Limites_02

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1. Limites e continuidade 
 
1.1 Definição informal de Limites de uma função 
 
1.2 Limites de uma função e leis do limite 
 
1.3 Limites laterais. 
 
1.4 Limites que envolvem infinidade: assíntotas 
de gráficos 
 
1.5 Continuidade 
 
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Técnicas para a determinação de limites 
 Estas técnicas têm por objetivo introduzir 
teoremas que permitam simplificar problemas que 
envolvam limites sem o uso excessivo e laborioso da 
definição precisa de limite. 
 Consideremos os limites de duas funções muito simples: 
 
(i) A função constante 𝑓 dada por 𝑓(𝑥) = 𝑘, onde 𝑘 ∈ ℝ ; 
 
(ii) A função linear 𝑔 dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥 . 
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(i) A função constante 𝒇 dada por 𝒇(𝒙) = 𝒌 
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑥0
𝑘 = 𝑘 
 
Costuma-se indicar este 
limite dizendo que: 
 
O limite de uma constante 
é a própria constante. 
𝑘 
𝑘 
𝑘 
𝑥0 
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𝑥0 
𝑥0 
4 
 O gráfico de 𝑔 está esboçado na figura abaixo. 
Observe que quando 𝑥 → 𝑥0, 𝑔 𝑥 → 𝑥0; isto é 
lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑥0
𝑥 = 𝑥0 
 
(ii) A função linear 𝒈 dada por 𝒈(𝒙) = 𝒙 . 
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EXEMPLOS 
 
 lim
𝑥→3
8 = 8 lim
𝑥→8
3 = 3 
lim
𝑥→ 2
𝑥 = 2 lim
𝑥→−4
𝑥 = −4 
  
  
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Técnicas para a determinação de limites 
TEOREMA 1 – Leis do limite Se L, M, c, k∈ ℝ e 
 
 e , então 
 
1. Regra da soma 
2. Regra da diferença 
3. Regra da multiplicação 
por constante 
4. Regra do produto 
5. Regra do quociente 
 
 
6. Regra da potenciação 
7. Regra da raiz 
 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) = 𝑀 
 
lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝐿 + 𝑀 
 
lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝐿 − 𝑀 
 
lim
𝑥→𝑐
𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝐿 
 
lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝐿 ∙ 𝑀 
 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝑀
 (𝑀 ≠ 0) 
 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑛 = 𝐿𝑛 (𝑛 ∈ ℤ > 0) 
 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)𝑛 = 𝐿
𝑛
= 𝐿1/𝑛 (𝑛 ∈ ℤ > 0) 
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 de modo que , se 
 
 
 
então, 
 
 
7 
TEOREMA Se 𝑚, 𝑏 e 𝑎 são números reais, mostre que 
lim
𝑥→𝑎
𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚𝑎 + 𝑏 
PROVA Pelo lei da soma e multiplicação de limites, encontramos 
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎, lim
𝑥→𝑎
𝑚 = 𝑚 lim
𝑥→𝑎
𝑏 = 𝑏 , 
lim
𝑥→𝑎
( 𝑚𝑥 + 𝑏) = lim
𝑥→𝑎
𝑚𝑥 + lim
𝑥→𝑎
𝑏 
 = lim
𝑥→𝑎
𝑚 ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑥 + lim
𝑥→𝑎
𝑏 
 
lim
𝑥→𝑎
( 𝑚𝑥 + 𝑏) = lim
𝑥→𝑎
𝑚 ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑥 + lim
𝑥→𝑎
𝑏 = 𝑚𝑎 + 𝑏 
e 
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EXEMPLOS 
lim
𝑥→−2
(5𝑥 + 2) = 5 −2 + 2 = −8 
lim
𝑥→6
(4𝑥 − 11) = 4 6 − 11 = 13 
lim
𝑥→2
3𝑥 + 4
5𝑥 + 7
=
lim
𝑥→2
3𝑥 + 4
lim
𝑥→2
5𝑥 + 7
=
3 2 + 4
5 2 + 7
=
10
17
 
