Aula15_circulo_de_mohr

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G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
Círculo de Mohr
G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
Procedimento gráfico para determinar as tensões
 e que atuam em um plano genérico.θ θσ τ
cos 2 sin 2
2 2
xx yy xx yy
xyθ
σ σ σ σ
σ θ τ θ
+ − 
= + + 
 
sin 2 cos 2
2
xx yy
xyθ
σ σ
τ θ τ θ
− 
= − + 
 
G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
2 2
2
2
cos 2 sin 2
2 2
sin 2 cos 2
2
xx yy xx yy
xy
xx yy
xy
θ
θ
σ σ σ σ
σ θ τ θ
σ σ
τ θ τ θ
   + −   

− = +      
       
+
  − 
= − +   
    
������������������������������������������
�
2
22
2 2
2 2
( )
( )
2 2
c
c
xx yy xx yy
xy
y y
rx x
θ θ
σ σ σ σ
σ τ τ
−
−
 + −   
− + = +    
    
������������������
G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
2 2 2( ) ( )c cx x y y r− + − =
x θσ=
2
xx yy
cx
σ σ+ 
=  
 
y θτ=
0cy =
2
2
2
xx yy
xyr
σ σ
τ
− 
= + 
 
r
y
x
G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
xxσxxσ
yyσ
yyσ
τ
τ
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O
xxσ
xyτ
xyτ
yyσ
1σ
2σ
( ),yy xyσ τ
( ),xx xyσ τ
2θ
R
( )horárioθτ
( )anti-horárioθτ
θσ
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Centro do Círculo
Oc
2
xx yyσ σ+
=
2
2
raio do círculo
2
xx yy
xyr
σ σ
τ
− 
= + 
 
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Tensões principais:
2
1 2
1,2
2 2 2
xx yy xx yy
xy
Oc r
Oc r
σ σ σ σσ
σ τ
σ
+ −= +  
= ± +  
= −   
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Tensões cisalhantes máximas
São 2 pontos no círculo de coordenadas
2
2
,
2 2
xx yy xx yy
xy
σ σ σ σ
τ
 + −  +   
 
τ
σ
max raio do círculoτ =
max raio do círculoτ =
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G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
2
2
max max ou 2 2
xx yy xx yy
xyr
σ σ σ σ
τ τ τ
− − 
= = + = 
 
1 2
maxonde , 2 2
xx yyσ σ σ στ τ σ
+ +
= = =
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Exercício:
Para o elemento de tensão mostrado determinar e indicar as 
tensões de cisalhamento máximas e as tensões principais com os 
respectivos planos 
100MPa
100MPa
50MPa
50MPa
200MPa
200MPa