
sen x
x
.
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Ass´ıntotas horizontais
Figura: Gra´fico de f (x) =
2x2 − 3
7x + 4
.
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