Aula 15 - Ângulo e Ortogonalidade

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 15 - Espac¸o com Produto Interno:
Aˆngulo e Ortogonalidade
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 16
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. H. Anton, C. Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 2 / 16
Aˆngulo e Ortogonalidade
Va´rias propriedades va´lidas nos espac¸os vetoriais euclidianos sa˜o va´lidas
tambe´m para um espac¸o vetorial arbitra´rio V no qual esta´ definido um
produto interno. Em seguida sera˜o listadas propriedades de norma, de
distaˆncia e de aˆngulo entre dois vetores que sa˜o va´lidas no espac¸o vetorial
arbitra´rio V .
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Teorema 0.1 (Propriedades de Norma)
Se
→
u e
→
v sa˜o vetores em um espac¸o com produto interno V e k um
escalar real, enta˜o
(a)
∥∥∥→u∥∥∥ ≥ 0
(b)
∥∥∥→u∥∥∥ = 0, se e somente se →u=→0
(c)
∥∥∥k →v∥∥∥ = k →v
(d)
∥∥∥→u + →v∥∥∥ ≤ ∥∥∥→u∥∥∥+ ∥∥∥→v∥∥∥ (Desigualdade Triangular)
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Teorema 0.2 (Propriedades de Distaˆncia)
Se
→
u ,
→
v e
→
w sa˜o vetores em um espac¸o com produto interno V , enta˜o
(a) d(
→
u,
→
v ) ≥ 0
(b) d(
→
u,
→
v ) = 0, se e somente se
→
u=
→
v
(c) d(
→
u,
→
v ) = d(
→
v ,
→
u)
(d) d(
→
u,
→
v ) ≤ d(→u,→w) + d(→w,→v ) (Desigualdade Triangular)
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Definic¸a˜o 0.1
Sejam
→
u e
→
v vetores na˜o nulos em um espac¸o com produto interno V . O
aˆngulo θ entre
→
u e
→
v e´ obtido atrave´s da seguinte relac¸a˜o:
cosθ =
〈→
u,
→
v
〉
∥∥∥→u∥∥∥∥∥∥→v∥∥∥ e 0 ≤ θ ≤ pi
Definic¸a˜o 0.2
Dois vetores
→
u e
→
v de um espac¸o com produto interno sa˜o ortogonais se〈→
u,
→
v
〉
= 0.
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Exemplo 0.1
Verifique se as matrizes U =
[
1 0
1 1
]
e V =
[
0 2
0 0
]
do espac¸o vetorial M22
com o produto interno euclidiano 〈U, V 〉 = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 sa˜o
ortogonais.
Soluc¸a˜o:
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Complementos Ortogonais
Se V e´ um plano pela origem do R3 com o produto interno euclidiano,
enta˜o o conjunto de todos os vetores que sa˜o ortogonais a cada vetor de V
constitui a reta L pela origem que e´ perpendicular a V . Neste caso,
dizemos que o plano e a reta sa˜o complementos ortogonais.
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Definic¸a˜o 0.3
Sejam V um espac¸o vetorial com um produto interno e W um subconjunto
na˜o vazio de V . O complemento ortogonal de W e´ definido por:
W⊥ = {→v∈ V | →v e´ ortogonal a todos os vetores de W}
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Teorema 0.3 (Propriedades do Complemento Ortogonal)
Se W e´ um subespac¸o de um espac¸o com produto interno V de dimensa˜o
finita, enta˜o:
(a) W⊥ e´ um subespac¸o de V .
(b) O u´nico vetor comum a W e a W⊥ e´
→
0 .
(c) O complemento ortogonal de W⊥ e´ W , ou seja,
(W⊥)⊥ = W .
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Relac¸a˜o Geome´trica entre Espac¸o Nulo e Espac¸o Linha
Teorema 0.4
Se A e´ uma matriz m× n, enta˜o:
(a) O espac¸o-nulo de A e o espac¸o-linha de A sa˜o complementos
ortogonais em Rn com o produto interno euclidiano.
(b) O espac¸o-nulo de AT e o espac¸o-coluna de A sa˜o
complementos ortogonais em Rm com o produto interno
euclidiano.
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Exemplo 0.2
Seja W o subespac¸o de R5 gerado pelos vetores→
w1= (2, 2,−1, 0, 1), →w2= (−1,−1, 2,−3, 1), →w3= (1, 1,−2, 0,−1) e→
w4= (0, 0, 1, 1, 1). Encontre uma base para o complemento ortogonal de
W .
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Soluc¸a˜o:
O espac¸o W gerado pelos vetores
→
w1,
→
w2,
→
w3 e
→
w4 e´ o mesmo que o
espac¸o-linha da matriz
A =

2 2 −1 0 1
−1 −1 2 −3 1
1 1 −2 0 −1
0 0 1 1 1

Como o espac¸o-linha de A e o espac¸o-nulo de A sa˜o complementos
ortogonais, uma base para o complemento ortogonal de W sa˜o os vetores
da base do espac¸o-nulo de A.
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Continuac¸a˜o:
Pelo Exemplo 3 da Aula 12, vimos que
→
v1=

−1
1
0
0
0
 e →v2=

−1
0
−1
0
1

formam uma base para o espac¸o-nulo de A. Escrevendo esses vetores na
notac¸a˜o dos vetores
→
w1,
→
w2,
→
w3 e
→
w4, conclu´ımos que
→
v1= (−1, 1, 0, 0, 0) e→
v2= (−1, 0,−1, 0, 1) forma uma base de W⊥.
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Aˆngulo e Ortogonalidade
Continuac¸a˜o:
Como W e W⊥ sa˜o complemento ortogonais, temos que:〈→
w1,
→
v1
〉
= 0〈→
w1,
→
v2
〉
= 0〈→
w2,
→
v1
〉
= 0〈→
w2,
→
v2
〉
= 0〈→
w3,
→
v1
〉
= 0〈→
w3,
→
v2
〉
= 0〈→
w4,
→
v1
〉
= 0〈→
w4,
→
v2
〉
= 0
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 15 / 16
Exerc´ıcios: Lista 4.1
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 16 / 16