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EXEMPLO Prove que 
9 
lim
𝑥→𝑎
𝑥3 = 𝑎3 . 
SOLUÇÃO Como lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎 , então 
lim
𝑥→𝑎
𝑥3 = lim
𝑥→𝑎
(𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥) 
= lim
𝑥→𝑎
𝑥 ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑥 ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑥 
= 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎3 
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EXEMPLO Determine lim
𝑥→2
(3𝑥 + 4)5 . 
SOLUÇÃO 
lim
𝑥→2
(3𝑥 + 4)5 = lim
𝑥→2
(3𝑥 + 4)
5
 
= 3 2 + 4 5 
 = 105 
 
= 100.000 
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EXEMPLO Determine lim
𝑥→−2
(5𝑥3 + 3𝑥2 − 6) . 
SOLUÇÃO Procedemos como segue: 
lim
𝑥→−2
5𝑥3 + 3𝑥2 − 6 = lim
𝑥→−2
5𝑥3 + lim
𝑥→−2
3𝑥2 − lim
𝑥→−2
(6) 
 = 5 lim
𝑥→−2
𝑥3 + 3 lim
𝑥→−2
𝑥2 − 6 
 
 = 5(−2)3+3(−2)2−6 
 
 = 5(−8) + 3(4) − 6 
 
 = −34 
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TEOREMA 1.11 Se 𝑓 é uma função polinomial e 
𝑎 ∈ ℝ, então 
 lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) 
PROVA Como 𝑓 é uma função polinomial 
 
 
𝑓 𝑥 = 𝑏𝑛𝑥
𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑏0 
 
para 𝑏𝑛, 𝑏𝑛−1, … , 𝑏𝑜 ∈ ℝ. Aplicando o limite, temos 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
(𝑏𝑛𝑥
𝑛) + lim
𝑥→𝑎
(𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1) + ⋯ + lim
𝑥→𝑎
𝑏0 
 
 = 𝑏𝑛 lim
𝑥→𝑎
(𝑥𝑛) + 𝑏𝑛−1 lim
𝑥→𝑎
(𝑥𝑛−1) + ⋯ + lim
𝑥→𝑎
𝑏0 
 
 = 𝑏𝑛𝑎
𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑎
𝑛−1 + ⋯ + 𝑏0 = 𝑓(𝑎) 
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TEOREMA 1.12 Se 𝑞 é uma função racional e 
𝑎 ∈ ℝ está no domínio de 𝑞, então 
 lim
𝑥→𝑎
𝑞 𝑥 = 𝑞(𝑎) 
PROVA Se q é uma função racional, então 
𝑞 𝑥 = 𝑓(𝑥)/𝑕(𝑥), em que 𝑓 e 𝑕 são polinômios. 
Se 𝑎 está no domínio de 𝑞, então 𝑕(𝑎) ≠ 0 . Os 
teoremas anteriores nos fornece então: 
lim
𝑥→𝑎
𝑞 𝑥 =
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑕 𝑥
=
𝑓(𝑎)
𝑕(𝑎)
= 𝑞(𝑎) 
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EXEMPLO Determine lim
𝑥→3
5𝑥2 − 2𝑥 + 1
4𝑥3 − 7
 . 
SOLUÇÃO Procedemos como segue: 
 lim
𝑥→3
5𝑥2−2𝑥+1
4𝑥3−7
=
5(3)2−2 3 +1
4(3)3−7
 
 =
45−6+1
108−7
 
 =
40
101
 
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EXEMPLO Determine lim
𝑥→8
𝑥2/3 + 3 𝑥
4 − (16/𝑥)
 . 
SOLUÇÃO Procedemos como segue: 
 lim
𝑥→8
𝑥2/3+3 𝑥
4−(16/𝑥)
=
82/3+3 8
4−(16/8)
 
 
 =
4+6 2
4−2
 
 
 = 2 + 3 2 
 
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EXEMPLO Determine lim
𝑥→5
3𝑥2 − 4𝑥 + 9 . 
SOLUÇÃO Procedemos como segue: 
lim
𝑥→5
3𝑥2 − 4𝑥 + 9
3
= lim
𝑥→5
(3𝑥2 − 4𝑥 + 9)3 
 
