Lista de Exercicios - Produto Escalar e Vetorial

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Lista de Exer´ıcios - GAAV - Produto Escalar e Vetorial
Professora Luciana Franc¸a da Cunha Aguiar
Questa˜o 1. Sabendo-se que
→
u e
→
v sa˜o perpendiculares tais que | →u | = 5 e | →v | = 12, calcular | →u + →v | e
| →u − →v |. 13 e 13
Questa˜o 2. Calcular os mo´dulos e o produto escalar dos vetores
→
u= (3, 4) e
→
v= (1,−1,√7).
| →u | = 5, | →v | = 3,→u . →v= −1
Questa˜o 3. Indicar quais vetores sa˜o unita´rios:
→
u= (1, 1, 1),
→
v=
(√
2
2
, 0,
√
2
2
)
e
→
w= (0, 0, 1).
→
v e
→
w sa˜o unita´rios.
Questa˜o 4. Determine m, sabendo que os vetores
→
u= (3,m, 1) e
→
v= (1,−√2,−1) sa˜o ortogonais. m = √2
Questa˜o 5. Sendo
→
u= (1,−2, 1) e →v= (−1, 1), achar a medida do aˆngulo entre os vetores →u e →v . 150◦
Questa˜o 6. Provar que ABC e´ um triaˆngulo retaˆngulo sendo A = (3,−2, 8), B = (0, 0, 2) e C = (−3,−5, 10).
Questa˜o 7. Achar o aˆngulo θ entre os vetores
→
u= (10,−5, 0) e →v= (1, 2, 3). θ = pi
2
Questa˜o 8. Os vetores
→
u= (a, 1, 0) e
→
v= (2,−1, 2) formam um aˆngulo de 45◦. Achar os valores de a.
−1 e −7
Questa˜o 9. Sa˜o ortogonais os vetores
→
u= (2, 4, 1) e
→
v= (1, 0,−2)? Sim
Questa˜o 10. Seja o triaˆngulo de ve´rtices A = (0, 0, 0), B = (1,−2, 1) e C = (1, 1,−2). Pede-se o aˆngulo interno
ao ve´rtice A. 120◦
Questa˜o 11. Determinar a para que o aˆngulo entre os vetores
→
u= (1, a, 0) e
→
v= (0, 1, 0) seja de 45◦. a = ±1
Questa˜o 12. Calcular o valor de m para que o vetor
→
u +
→
v seja ortogonal ao vetor
→
w − →u , onde →u= (2, 1,m),→v=
(m+ 2,−5, 2) e →w= (2m, 8,m). −6 e 3
Questa˜o 13. Os pontos A = (2, 1, 2), B = (1, 2, z) e C = (−1, 0,−1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo, com
aˆngulo reto em B. Calcular z. −1 e 2
Questa˜o 14. Calcular | →u + →v |, sabendo-se que | →u | = 4, | →v | = 6 e o aˆngulo entre →u e →v e´ 60◦. 2√19
Questa˜o 15. Sendo | →u | = 2, | →v | = 3, | →w | = 4, o aˆngulo entre →u e →v e´ 90◦ e o aˆngulo entre →v e →w e´ 30◦,
calcular:
(a) | →u + →v | √13 (b) (→u + →v ).(→u − →v ) −5 (c) | →u + →v + →w |
√
37 + 12
√
3 ou
√
21 + 12
√
3
Questa˜o 16. Sendo
→
u,
→
v e
→
w mutuamente ortogonais, demonstrar que:
(a) | →u + →v |2 = | →u |2 + | →v |2
(b) | →u + →v + →w |2 = | →u |2 + | →v |2 + | →w |2
Questa˜o 17. Sabendo-se que os vetores
→
u,
→
v e
→
w formam dois a dois aˆngulos de 60◦ e tais que | →u | = 4, | →v | = 2
e | →w | = 1. Achar o mo´dulo do vetor →s=→u + →v + →w. | →s | = √35
Questa˜o 18. Sabendo que
→
u= (1, 0, 0),
→
v= (0, 1, 0) e
→
w= (0, 0, 1). Efetuar:
(a) (
→
u × →w)× (→u × →v ) = − →u
(b) (
→
u × →w)× (→w × →v )× (→v × →v ) = →0
Questa˜o 19. Conhecidos
→
u= (2, 3, 1) e
→
v= (1,−1, 2), pede-se:
(a)
→
u × →v = (7,−3,−5)
(b)
→
v × →u = (−7, 3, 5)
(c) | →u × →v | = √83
(d) | →v × →u | = √83
Questa˜o 20. Determinar um vetor concomitantemente perpendicular aos vetores
→
u +
→
v e 2.
→
v − →u , sendo→
u= (1, 1, 0) e
→
v= (2, 0,−1). (−3, 3,−6)
Questa˜o 21. Sejam os vetores
→
u= (3,−2,−6),→v= (2,−1, 0) e →w= (1, 3, 4), achar:
(a)
→
u .
