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UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA
CAMPUS VII - GOVERNADOR ANTÔNIO MARIZ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E SOCIAIS APLICADAS
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS I
PROF MARCOS T. L. DA SILVA
Lista de Exercícios
1. Decida se cada conjunto G dotado da operação "⋆ "indicada forma um grupo. Se não,
indique uma entre as propriedades (G1) , (G2) e (G3) que não é satisfeita. Verifique também
quais dos grupos são abelianos.
a) G =
{
x+ y
√
2 ∈ R∗ : x, y ∈ Q
}
, a ⋆ b = a · b.
b) G =
{
x+ y
√
2 ∈ R∗ : x, y ∈ Z
}
, a ⋆ b = a · b.
c) G = C, z1 ⋆ z2 = ∥z1 · z2∥ (o módulo de um número complexo).
d) G = R∗, a ⋆ b = a/b.
e) G =
{
x
y
: x, y ∈ Z , com y ímpar }, a ⋆ b = a+ b.
f) G = Q+, a ⋆ b = ab
2
.
2. Considere G = Q− {1}. Para quaisquer a, b ∈ G, defina * por
a ⋆ b = a+ b+ ab
a) Mostre que ⋆ é uma operação sobre G.
b) Mostre que (G, ⋆) é um grupo abeliano.
c) Determine em G a solução da equação 4 ⋆ x ⋆ 5 = 8.
3. Seja PSL(2,R) o conjunto de todas as transformações lineares fracionárias T : C → C,
definidas por
T (z) =
az + b
cz + d
em que a, b, c, d ∈ R e ad − bc = 1. Essas transformações também são conhecidas como
transformações de Möbius. Prove que PSL(2,R) é um grupo sob a operação de compo-
sição.
4. No grupo S3, determine um número natural s para o qual αs = e, para todo α ∈ S3.
5. Mostre que se G é um grupo abeliano, então (a · b)k = ak · bk, para quaisquer a, b ∈ G e
para todo k ∈ Z.
6. Mostre que em um grupo ( G, ⋆ ), o único elemento idempotente é a identidade. [Dica:
lembrar que um elemento a ∈ G é idempotente quando a ⋆ a = a.]
7. Se G é um grupo e (a · b)2 = a2 · b2 para quaisquer a, b ∈ G, prove que G é abeliano.
8. Seja A um conjunto não vazio qualquer. Sobre P(A) (conjunto das partes de A) considere
a operação "+ "(diferença simétrica) dada por
A+B = (A−B) ∪ (B − A)
a) Prove que G = (P(A),+) é um grupo 11. É ele abeliano?
b) Construa a tábua do grupo P(A) para A = {a, b, c}.
9. Seja G um grupo abeliano finito, digamos G = {a1, a2, . . . , an}. Prove que se x =
a1a2 · · · an, então x2 = e.
10. Sejam G um grupo e a, b ∈ G. Mostre que:
a) (ab)−1 = a−1b−1 se, e somente se, ab = ba.
b) (ab)2 = a2b2 se, e somente se, ab = ba.
c) Se a ̸= e e a4b = ba5, então ab ̸= ba.
11. Seja G um grupo e x ∈ G. Prove que:
a) xm · xn = xm+n, ∀m,n ∈ Z
b) (xm)n = xmn, ∀m,n ∈ Z
12. Seja G um grupo. G diz-se cíclico se ∃x ∈ G tal que G = ⟨x⟩, e o elemento x chama-se
um gerador de G.
Prove que:
a) Todo grupo cíclico é abeliano.
b) (Z, +) é um grupo cíclico tendo 1 e -1 como geradores.
c) Zp = {0, 1, . . . , p− 1},+ com p primo é um grupo cíclico tendo 1, 2, . . . , p− 1 como
geradores.
13. Seja G um grupo abeliano. Prove que: Se x, y ∈ G e m ∈ Z então (xy)m = xm · ym.
14. Seja G um grupo tendo e como elemento identidade. Prove que: Se x2 = e,∀x ∈ G então
G é um grupo abeliano.
15. Determine f, g ∈ S3 tais que: a) (f ◦ g)3 ̸= f 3 ◦ g3
b) (f ◦ g)2 ̸= f 2 ◦ g2
16. a) Determine todos os elementos f ∈ S3 tais que
f 2 = e, f ̸= e
b) Determine todos os elementos f ∈ S3 tais que
f 3 = e, f ̸= e
17. Seja V = {e, f, g, h} o seguinte subconjunto do grupo S4 :
e =
(
1 2 3 4
1 2 3 4
)
; f =
(
1 2 3 4
2 1 4 3
)
g =
(
1 2 3 4
3 4 1 2
)
; h =
(
1 2 3 4
4 3 2 1
)
a) Prove que V , o é um grupo contendo 4 elementos onde o é a operação de S4.
b) Prove que V , o é um grupo abeliano não cíclico.
