CALCULO, coordenadas polares

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Ensino Superior
10. Integrais Duplas
Coordenadas Polares
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
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Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Através de uma mudança de variáveis
x = x(u, v) e y = y(u, v)
	uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv.
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Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
	A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa
u = u(x, y) e v = v(x, y).
	Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D, respectivamente, temos
(3)
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Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
	Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por
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Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
	A transformação que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy é dada por
	e seu jacobiano é dado por
(4)
	Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por:
(5)
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Coordenadas Polares
	Obtenção da Fórmula
	Para que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e  satisfazem:
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Coordenadas Polares
	Área A’ do retângulo em D’
	Área A do retângulo polar em D
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Coordenadas Polares
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Coordenadas Polares
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Coordenadas Polares
dA = dxdy = rdrdq
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Coordenadas Polares
	Integral Dupla em D’
	Assim, obtemos o jacobiano rk da fórmula (5).
	Enumerando os retângulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrário (xk , yk) no k-ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por
(rk cosk , rk sink)
	é equivalente a
	onde A'k = rkk é a área do k-ésimo retângulo em D’.
	que tem representação (rk , k) referente à região correspondente em D’. Assim, a soma de Riemann
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Coordenadas Polares
	Assim, se tomarmos limite com n   com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero, temos
	dada pela fórmula (5).
	que equivale a integral
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Coordenadas Polares
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Coordenadas Polares
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Coordenadas Polares
y
r
x
x

y
P
y = r sen 
x = r cos 
sen  = y/r
cos  = x/r
r2 = x2 + y2
 = arctg y/x
retang.  polares
polares  retang.
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Curvas em Coordenadas Polares
y
2
x
1 
1    2
r = f () 

P 
r 
 
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Regiões em Coordenadas Polares
y
2
x
1 
1    2
f1 ()  r  f2 () 
r = f2 ()
r = f1 () 
R
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Integrais Duplas em Coordenadas Polares
y
x
 

R
Rk = (r12 - r22)( - )/2 
r1
r2
Rk
= [(r1 + r2)/2] (r)
unidade de área:
 Rk 
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Integrais Duplas em Coordenadas Polares
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Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares
R:    
 r1 ()  r  r2 () 
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Exercícios
Exemplo: Calcular 
R é a região semicircular, x2 + y2 = 1, onde y é positivo.
R = 1
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Área de uma superfície
Exemplo: 
Achar a área do parabolóide z = f(x,y) = x2 + y2 
abaixo do plano z = 4. (sugestão: usar coordenadas polares).
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Exercícios
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Exercícios
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Cálculo de Volumes - Aplicações
	Para f (x, y)  0, a integral
	nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.
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Cálculo de Volumes - Aplicações
A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)
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Teorema de Fubini
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Teorema de Fubini
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Exercícios
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Cálculo Áreas de Regiões Planas
	Fazendo f (x, y) = 1, a área da região de integração D é dada por:
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Exercícios
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