 = 75 − 20 + 9
3
 
 
 = 64
3
 
 
 = 4 
3 
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Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 2.2 
 
Questões 37-42. 
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TEOREMA DO CONFRONTO (Sanduíche ou do aperto) 
 
Suponhamos g 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑕(𝑥) para todo 𝑥 em um intervalo 
aberto contendo 𝑐, exceto possivelmente para o próprio 𝑐. 
𝑆𝑒 lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) = 𝐿 = lim
𝑥→𝑐
𝑕(𝑥) , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 . 
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EXEMPLO Use o teorema do confronto para provar que 
lim
𝑥→0
𝑥2𝑠𝑒𝑛
1
𝑥2
= 0 
SOLUÇÃO Como −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ≤ 1 para todo real 𝑡, então 
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 
1
𝑥2
≤ 1 
para todo 𝑥 ≠ 0. Multiplicando por 𝑥2 (que é positivo se 𝑥 ≠ 0), 
obtemos 
 −𝑥2 ≤ 𝑥2𝑠𝑒𝑛
1
𝑥2
≤ 𝑥2, 
ou seja, o gráfico de y = 𝑥2𝑠𝑒𝑛
1
𝑥2
 está entre os gráficos das 
parábolas y = −𝑥2 e y = 𝑥2. Comolim
𝑥→0
(−𝑥2) = 0 e lim
𝑥→0
𝑥2 = 0 , 
Segue-se pelo teorema do confronto, que lim
𝑥→0
𝑥2𝑠𝑒𝑛
1
𝑥2
= 0 . 
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𝐲 = 𝒙𝟐 
𝐲 = −𝒙𝟐 
y = 𝑥2𝑠𝑒𝑛
1
𝑥2
 
lim
𝑥→0
𝑥2𝑠𝑒𝑛
1
𝑥2
= 0 
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EXEMPLO Se 2 − 𝑥2 ≤ 𝑔 𝑥 ≤ 2 cos 𝑥 para qualquer 
 
𝑥, determine lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) . 
SOLUÇÃO 
 O gráfico de 𝑔(𝑥) está entre os gráficos de y = 2 − 𝑥2 e 
y = 2 cos 𝑥. Como 
lim
𝑥→0
(2 − 𝑥2) = 2 e lim
𝑥→0
2 cos 𝑥 = 2 , 
Segue-se pelo teorema do confronto, que 
lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) = 2 . 
Ref. Thomas, seção 2.2, Exercício 50 
 
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EXEMPLO Suponha que as desigualdades 
1
2
−
𝑥2
24
<
1 − cos 𝑥
𝑥2
<
1
2
 
valham para valores de 𝑥 próximos a zero. O que dizer a respeito de 
lim
𝑥→0
1 − cos 𝑥
𝑥2
 ? 
Justifique suas respostas. 
Ref. Thomas, seção 2.2 Exercício 52 
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𝑦 =
1
2
 
𝑦 =
1
2
−
𝑥2
24
 
𝑦 =
1 − cos 𝑥
𝑥2
 
lim
𝑥→0
1 − cos 𝑥
𝑥2
=
1
2
 
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EXEMPLO Dado o gráfico e função, prove a afirmação de 
limite abaixo: 
lim
𝑥→0
𝑥2𝑠𝑒𝑛 
1
𝑥
= 0 
Pela figura, −𝑥2 ≤ 𝑥2𝑠𝑒𝑛 
1
𝑥
≤ 𝑥2 
para todo 𝑥, exceto possivelmente 
em 𝑥 = 0. Como 
 lim
𝑥→0
(−𝑥2) = 0 
 e lim
𝑥→0
𝑥2 = 0 , 
então, pelo teorema do confronto, 
 
 
lim
𝑥→0
𝑥2𝑠𝑒𝑛 
1
𝑥
= 0 . 
Ref. Thomas, seção 2.3, questão 50 
Escola de Ciências e Tecnologia (EC&T) Cálculo I 2014.2 25 
Sugestões de exercícios 
 
 
Thomas, Seção 2.2 
 
Questões 49 e 50. 
Questão 51 (somente item a). 
 
 
Thomas, Seção 2.3 
Questão 49.