18. Seja G um grupo e x, y, z ∈ G. Prove que:
a) xy = xz ⇒ y = z
b) yx = zx⇒ y = z (leis do cancelamento)
c) (xy)−1 = y−1 · x−1
d) (x−1)
−1
= x
19. Seja G um grupo contendo exatamente 2n elementos, n ≥ 1 inteiro. Prove que, ∃x ̸= e
tal que x2 = e onde e representa a identidade de G.
20. Seja G um conjunto não vazio finito e∗ uma operação associativa em G.
Prove que:
Se são válidas em G, ∗ as leis do cancelamento então G, *é um grupo.
21. Seja Gp =
{
m
pα
: m ∈ Z, α ∈ N e M.D.C. {pα,m} = 1} onde p é um número primo
fixo. É (Gp,+) um grupo? Se 1
p
∈ (G,+) calcule o grupo
〈
1
p
〉
. Calcule também〈
1
p2
〉
,
〈
1
p3
〉
, . . . ,
〈
1
pn
〉
onde n ∈ N.
22. Quais dos seguintes subconjuntos G de Z13 = {0, 1, 2, . . . , 12} são grupos com a operação
de multiplicação?
a) G = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
b) G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
c) G = {1, 3, 5, 8, 9}
23. Seja (G, ∗) um grupo e a, b, c ∈ G. Prove que a equação x ∗ a ∗ x ∗ b = x ∗ c possui uma
única solução em G.
24. Prove que G = {z ∈ C : |z| = 1} é um grupo abeliano com a operação de multiplicação
de números complexos.
25. Sejam G um grupo e defina
Z(G) = {a ∈ G : a · x = x · a ∀x ∈ G}.
Prove que Z(G) é um subgrupo abeliano de G. ((Z(G) é denominado de centro do grupo
G)).
26. Prove que:
a) Z (S3) = {e}
b) Z (Q8) = {1,−1}
c) Z (D4) = {e, θ2}
d) Z (Dn) =
{
{e} se n ímpar.{
e, θ
n
2
}
se n par.
e) Z (A4) = {e}.
27. Prove que {e, r, θ2, rθ2} é um subgrupo abeliano (não cíclico) de D4.
28. Prove que ⟨i, j⟩ = Q8 = ⟨j, k⟩ = ⟨i, k⟩.
29. Descreva todas as permutaçães de A4.
30. Se G é um grupo e H ≤ G tal que |G/H| = n dizemos que o indice de H em G é igual a
n.
a) Calcule o índice de H = Zm ∩ Zn no grupo G = (Z, +) onde m,n são inteiros ≥ 1.
b) Se H,K ≤ G e |G/H| = m e |G/K| = n. Prove que |G/H ∩K| ≤ m · n.
c) Calcule o índice de An em Sn, e prove que |An| = n!/2.
31. SejaG um grupoe x ∈ G. Definimos ordem do elemento x, simbolizada porO(x), comoO(x) =
|⟨x⟩|.
a) Prove que se O(x)(considere aqui G um grupo finito).
d) H ⊴G⇔ NG(H) = G.
(NG(H) é chamado de normalizador de H em G )
53. Sejam N1, N2 subgrupos normais de um grupo G tais que: G = N1N2 e N1 ∩ N2 = {e}.
Prove que: se g ∈ G existe únicos n1 ∈ N1, n2 ∈ N2 tais que: g = n1n2.
54. Seja G um grupo abeliano finito e seja n um inteiro ≥ 1 tal que M.D.C. {n, |G|} = 1.
Prove que:
ψ :G→ G
x⇝ xn
é um automorfismo de G.
55. Sejam M,N ⊴G. Prove que:
MN/N ≃M/M ∩N
Sugestão: Considere o homomorfismo definido por:
ψ :M →MN/N
m⇝ Nm
e mostre que ψ é sobrejetivo e mais N(ψ) =M ∩N.
56. Se G é um grupo tal que |G| ≥ 3 então |Aut(G)| ≥ 2.
57. Seja G um grupo tal que |G| = 2 · p onde p é um número primo. Então ∃H ⊴G tal que
|H| = p.
58. Seja G um grupo tal que |G| = p · q onde p e q são primos. Prove que:
a) Se G é abeliano e p ̸= q então G é cíclico.
b) Se p