Aula 4 - Professor Sandro - Lab. de Física 1

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Aula 04- Propagação de Incertezas
1-) Precisão e Exatidão
Sejam dois conjuntos de medidas da posição do centro de um círculo.
Qual o conjunto de medidas é mais preciso ?
Qual o conjunto é mais exato ?
Em engenharia, ciência, indústria e estatística, precisão é o grau de variação de 
resultados de uma medição.
A precisão tem como base o desvio-padrão de uma série de repetições da mesma 
análise.
Exatidão indica a proximidade da medida aos valores que são aceitáveis.
Não é preciso 
mas é Exato 
É preciso, 
porém não é 
exato
2-) Propagação de Erros
Uma medida é indireta quando é obtida a partir de expressões matemáticas
que a relacionam com outras grandezas medidas diretamente.
Ex.: Um corpo, em linha reta, com aceleração constante, tal que a distância (x)
varie com o tempo (t) :
𝑥 = 5 ∙ 𝑡2
Após um intervalo de tempo medido, 𝒕 = ( 𝟕, 𝟓 ± 0,4 ) s , qual a distância 
percorrida pelo corpo ?
Incerteza !!
A maneira formal de calcular a propagação de incertezas em medidas indiretas 
é baseada no cálculo diferencial.
Utilizaremos, no entanto, um processo mais intuitivo para ilustrar este 
método.
Ex.: Seja a função 𝑥 = 5𝑡2
5 10 15
t(s)
x(m)
Consideremos que as medidas
Individuais de tempo foram
tomadas com a mesma incerteza:
∆𝑡 = ±0,4 𝑠
∆𝑡
∆ 𝑥
Fórmula Geral para a propagação de Incertezas
Se q = q (x,...,z) é qualquer função de x, ... , z, então
𝛿𝑞 =
𝜕𝑞
𝜕𝑥
𝛿𝑥
2
+⋯+
𝜕𝑞
𝜕𝑧
𝛿𝑧
2
Derivadas parciais
Existe uma maneira mais simples de se determinar a 
propagação !!
Um conjunto de regras, que permite 
determinar valores aproximados para as 
incertezas propagadas em funções simples.
Regras para a Propagação das Incertezas
1 -) Se a função f é a soma ou subtração de grandezas x, y, z,.... , então:
∆𝑓 = ∆𝑥 + ∆𝑦 + ∆𝑧 +⋯
( A incerteza absoluta em f é a soma das incertezas absolutas das grandezas x, y, z,...)
2 - ) Se f é a multiplicação de uma grandeza “x” por uma constante k :
∆𝑓 = 𝑘 ∙ ∆𝑥
(A incerteza absoluta em f é k vezes a incerteza absoluta da grandeza x )
3 - ) Se f é a divisão de uma grandeza x por uma constante k :
∆f = 
∆𝑥
𝑘
( A incerteza absoluta em f é a incerteza absoluta da grandeza x dividida por k )
4 - ) Se f é a multiplicação ou divisão de grandezas x, y, z, ..., então:
∆𝑓
𝑓
=
∆𝑥
𝑥
+
∆𝑦
𝑦
+
∆𝑧
𝑧
+ ⋯
( A incerteza relativa em f é a soma das incertezas relativas das grandezas
x, y, z, ... )
5 - ) Se f é proporcional à potência n de uma grandeza x :
∆𝑓
𝑓
= 𝑛 ∙
∆𝑥
𝑥
( A incerteza relativa em f é n vezes a incerteza relativa de x )
Exemplo:
Seja, o nosso exemplo anterior: 𝑥 = 5𝑡2
E os instantes: 𝑡1 = 7,5 ± 0,4 𝑠 𝑒 𝑡2 = 20,0 ± 0,4 𝑠
Qual a incerteza em x nos instantes 𝒕𝟏 e 𝒕𝟐 ?? 
Qual o valor de ∆𝑥 𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝒕𝟏 e 𝒕𝟐 ??
Solução:
1-) Efetuar uma pequena mudança de variável:
𝑚 = 𝑡2 𝑥 = 5𝑡2 𝑥 = 5 ∙ 𝑚
2-) Agora, através da regra 2: 
∆ x =5∙ ∆𝑚
3-) Determinando ∆𝑚 ∶
𝑚 = 𝑡2 Pela regra 5: 
∆𝑚
𝑚
= 2 ∙
∆𝑡
𝑡
Logo: ∆𝑚 = 2 ∙
∆𝑡
𝑡
∙ 𝑚
( I )
4-) Aplicando-se em ( I ) : ∆𝑥 = 10 ∙
∆𝑡
𝑡
∙ 𝑚
5-) Lembrando-se que 𝑚 = 𝑡2, então: ∆𝑥 = 10 ∙ 𝑡 ∙ ∆𝑡
Logo, para os instantes 𝒕𝟏 e 𝒕𝟐 teremos : 
∆𝑥1= 10 ∙ 𝑡1 ∙ ∆𝑡
∆𝑥2= 10 ∙ 𝑡2 ∙ ∆𝑡
∆𝑥1= 10 ∙ 7,5 ∙ 0,4 = 30 𝑚
∆𝑥2= 10 ∙ 20,0 ∙ 0,4 = 80 𝑚