→
v = 8
(b) | →u × →v | = √181
(c)
→
u × →v . →w = −38
(d) (
→
u × →v )× →w = (−51, 25,−6)
(e)
→
u ×(→v × →w) = (−62, 3,−32)
Questa˜o 22. Considerando os vetores
→
u= (1, 2, 3),
→
v= (−1, 1, 2),→a= (2,−4, 3) e →b= (2,−1, 0), calcular:
(a) (
→
u × →v ).(→a × →b ) = −9
(b) (
→
u × →v )× (→a × →b ) = (−48, 3, 21)
Questa˜o 23. Dados os vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (−1, 1, 2), assinale a alternativa em que os vetores sa˜o simulta-
neamente ortogonais a ~u e ~v. (2, -2, 2) ou (-2, 2, -2)
Questa˜o 24. Dados os pontos A(3,−3, 3), B(2,−1, 2) e C(0, 1, 3), determinar o aˆngulo interno do triaˆngulo ABC
em relac¸a˜o ao ve´rtice B. aproximadamente 133◦
Questa˜o 25. Considere o triaˆngulo de ve´rtices A(1, 1, 1), B(3,−3,−k) e C(−2, 4, 3). Para quais valores de k
esse triaˆngulo sera´ retaˆngulo em A? k = −10
Questa˜o 26. Sendo A(2,−5, 3) e B(7, 3,−1) ve´rtices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4,−3, 3) o
ponto de intersec¸a˜o das diagonais, determinar os ve´rtices C e D. C(6,−1, 3) e D(1,−9, 7)
Questa˜o 27. Dados os pontos A = (3,m, 0) e B = (8, 2m − 1,m), determinar m de modo que |
−→
AB | = √30.
m = -1 ou 2
Questa˜o 28. Encontre os aˆngulos ente os vetores ~u = (3, 3, 0) e ~v = (2, 1,−2). arccos(√2/2)
Questa˜o 29. Dados os vetores ~a = (3, 4, 2) e ~b = (2, 1, 1). obter um vetor de mo´dulo 2 que seja ao mesmo tempo
ortogonal aos vetores −~b e ~a+~b.
(
4√
30
, 2√
30
, −10√
30
)
ou
(
−4√
30
, −2√
30
, 10√
30
)
Questa˜o 30. Determinar o valor de c para que os vetores ~u = (6, 4, 2) e ~v = (1,−1, c + 1) sejam ortogonais.
c=-2
Questa˜o 31. Na figura a seguir esta˜o desenhados dois vetores ~x e ~y. Esses vetores representam deslocamentos
sucessivos de um corpo. Qual e´ o mo´dulo do vetor igual a ~x+ ~y? 5 cm
Questa˜o 32. Dados os vetores ~a = (2, 1, 1) e ~b = (3, 0, 2), determine ~c = ~a × 2.~b e |~c|. ~c = (4,−2,−6) e
|~c| = √56
Questa˜o 33. Considere a figura abaixo. Determine o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do vetor ~C = ~B× ~A sabendo
que ~A = (2, 0, 1), ~B = (3, 1, 1) e θ = 30◦ Mo´dulo:
√
6; Sentido: Positivo para x, Negativo para y, Negativo
para z; Direc¸a˜o: Perpendicular ao plano que ~B e ~A determinam
Questa˜o 34. Calcule o produto misto N = ~a . ~b× ~c para ~a = (2, 2, 2), ~b = (1, 2, 2) e ~c = (1, 2, 3). 2
Questa˜o 35. Determine o aˆngulo entre os vetores ~a = (2̂i, 0ĵ, 1k̂) e ~b = (1̂i, 0ĵ, 2k̂). θ = arccos(4/5)
Questa˜o 36. Assinale a opc¸a˜o que representa a origem do vetor ~u = (−1, 3), sabendo que sua extremidade esta´
em (3, 1). (4,−2)
Questa˜o 37. Qual o valor de x para que os pontos A(1,−3, 0), B(x, 1, 4) e C(−x,−4,−2) sejam colineares?
−3
Questa˜o 38. Obter o ponto P do eixo das cotas (Oz) cuja distaˆncia ao ponto A(−2, 0, 3) seja igual a 2.
P (0, 0, 3)
Questa˜o 39. Determine o versor ~u do vetor ~v = (4, 2,−4). ~u = (2/3, 1/3,−2/3)
Questa˜o 40. Considere A = (−1, 1, 2), B = (0, 1, 3) e C = (−1, 2, 8) e encontre a a´rea do paralelogramo de lados
−→
AB e
−→
AC.
√
38
Questa˜o 41. Sejam ~u =
(√
m, 1,
1
2
)
e ~v =
(√
m,
1
2
, 1
)
. Determine m, sabendo que o cosseno do aˆngulo entre
~u e ~v vale
1
3
. −78
Questa˜o 42. Considere os vetores ~u = (2,−1, 3) e ~v = (2,−1, 1) e determine um vetor ortogonal a ~u e a ~v ao
mesmo tempo. Este vetor e´ unita´rio? Se na˜o for, calcule seu versor.
Na˜o.
(√
20
10 ,
√
20
5 , 0
)
ou
(
−
√
20
10 ,−
√
20
5 , 0
)
Questa˜o 43. Dados os vetores ~u = (1, 1,−1) e ~v = (2,−1, 1), determine o vetor ~w tal que este seja ortogonal a
~b = (2, 0, 0) e, ale´m disso, ~u = ~w × ~v. ~w = (0, 1/2, 1/2)
Questa˜o 44. Calcule a distaˆncia entre os pontos
(
2
√
3, 3
)
e
(
4
√
3, 1
)
. 4
Questa˜o 45. Calcule a distaˆncia do ponto M(−12, 9) a` origem. 15
Questa˜o 46. (UFMG) A distaˆncia entre os pontos A(2a,−3a) e B(3, 2) e´ √26. Pode-se afirmar que os poss´ıveis
valores de a sa˜o: ±1
Questa˜o 47. A distaˆncia entre A(2a, 3) e B(1, 0) e´ 3
√
2. Calcule a sabendo que a e´ negativo. −1
Questa˜o 48. (PUCRS) O ponto P pertence ao eixo das ordenadas e equ¨idista dos pontos A(−3,−1) e B(3, 5).
A ordenada do ponto P e´: 2